Lec5 Note of Mathematical Analysis B3Xuxuayame日期：2022年9月13日这一节依然参考讲义与Munkres。84连续映射和同胚映射4.1映射定义4.1.设X,Y是集合，如果有一个对应法则，使得对任何EX，存在唯一的yEY与之对应，我们就说给出了一个从X到Y的（单值）映射（Map)f，记作f:X-→Y或XLYX称为f的定义域(Domain)，而f(X) := (f(r)IrE X) CY称为的值域(Range)。如果f(X）=Y，称f为满射（Surjection）或映上（Ontomap）的。如果f(c）=f(r）→=r，称f为单射（lnjection）或一一映内（One-to-onemap）的。如果f既是满射，又是单射（即在f下，X与Y是一一对应的），称f为双射(Bijection)或一一映上(One-to-oneonto)的。此时令=f-1(y)，就得到一个f-1：Y→X，它也是双射，称为f的逆映射（Inversemap)。例4.1．1.设yoEY，如果f : X→Y, f(r)= yo则称f为以yo为值的常值映射（Constantmap)。2.如果f：X→X，且f(r）=，&EX，则称f为X的恒等映射(Identitymap)，用Idx表示。3.设XcY,f：X-Y，f(a)=a，rEX，则称f为包含映射(Inclusionmap)。4.f.Xix...xXn-→Y(ai,,an)-y1
Lec5 Note of Mathematical Analysis B3 Xuxuayame 日期：2022 年 9 月 13 日 这一节依然参考讲义与 Munkres。 §4 连续映射和同胚映射 4.1 映射 定义 4.1. 设 X, Y 是集合，如果有一个对应法则，使得对任何 x ∈ X，存在唯一的 y ∈ Y 与之对应，我们就说给出了一个从 X 到 Y 的（单值）映射 (Map)f，记作 f : X → Y 或 X f −→ Y X 称为 f 的定义域 (Domain)，而 f(X) := {f(x) | x ∈ X} ⊂ Y 称为 f 的值域 (Range)。 如果 f(X) = Y ，称 f 为满射 (Surjection) 或映上 (Onto map) 的。 如果 f(x) = f(x ′ ) ⇒ x = x ′，称 f 为单射 (Injection) 或一一映内 (One-to-one map) 的。 如果 f 既是满射，又是单射（即在 f 下，X 与 Y 是一一对应的），称 f 为双射 (Bijection) 或一一映上 (One-to-one onto) 的。此时令 x = f −1 (y)，就得到一个 f −1 : Y → X ，它也是双射，称为 f 的逆映射 (Inverse map)。 例 4.1. 1. 设 y0 ∈ Y ，如果 f : X → Y, f(x) = y0 则称 f 为以 y0 为值的常值映射 (Constant map)。 2. 如果 f : X → X，且 f(x) = x, x ∈ X，则称 f 为 X 的恒等映射 (Identity map)，用 IdX 表示。 3. 设 X ⊂ Y, f : X → Y, f(x) = x, x ∈ X，则称 f 为包含映射 (Inclusion map)。 4. f :X1 × · · · × Xn → Y (x1, · · · , xn) 7→ y 1
