中国科学技术大学数学分析(B1）习题课讲义1极限12证明（2）仅对第(1)问进行证明因为an→a(n→),所以数列[an)有界,即M>0,使得[an<M(n=1,2,..)由数列Bn收敛及Cauchy收敛准则知，Ve>0,ENeN使得n>N时，对VpN*,ble.则n>N时，有有 [Bn+pBnl<2Mhaibi2Cntp-Cnl?n+P>Jaib.=n+11IM≤Zbibie2MA2M2M=n+E.b120口故由Cauchy收敛准则知，数列fcn)收敛1.3.7Stolz定理的应用n=0,但注意Stolz定理的逆命题并不成立.例如对an=（-1)n,bn=n，显然有lim00bman+1-ann=2(-1)"的极限并不存在.bn+1 - bn1k+2k+...+nk例题1.15设kEN*,求极限limnk+1n-→证明由Stolz定理得：nknk1k +2k +...+nk1lim=lim n+1- (n-1)+ = (k+ 1)n*+.+(-1)nk+1k+1n=00口例题1.16设数列【cn)收敛，对VnEN*，令yn=n(n一an-1).证明：若数列(yn)收敛,则limyn=0.证明设limEn=A,limyn=B.由Stolz定理知nnA=limlim(nan-(n-1)rn-1)=A+Bn-→00nn→x口所以B=0,即limyn=0.1例题1.17设数列【anl满足ai>0,an+1=an+nEN.证明：an
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 12 证明 (2) 仅对第 (1) 问进行证明. 因为 an → a (n → ∞), 所以数列 {an} 有界, 即 ∃M > 0, 使得 |an| < M (n = 1, 2, · · ·). 由数列 {Bn} 收敛及 Cauchy 收敛准则知, ∀ε > 0, ∃N ∈ N ∗ , 使得 n > N 时, 对 ∀p ∈ N ∗ , 有 |Bn+p − Bn| < b1ε 2M . 则 n > N 时, 有 |cn+p − cn| = nP +p i=n+1 aibi Pn i=1 bi − Pn i=1 aibi nP +p i=n+1 bi nP +p i=1 bi Pn i=1 bi ⩽ nP +p i=n+1 |ai | bi Pn i=1 bi + Pn i=1 |ai | bi nP +p i=n+1 bi Pn i=1 bi 2 ⩽ M nP +p i=n+1 bi Pn i=1 bi + M Pn i=1 bi nP +p i=n+1 bi Pn i=1 bi 2 = 2M nP +p i=n+1 bi Pn i=1 bi < 2M · b1ε 2M b1 = ε. 故由 Cauchy 收敛准则知, 数列 {cn} 收敛. 1.3.7 Stolz 定理的应用 注意 Stolz 定理的逆命题并不成立. 例如对 an = (−1)n , bn = n, 显然有 limn→∞ an bn = 0, 但 an+1 − an bn+1 − bn = 2(−1)n 的极限并不存在. 例题 1.15 设 k ∈ N ∗ , 求极限 limn→∞ 1 k + 2k + · · · + n k nk+1 . 证明 由 Stolz 定理得: limn→∞ 1 k + 2k + · · · + n k nk+1 = limn→∞ n k nk+1 − (n − 1)k+1 = limn→∞ n k (k + 1)nk + · · · + (−1)k = 1 k + 1 . 例题 1.16 设数列 {xn} 收敛, 对 ∀n ∈ N ∗ , 令 yn = n(xn − xn−1). 证明: 若数列 {yn} 收 敛, 则 limn→∞ yn = 0. 证明 设 limn→∞ xn = A, limn→∞ yn = B. 由 Stolz 定理知 A = limn→∞ nxn n = limn→∞ (nxn − (n − 1)xn−1) = A + B. 所以 B = 0, 即 limn→∞ yn = 0. 例题 1.17 设数列 {an} 满足 a1 > 0, an+1 = an + 1 an , n ∈ N. 证明:
中国科学技术大学数学分析(B1)习题课讲义1极限13an=1;(1) limn-→+0oV2n(2) lim (an - V2n) = 0.两边平方，先证明an一→+oo提示对ai>0,an+1=an+(n→o）.然后用Stolzan定理.1二两边平方，得证明(1)数归可得an>0.对an+1=an+an1an+1=az+2+>a + 2,an所以a2 >a2-1 +2> a2_2 + 4>*.: > a2 +2(n-1) →+00(n→8)因此liman=+oo.由Stolz定理知i=limh+1-d?1limlim122a2n-002nn-→o0n→00an_=1.所以lim00V2n(2)由(1)知,a - 2ndn - 2na - 2nlim (an - 2n) = 1limlimlim2V2n0an+V2n2n-→00V2n（+1d - α-1 - 2= limn-→02(V2n-V2(n-1)1=limn-002a2(V2n-2(n-1)V2n+2(n-1)n= limlimn-1004a2n-00n= 0.口1.3.8无穷小量&无穷大量&阶几个重要的等价关系(1) e-1~ (r→0)(2) sinr~ (-→0);(3) In(1 +r) ~ r (r→ 0);(4) 1 - cos ± ~ 2 (α → 0);(5) ln~o(r) (r→+00, α> 0);(6) rk ~ o(a) (r →+0, a > 1);(7) (1+)-1 ~ ( →0);(8) arctan r ~r (r → 0)
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 13 (1) lim n→+∞ an √ 2n = 1; (2) lim n→+∞ (an − √ 2n) = 0. 提示 对 a1 > 0, an+1 = an + 1 an 两边平方, 先证明 an → +∞ (n → ∞), 然后用 Stolz 定理. 证明 (1) 数归可得 an > 0. 对 an+1 = an + 1 an 两边平方, 得 a 2 n+1 = a 2 n + 2 + 1 a 2 n > a2 n + 2, 所以 a 2 n > a2 n−1 + 2 > a2 n−2 + 4 > · · · > a2 1 + 2(n − 1) → +∞ (n → ∞) 因此 limn→∞ an = +∞. 由 Stolz 定理知 limn→∞ a 2 n 2n = limn→∞ a 2 n+1 − a 2 n 2 = limn→∞ 1 + 1 2a 2 n = 1. 所以 lim n→+∞ an √ 2n = 1. (2) 由 (1) 知, limn→∞ (an − √ 2n) = limn→∞ a 2 n − 2n an + √ 2n = limn→∞ a 2 n − 2n √ 2n √an 2n + 1 = limn→∞ a 2 n − 2n 2 √ 2n = limn→∞ a 2 n − a 2 n−1 − 2 2(√ 2n − p 2(n − 1)) = limn→∞ 1 2a 2 n ( √ 2n − p 2(n − 1)) = limn→∞ n 4a 2 n limn→∞ √ 2n + p 2(n − 1) n = 0. 1.3.8 无穷小量 & 无穷大量 & 阶 几个重要的等价关系 (1) e x − 1 ∼ x (x → 0); (2) sin x ∼ x (x → 0); (3) ln(1 + x) ∼ x (x → 0); (4) 1 − cos x ∼ 1 2 x 2 (x → 0); (5) ln x ∼ o(x α ) (x → +∞, α > 0); (6) x k ∼ o(a x ) (x → +∞, a > 1); (7) (1 + x) α − 1 ∼ αx (x → 0); (8) arctan x ∼ x (x → 0)
中国科学技术大学数学分析(B1）习题课讲义1极限14例题1.18证明：O(2)=o()(→0)证明 设在某个0的去心邻域上有界,即3M>0 和 8>0,当0,有If()/≤ M2. 则当 0 <[|<, 有Mfr0≤IMalf(r)由夹逼原理知，lim0.所以 0()=0() (→0)口P1证明：当→0时，无穷小量rsin=没有阶.例题1.19rsin提示考察lim即可.可证得α≥1时极限不存在，α<1时极限值是0.ra2→0mn设f(c):例题1.201- am,m,neN*,求极限 lim f(a).-rm解令y=r-1,则 lim f(1+y)= lim f(r).我们有mnf(1 +y) :1-(1+y)m1-(1+y)nm[1 - (1 +y)"] -n[1 - (1 +y)m][(1 +y)m - 1][(1 +y)n - 1]n[my + mlq-}y + o(g2) - m[ny + "qy? + o(g)]nm(y+o(y)2(m -n)y? +o(y)mn(y2 +o(y?))m=n +o(1) (g→0),2m-n所以 lim f(a)=口2补充习题1.4A组1.4.11求下列极限：1(1)lim?00-1!+2!+...+n!(2) limo(1-)(3) lim..1.(1 +r+r2)i/n(n E N*);(4) lim+fsin2r(sin Vr+1-sin Vr-1);(5)lim(6) lim sin(πVn2 +1);rrr(7) lim cos=cos ..coS2n42cos r cos 2r.. cos n(8) lim(n E N*);c20