称为n元映射。特别地，映射f:R"-R是微积分中的n元函数。5.设X,Y都是实向量空间，如果映射f:X-→Y满足：f(11+22)=f(1)+>2f(2), 1,2 EX,>1,2 R则称f为线性映射(Linearmap)。6.在4中用fx(r1,..·，i，..,cn）=i表示映射fx: Xi ×.. × Xn →X,称fx为第i个投影(Projection)。7.设ACX，我们定义XA :X → [0,1] C R1,TEATH0,$A称XA为A的特征函数（Characteristicfunction)。8.Lec1中的范数，内积，度量都是映射的例子。定义4.2.如果映射f,g:X-Y满足f(r)=g(r)对任何aEX成立，则称和g相等(Equivalent)，记为f=g。设f:X→Y,9:Y→Z, 用h(r)=g(f(r)), rEx来定义映射h：X→Z，我们称h为f和g的复合（Composition)，记作h=gof。设ACX，如果映射f：X→Y,g:A→Y满足：f(r) =g(r), EA则称f为g在X上的扩张（Extension）或延拓，而g为f在A上的限制（Restriction)，记作g=flA。设ACX，称f(A)=(f(r)IEA)为A在f下的像(Image)。如果BCY，则称f-1(B)=(r/f(c)EB)为B在f下的原像(Preimage)。2
称为n 元映射。 特别地，映射 f : R n → R 是微积分中的 n 元函数。 5. 设 X, Y 都是实向量空间，如果映射 f : X → Y 满足： f(λ1x1 + λ2x2) = λ1f(x1) + λ2f(x2), x1, x2 ∈ X, λ1, λ2 ∈ R 则称 f 为线性映射 (Linear map)。 6. 在 4 中用 fXi (x1, · · · , xi , · · · , xn) = xi 表示映射 fXi : X1 × · · · × Xn → Xi 称 fXi 为第 i 个投影 (Projection)。 7. 设 A ⊂ X，我们定义 χA :X → {0, 1} ⊂ R x 7→ 1, x ∈ A 0, x /∈ A 称 χA 为 A 的特征函数 (Characteristic function)。 8. Lec1 中的范数，内积，度量都是映射的例子。 定义 4.2. 如果映射 f, g : X → Y 满足 f(x) = g(x) 对任何 x ∈ X 成立，则称 f 和 g 相等 (Equivalent)，记为 f = g。 设 f : X → Y, g : Y → Z，用 h(x) = g(f(x)), x ∈ X 来定义映射 h : X → Z，我们称 h 为 f 和 g 的复合 (Composition)，记作 h = g ◦ f。 设 A ⊂ X，如果映射 f : X → Y, g : A → Y 满足: f(x) = g(x), x ∈ A 则称 f 为 g 在 X 上的扩张 (Extension) 或延拓，而 g 为 f 在 A 上的限制 (Restriction)，记 作 g = f|A。 设 A ⊂ X，称 f(A) = {f(x) | x ∈ A} 为 A 在 f 下的像 (Image)。如果 B ⊂ Y ，则称 f −1 (B) = {x | f(x) ∈ B} 为 B 在 f 下的原像 (Preimage)。 2
4.2连续映射定义4.3.设(X,J1)和(Y,J2)为拓扑空间，f：X→Y是一个映射，CoEX。如果f(ro）的任何邻域V(f(o)）CY，必存在o的邻域U(coCX，使得f(U(ro)) C V(f(ro))则称f在点ro处连续（Continuous)。如果在X的每点都连续，我们称f为连续映射（Continuousmap)。当Y=R时，f就是通常的连续函数（Continuousfunction）。例4.2.记R为实数集，配有通常拓扑，而R是实数集配有下限拓扑（由全体左闭右开区间生成的拓扑）。令f :R→Ri为恒等函数，f()=对任意rER成立。那么f不是个连续函数；R，中的开集a,b的原像就是它自己已，但在R中不是开的。另一方面，恒等函数g:R-→R是连续的，因为（a,6）的原像是它自己，在R，中为开集。在分析中，我们学习了几条连续性的等价命题。某些可以拓展到任意空间，而它们会在下面的定理中被讨论。我们熟悉的“e一S”定义和“收敛列”定义没法被拓展到任意空间，它们会在我们学习度量空间时被讨论。定理4.1.设（Xi,J）和(Y,J）是拓扑空间。f：X→Y是映射，则下面四个条件是彼此等价的：1.f是连续映射；2.Y中每个开集在f下的原像是X中的开集；3.Y中每个闭集在下的原像是X中的闭集；4. 对任何 ACX，f(A) C f(A)。证明.(1→2)设V是Y中的任一开集。如果f-1(V)≠の，则对任何aoEf-1(V)，有f(ro）EV。因为f为连续映射，特别地，在点co也连续，于是存在ro的一个邻域U(ro)，使得f(U(ro))CV，即U(ro) C f-1(V)所以f-1(V)= U U(ro)roEf-1(V)为X中的开集。(2台3)由f-1(Y-B)=X-f-1(B)推出。（留作习题）3
4.2 连续映射 定义 4.3. 设 (X, T1) 和 (Y, T2) 为拓扑空间，f : X → Y 是一个映射，x0 ∈ X。如果 f(x0) 的任何邻域 V (f(x0)) ⊂ Y ，必存在 x0 的邻域 U(x0) ⊂ X，使得 f(U(x0)) ⊂ V (f(x0)) 则称 f 在点 x0 处连续 (Continuous)。 如果 f 在 X 的每点都连续，我们称 f 为连续映射 (Continuous map)。 当 Y = R 时，f 就是通常的连续函数 (Continuous function)。 例 4.2. 记 R 为实数集，配有通常拓扑，而 Rl 是实数集配有下限拓扑（由全体左闭右开 区间生成的拓扑）。令 f : R → Rl 为恒等函数，f(x) = x 对任意 x ∈ R 成立。那么 f 不是个连续函数；Rl 中的开集 [a, b) 的原像就是它自己，但在 R 中不是开的。另一方面，恒等函数 g : Rl → R 是连续的，因为 (a, b) 的原像是它自己，在 Rl 中为开集。 在分析中，我们学习了几条连续性的等价命题。某些可以拓展到任意空间，而它们 会在下面的定理中被讨论。我们熟悉的“ε − δ”定义和“收敛列”定义没法被拓展到任 意空间，它们会在我们学习度量空间时被讨论。 定理 4.1. 设 (X1, T1) 和 (Y, T) 是拓扑空间。f : X → Y 是映射，则下面四个条件是彼此 等价的： 1. f 是连续映射； 2. Y 中每个开集在 f 下的原像是 X 中的开集； 3. Y 中每个闭集在 f 下的原像是 X 中的闭集； 4. 对任何 A ⊂ X，f(A¯) ⊂ f(A)。 证明. (1 ⇒ 2) 设 V 是 Y 中的任一开集。如果 f −1 (V ) 6= ∅，则对任何 x0 ∈ f −1 (V )， 有 f(x0) ∈ V 。因为 f 为连续映射，特别地，在点 x0 也连续，于是存在 x0 的一个邻域 U(x0)，使得 f(U(x0)) ⊂ V ，即 U(x0) ⊂ f −1 (V ) 所以 f −1 (V ) = ∪ x0∈f−1(V ) U(x0) 为 X 中的开集。 (2 ⇔ 3) 由 f −1 (Y − B) = X − f −1 (B) 推出。（留作习题） 3
(3一4)（反证）若4不成立，则存在一个ACX和一点Co±A，使得f(Co）±f(A)令B=f(A)，它是Y的一个闭集，容易证明f-1(B)不是X的闭集，因而与3矛盾。事实上，因为f(A)Cf(A)=B，所以ACf-1(B)，于是ro EAc f-1(B)此外，f(ro) ±f(A) =B即Co± f-1(B)因而f-1(B)不是X的闭集。(4→1)（反证）如果1不成立，则存在oEX，与Y中含f(co)的某个开集V，使得o的每个邻域都有一点≠o，其像f()±V。于是co是A=f-1(Y-V)的聚点，因而CoEA。此外，显然f(co)$Y-V-Y-V因为f(A)=fof-1(Y-V)CY_V(留作习题)，f(A)CY-V推出f(co) f(A)口这与4相矛盾。