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 14 例题 1.18 证明: O(x 2 ) = o(x) (x → 0). 证明 设 f(x) x 2 在某个 0 的去心邻域上有界, 即 ∃M > 0 和 δ > 0, 当 0 < |x| < δ, 有 |f(x)| ⩽ Mx2 . 则当 0 < |x| < δ, 有 0 ⩽ f(x) x ⩽ Mx2 x = |Mx| , 由夹逼原理知, limx→0 f(x) x = 0. 所以 O(x 2 ) = o(x) (x → 0). 例题 1.19 证明: 当 x → 0 时, 无穷小量 x sin 1 x 没有阶. 提示 考察 limx→0 x sin 1 x x α 即可. 可证得 α ⩾ 1 时极限不存在, α < 1 时极限值是 0. 例题 1.20 设 f(x) = m 1 − xm − n 1 − x n , m, n ∈ N ∗ , 求极限 limx→1 f(x). 解 令 y = x − 1, 则 lim y→0 f(1 + y) = limx→1 f(x). 我们有 f(1 + y) = m 1 − (1 + y)m − n 1 − (1 + y) n = m[1 − (1 + y) n ] − n[1 − (1 + y) m] [(1 + y)m − 1][(1 + y) n − 1] = n[my + m(m−1) 2 y 2 + o(y 2 )] − m[ny + n(n−1) 2 y 2 + o(y 2 )] nm(y + o(y))2 = mn 2 (m − n)y 2 + o(y 2 ) mn(y 2 + o(y 2 )) = m − n 2 + o(1) (y → 0). 所以 limx→1 f(x) = m − n 2 . 1.4 补充习题 1.4.1 A 组 1 求下列极限: (1) limn→∞ 1 n 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n ; (2) limn→∞ 1! + 2! + · · · + n! n! ; (3) limn→∞ 1 − 1 2 2 1 − 1 3 2 · · · 1 − 1 n2 ; (4) limx→0 (1 + x + x 2 ) 1/n − 1 sin 2x (n ∈ N ∗ ); (5) lim x→+∞ (sin √ x + 1 − sin √ x − 1); (6) limn→∞ sin(π √ n2 + 1); (7) limn→∞ cos x 2 cos x 4 · · · cos x 2 n ; (8) limx→0 1 − cos x cos 2x · · · cos nx x 2 (n ∈ N ∗ );
中国科学技术大学数学分析(B1)习题课讲义1极限15(9) lim ((n + lnn) - n) (αE (0,1);11(10)limsin+cosTr2证明：数列(sinn)发散.1：113.证明：数列【an发散设an=-2+3+n4设常数a1,a2,an满足ai+a2++an=0.证明：lim>CaksinVr+k=0.k15设数列【an）满足lim（lai|+a2l+.+|anl)=1.证明：极限lim（ai+a2+..+an）存在16设数列[an}满足0<an<1,且有不等式(1-an)an+1>（nEN*).证明数列4[an】收敛，并求其极限17设数列【an是一个非负数列，满足an+1≤an+(nEN*).证明：数列（an)收敛n1an=0,证明：lim设数列【an】满足lim98max[ak]=0.n-→0onn-00n1≤k≤nan9设正项数列【an】满足lim=0,证明：数列【an】无界+00an+1+an+2In - Tn-1 = 0.设数列（rn）满足lim（rn-an-2）=0，证明：lim10nn-001.4.2B组1求下列极限：(1) lim (n!e - [nle]);1(2)limin+kk(3) lim II (1 +n2(4) lim+00n!an2证明：设数列【an】是正项有界数列，证明：lim=0.n-+00a1+a2+...