定理4.2.设（X,Ji)和(Y,J2)为拓扑空间，如果f：X→Y在处连续，则对于X中的任何（an)，liman=a，必有limf(an）=f(a)。反之不成立（参看例4.3)。证明.设V为f(a)的邻域，因为f在连续，则存在的邻域U，使得f(U)cV。由于limn=EU，故存在N，当nEN时，有anEU。于是对于V，存在N，当n>N时，有f(an)V，这就证明了limf(an)=f(a)。例4.3.设(X,)为Lec4的例3.9所述的拓扑空间。Y={y|0≤y≤1)为R的子拓扑空间。而f:X-→Y由y=f(r)=来定义。由于 lim n=(an,X)，必有N，当n>N时，n=r,所以lim f(rn)=f(a)4
(3 ⇒ 4)（反证）若 4 不成立，则存在一个 A ⊂ X 和一点 x0 ∈/ A，使得 f(x0) ∈/ f(A)， 令 B = f(A)，它是 Y 的一个闭集，容易证明 f −1 (B) 不是 X 的闭集，因而与 3 矛盾。 事实上，因为 f(A) ⊂ f(A) = B，所以 A ⊂ f −1 (B)，于是 x0 ∈ A¯ ⊂ f −1 (B) 此外， f(x0) ∈/ f(A) = B 即 x0 ∈/ f −1 (B) 因而 f −1 (B) 不是 X 的闭集。 (4 ⇒ 1)（反证）如果 1 不成立，则存在 x0 ∈ X，与 Y 中含 f(x0) 的某个开集 V ， 使得 x0 的每个邻域都有一点 x 6= x0，其像 f(x) ∈/ V 。于是 x0 是 A = f −1 (Y − V ) 的聚 点，因而 x0 ∈ A¯。此外，显然 f(x0) ∈/ Y − V = Y − V 因为 f(A) = f ◦ f −1 (Y − V ) ⊂ Y − V (留作习题)， f(A) ⊂ Y − V 推出 f(x0) ∈/ f(A) 这与 4 相矛盾。 定理 4.2. 设 (X, T1) 和 (Y, T2) 为拓扑空间，如果 f : X → Y 在 x 处连续，则对于 X 中 的任何 {xn}， lim n→+∞ xn = x，必有 lim n→+∞ f(xn) = f(x)。反之不成立（参看例 4.3）。 证明. 设 V 为 f(x) 的邻域，因为 f 在 x 连续，则存在 x 的邻域 U，使得 f(U) ⊂ V 。由 于 lim n→+∞ xn = x ∈ U，故存在 N，当 n ∈ N 时，有 xn ∈ U。于是对于 V ，存在 N，当 n > N 时，有 f(xn) ∈ V ，这就证明了 lim n→+∞ f(xn) = f(x)。 例 4.3. 设 (X, T) 为 Lec4 的例 3.9 所述的拓扑空间。Y = {y | 0 ≤ y ≤ 1} 为 R 的子拓扑 空间。而 f : X → Y 由 y = f(x) = x 来定义。由于 lim n→+∞ xn = x (xn, x ∈ X)，必有 N，当 n > N 时，xn = x， 所以 lim n→+∞ f(xn) = f(x) 4
但是，f在任何rEX都不连续。事实上，我们取球形邻域V(f(c),e)使得Y-V(f(r),e)还含不可数个点。于是，显然不存在r在X中的邻域U=X-C（C为至多可数集），使得f(U) =U c V(f(r),)那么我们如何构造从一个拓扑空间到另一个的连续映射呢？在分析中有很多种方法，某些可以拓展到任意空间，某些不能。我们先考虑一些对一般拓扑空间都成立的构造。定理4.3.构造连续映射的方法1.拓扑空间（X,J）的恒等映射Idx是连续映射。2.常值映射f:X→Y,f(r)=yoEY,VaEX为连续映射。3.设（X,J1)(Y,J2）和（Z,J3）都是拓扑空间，且f:X-Y g:Y-→Zgof:x→z.Lo→yoYo→ Z01oZ0如果f在o连续，g在yo连续，则gof在Co也连续。4.在3中，如果f和g都是连续映射，则gof也是连续映射。5.