+an1113证明：数列an】收敛对VnEN*及α>1.设a=1-2030na4设a,b是给定的两个正数，且a>b>0.令ao=a,bo=b,数列(an],[bn]满足 an-1 +bn-1,bn = Vn-ba-1,n e N'. 证明:lim an = lim bnan=20011￥15设an=1+2Vn,nEN*.证明：数列(an)收敛.V2+V3Vn6设E是非空有上界的数集，且它的上确界a不在E中.求证：在E中存在数列(cn)严格递增趋于a.1(其中 0 <q≤1), 并且 an+1 = n(1 - qan)(n e N"),7设数列[n)满足0<<q1证明：limnan=a8设数列【yn］满足yn=2an+an-1，证明：若yn】收敛，则【cn】收敛
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 15 (9) limn→∞ ((n + ln n) α − n α ) (α ∈ (0, 1)); (10) lim x→+∞ sin 1 x + cos 1 x x . 2 证明: 数列 {sin n} 发散. 3 设 an = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n . 证明: 数列 {an} 发散. 4 设常数 a1, a2, · · · , an 满足 a1 + a2 + · · · + an = 0. 证明: lim x→+∞ Xn k=1 ak sin √ x + k = 0. 5 设数列 {an} 满足 limn→∞ (|a1|+|a2|+· · ·+|an|) = 1. 证明: 极限 limn→∞ (a1 +a2 +· · ·+an) 存在. 6 设数列 {an} 满足 0 < an < 1, 且有不等式 (1 − an)an+1 > 1 4 (n ∈ N ∗ ). 证明数列 {an} 收敛, 并求其极限. 7 设数列 {xn} 是一个非负数列, 满足 xn+1 ⩽ xn + 1 n2 (n ∈ N ∗ ). 证明: 数列 {xn} 收敛. 8 设数列 {an} 满足 limn→∞ an n = 0, 证明: limn→∞ 1 n max 1⩽k⩽n {ak} = 0. 9 设正项数列 {an} 满足 limn→∞ an an+1 + an+2 = 0, 证明: 数列 {an} 无界. 10 设数列 {xn} 满足 limn→∞ (xn − xn−2) = 0, 证明: limn→∞ xn − xn−1 n = 0. 1.4.2 B 组 1 求下列极限: (1) limn→∞ (n!e − [n!e]); (2) limn→∞ Xn k=1 1 n + k ; (3) limn→∞ Yn k=1 1 + k n2 ; (4) limn→∞ n √n n! ; 2 证明: 设数列 {an} 是正项有界数列, 证明: limn→∞ an a1 + a2 + · · · + an = 0. 3 对 ∀n ∈ N ∗ 及 α > 1, 设 an = 1 + 1 2 α + 1 3 α + · · · + 1 nα . 证明: 数列 {an} 收敛. 4 设 a, b 是给定的两个正数, 且 a > b > 0. 令 a0 = a, b0 = b, 数列 {an}, {bn} 满足 an = an−1 + bn−1 2 , bn = p an−1bn−1, n ∈ N ∗ . 证明: limn→∞ an = limn→∞ bn. 5 设 an = 1 + 1 √ 2 + 1 √ 3 + · · · + 1 √ n − 2 √ n, n ∈ N ∗ . 证明: 数列 {an} 收敛. 6 设 E 是非空有上界的数集, 且它的上确界 a 不在 E 中. 求证: 在 E 中存在数列 {xn} 严格递增趋于 a. 7 设数列 {xn} 满足 0 < x1 < 1 q (其中 0 < q ⩽ 1), 并且 xn+1 = xn(1 − qxn)(n ∈ N ∗ ). 证明: limn→∞ nxn = 1 q . 8 设数列 {yn} 满足 yn = 2xn + xn−1, 证明: 若 {yn} 收敛, 则 {xn} 收敛