若A是X的子空间，那么包含映射i：A→X为连续映射。6.若f：X→Y为连续映射，A为X的子空间，那么限制映射fIA：A→Y为连续映射。7.设f：X→Y为连续映射。如果Z是Y的子空间，且包含像集f(X)，那么通过限制f的到达域得到的映射g：X→Z是连续的。如果Z是包含Y的拓扑空间，那么通过扩张f的到达域得到的映射h：X→Z是连续的。8.映射f：X→Y是连续的，如果X可以写成开集U的并，且flu。对每个α都连续。口证明留作习题。定理4.4.设（X,P1）和（Y.P2）都是度量空间：f:X→Y是映射，则f在o连续台对任何ε>0，存在>0，对,oEX，当pi(,o）<时，必有p2(f(),f(ro))<e。台对X中的任何n)，liman=Co，必有limf(cn）=f(ro)。n-→+证明。1.(→)任给>0,球形邻域V(f(ro),e)是Y中的开集。由f在ro连续，存在X中的Co的邻域，使得f(U(ro)）CV(f(Co),e)，所以存在球形邻域U(ro,)CU(co)于是f(U(ro,0)) C V(f(ro),e)。5
但是，f 在任何 x ∈ X 都不连续。事实上，我们取球形邻域 V (f(x), ε) 使得 Y −V (f(x), ε) 还含不可数个点。于是，显然不存在 x 在 X 中的邻域 U = X − C（C 为至多可数集）， 使得 f(U) = U ⊂ V (f(x), ε) 那么我们如何构造从一个拓扑空间到另一个的连续映射呢？在分析中有很多种方 法，某些可以拓展到任意空间，某些不能。我们先考虑一些对一般拓扑空间都成立的构 造。 定理 4.3. 构造连续映射的方法 1. 拓扑空间 (X, T) 的恒等映射 IdX 是连续映射。 2. 常值映射 f : X → Y, f(x) = y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X 为连续映射。 3. 设 (X, T1),(Y, T2) 和 (Z, T3) 都是拓扑空间，且 f :X → Y g : Y → Z g ◦ f : X → Z x0 7→ y0 y0 7→ z0 x0 7→ z0 如果 f 在 x0 连续，g 在 y0 连续，则 g ◦ f 在 x0 也连续。 4. 在 3 中，如果 f 和 g 都是连续映射，则 g ◦ f 也是连续映射。 5. 若 A 是 X 的子空间，那么包含映射 i : A → X 为连续映射。 6. 若 f : X → Y 为连续映射，A 为 X 的子空间，那么限制映射 f|A : A → Y 为连续 映射。 7. 设 f : X → Y 为连续映射。如果 Z 是 Y 的子空间，且包含像集 f(X)，那么通过 限制 f 的到达域得到的映射 g : X → Z 是连续的。如果 Z 是包含 Y 的拓扑空间， 那么通过扩张 f 的到达域得到的映射 h : X → Z 是连续的。 8. 映射 f : X → Y 是连续的，如果 X 可以写成开集 Uα 的并，且 f|Uα 对每个 α 都 连续。 证明. 留作习题。 定理 4.4. 设 (X, ρ1) 和 (Y, ρ2) 都是度量空间， f : X → Y 是映射，则 f 在 x0 连续 ⇔ 对任何 ε > 0，存在 δ > 0，对 x, x0 ∈ X，当 ρ1(x, x0) < δ 时，必有 ρ2(f(x), f(x0)) < ε。 ⇔ 对 X 中的任何 {xn}， lim n→+∞ xn = x0，必有 lim n→+∞ f(xn) = f(x0)。 证明. 1. (⇒) 任给 ε > 0，球形邻域V (f(x0), ε) 是 Y 中的开集。由f 在 x0 连续，存在X 中的 x0 的邻域，使得 f(U(x0)) ⊂ V (f(x0), ε)，所以存在球形邻域 U(x0, δ) ⊂ U(x0)， 于是 f(U(x0, δ)) ⊂ V (f(x0), ε)。 5