中国科学技术大学1极限16数学分析（B1）习题课讲义9设数列[an{bn]CN*且满足a1=bi=1,an+1+V3bn+1=(an+V3bn)2,nEN*bn证明：数列收敛，并求出其极限值。Lan10设数列（an]{yn满足liman=0,且存在常数k，使得lyi|+ly2|+...+[ynl≤k对所有nEN*成立.令zm=19n+2n-1++Cny1.证明：limzm=0.2+011(1)设函数f(r)在(0,+oo）上满足函数方程f(2α）=f(r)，并且limf(）存在且有限证明：f(r）是常值函数；(2)a,b是两个大于1的常数，函数f:R→R在=0的邻域内有界，并且对VER,有f(ar)=bf(r).证明：limf(r)=f(0)12设f(）是定义在R上的函数且对任意,yER,有[cf(y) -yf(r)l≤ M [rl+ M [yl ,其中M>0.求证：f()收敛;(1) lim (2)存在常数 a 使得对任意 r,有 If(z)-al≤M.113记Hn =1（nEN)，用kn表示使得H≥n成立的最小下标.证明：kn+!limn→00kn设数列(an) 满足ai=1,an=n(an-1+1), n=2,3...求极限 lim II ((1+14C组1.4.31设数列【an]，满足anVn.证明：数列【an】收敛 +(2)+..+(n-2设数列【Sn]满足Sn=(1)证明：数列[Sn)单调递增且有界，从而limSn存在(2)求 lim Sno证明数列,7-V,7-7+Vi,7-7+7-V..收敛，并求其极3限.4设f(r)和 g(r)是两个周期函数，且_lim(f(a)-g(α))=0.证明:f(z)=g(r)5设函数 f(c)满足 limf(r)=0,且f(r)-f()=o(r)(→0).证明：f()=o(r) (→ 0)6TEQ证明：对VroER，limD(r）不存在；(1)定义Dirichlet函数D(α)：0,rgQ
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 16 9 设数列 {an} , {bn} ⊆ N ∗ , 且满足 a1 = b1 = 1, an+1 + √ 3bn+1 = (an + √ 3bn) 2 , n ∈ N ∗ . 证明: 数列 bn an 收敛, 并求出其极限值. 10 设数列 {xn}, {yn} 满足 lim n→+∞ xn = 0, 且存在常数 k, 使得 |y1|+|y2|+· · ·+|yn| ⩽ k 对所有 n ∈ N ∗ 成立. 令 zn = x1yn + x2yn−1 + · · · + xny1. 证明: lim n→+∞ zn = 0. 11 (1) 设函数 f(x) 在 (0, +∞) 上满足函数方程 f(2x) = f(x), 并且 lim x→+∞ f(x) 存在且有限. 证明: f(x) 是常值函数; (2) a, b 是两个大于 1 的常数, 函数 f : R → R 在 x = 0 的邻域内有界, 并且对 ∀x ∈ R, 有 f(ax) = bf(x). 证明: limx→0 f(x) = f(0). 12 设 f(x) 是定义在 R 上的函数且对任意 x, y ∈ R, 有 |xf(y) − yf(x)| ⩽ M |x| + M |y| , 其中 M > 0. 求证: (1) limx→∞ f(x) x 收敛; (2) 存在常数 a 使得对任意 x, 有 |f(x) − ax| ⩽ M. 13 记 Hn = 1 + 1 2 + · · · + 1 n (n ∈ N ∗ ), 用 kn 表示使得 Hk ⩾ n 成立的最小下标. 证明: limn→∞ kn+1 kn = e. 14 设数列 {an} 满足 a1 = 1, an = n(an−1+1), n = 2, 3 · · · . 求极限 limn→∞ Yn k=1 1 + 1 ak . 1.4.3 C 组 1 设数列 {an}, 满足 an = r 1 + q 2 + · · · + √ n. 证明: 数列 {an} 收敛. 2 设数列 {Sn} 满足 Sn = 1 n n + 2 n n + · · · + n − 1 n n . (1) 证明: 数列 {Sn} 单调递增且有界, 从而 limn→∞ Sn 存在; (2) 求 lim n→+∞ Sn. 3 证明数列 √ 7, q 7 − √ 7, r 7 − q 7 + √ 7, s 7 − r 7 + q 7 − √ 7, · · · 收敛, 并求其极 限. 4 设 f(x) 和 g(x) 是两个周期函数, 且 lim x→+∞ (f(x) − g(x)) = 0. 证明:f(x) = g(x). 5 设函数 f(x) 满足 limx→0 f(x) = 0, 且 f(x) − f( x 2 ) = o(x) (x → 0). 证明: f(x) = o(x) (x → 0) 6 (1) 定义 Dirichlet 函数 D(x) = 1, x ∈ Q, 0, x ̸∈ Q. 证明: 对 ∀x0 ∈ R, limx→x0 D(x) 不存在;