中国科学技术大学数学分析(B1)习题课讲义1极限22数学语言不规范如上所言，作业中常出现证明中口语化描述偏多，不会规范及正确使用数学语言及数学符号的问题如“无穷大量乘以一个不是无穷小的量，仍然是无穷大量”以及“an无限逼近于0”等等这些口语化的描述不允许出现在数学证明中，必须要用严格的V.3等数学符号（或文字），并通过合适的数学语言进行刻画.同时还需注意数学符号使用的逻辑顺序，以及数学符号使用的合理性及规范性sinn例题1.2用定义证明：lim=0.T1证明对Ve>0,(取)N+1,则V(当)n>N时,有-sinn11<ENnnsinn =0.口故limnX如上所示，在用“一N”语言证明时，必须按照“任意一存在一任意一给定精度精确化”四个步骤的顺序进行.常见错误如下：(1）缺少某个（某些）逻辑符号，或者逻辑符号未按照正确顺序使用：2)N的取值依赖于n.N的取值必须是仅与有关的变量，不能依赖于n，所以“Ve>0”写在“N=··.”之前就是为了固定ε的值，以便最后的精确化处理1sinn(3)常见错误格式：对Ve>0,要使=<e,只用取 n>+1即可E0(4）用夹逼原理（教材定理1.7）证明.本题要求用定义法证明，不应出现夹逼原理.例题1.3证明：若liman=0,又J6nl≤M（n=1,2,),则limanbn=0.提示（1）通过定义证明证明(1)(1)当M=0时,bn=0（nEN*）一anbn=0limanbn=0;1(2)当M>0时,对 Ve>0,由 liman=0 知,3NeNt,使得当n>N 时,有[a|<e,从而[anbnl≤MJanl<e，由定义知，limanbn=0口注意对M=0的情况单独讨论提示（2）运用夹逼原理.证明（2）注意到0≤[anbn]≤ M [an] ,口由liman=0及夹逼原理知，limanbn=0错误格式limlanbnl≤Mlimlanl=0说明上述错解存在逻辑谬误．因为敛散性未知的情况下，不能直接对极限形式比较大小关系：这也可能是由夹逼原理书写格式不规范造成的，应当对数列大小进行比较，而不是对极限进行比较3分类讨论不齐全在分类讨论时，常出现分类讨论不齐全，特殊情况欠考虑的情况．此处不做详细展开
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 2 2 数学语言不规范 如上所言, 作业中常出现证明中口语化描述偏多, 不会规范及正确 使用数学语言及数学符号的问题. 如 “无穷大量乘以一个不是无穷小的量, 仍然是无穷大量” 以及 “an 无限逼近于 0” 等等. 这些口语化的描述不允许出现在数学证明中, 必须要用严格的 ∀, ∃ 等数学符号 (或文字), 并通 过合适的数学语言进行刻画. 同时还需注意数学符号使用的逻辑顺序, 以及数学符号使用的合 理性及规范性. 例题 1.2 用定义证明: lim n→+∞ sin n n = 0. 证明 对 ∀ε > 0, ∃(取)N = 1 ε + 1, 则 ∀(当)n > N 时, 有 sin n n ⩽ 1 n < 1 N < ε, 故 lim n→+∞ sin n n = 0. 如上所示, 在用 “ε − N” 语言证明时, 必须按照 “任意 — 存在— 任意 — 给定精度精确 化” 四个步骤的顺序进行. 常见错误如下: (1) 缺少某个 (某些) 逻辑符号, 或者逻辑符号未按照正确顺序使用; (2) N 的取值依赖于 n. N 的取值必须是仅与 ε 有关的变量, 不能依赖于 n, 所以 “∀ε > 0” 写在 “∃N = · · · ” 之前就是为了固定 ε 的值, 以便最后的精确化处理. (3) 常见错误格式: 对 ∀ε > 0, 要使 sin n n ⩽ 1 n < ε, 只用取 n > 1 ε + 1 即可. (4) 用夹逼原理 (教材定理 1.7) 证明. 本题要求用定义法证明, 不应出现夹逼原理. 例题 1.3 证明: 若 limn→∞ an = 0, 又 |bn| ⩽ M (n = 1, 2, · · ·), 则 limn→∞ anbn = 0. 提示 (1) 通过定义证明. 证明 (1) (1) 当 M = 0 时, bn = 0 (n ∈ N ∗ ) =⇒ anbn = 0 =⇒ limn→∞ anbn = 0; (2) 当 M > 0 时, 对 ∀ε > 0, 由 limn→∞ an = 0 知, ∃N ∈ N ∗ , 使得当 n > N 时, 有 |an| < 1 M ε, 从而 |anbn| ⩽ M |an| < ε, 由定义知, limn→∞ anbn = 0. 注意 对 M = 0 的情况单独讨论. 提示 (2) 运用夹逼原理. 证明 (2) 注意到, 0 ⩽ |anbn| ⩽ M |an| , 由 limn→∞ an = 0 及夹逼原理知, limn→∞ anbn = 0. 错误格式 limn→∞ |anbn| ⩽ M limn→∞ |an| = 0. 说明 上述错解存在逻辑谬误. 因为敛散性未知的情况下, 不能直接对极限形式比较大小 关系. 这也可能是由夹逼原理书写格式不规范造成的, 应当对数列大小进行比较, 而不是对极 限进行比较. 3 分类讨论不齐全 在分类讨论时, 常出现分类讨论不齐全, 特殊情况欠考虑的情况. 此 处不做详细展开
中国科学技术大学1极限3数学分析（B1）习题课讲义1.2命题判断及推理判断下列命题或推断是否成立，并说明理由A组1.2.1an+1 = 1.1若an>0,则 lim an=0 limn-0oan002liman=a→！lim (an+1 -an)= 0.n20a1+a2+..+an3limalim an = a.nn→o2-4[an）中任两个子列【akn}和【an}均有lim（akn一aln）=0一liman=a,aeR.an5an>0, lim=1>1→lim an = 0.oan+100an+1 =1.6若an0,则liman=a≠0一limn-→00an7无界数列一定是无穷大量8非负数列极限是非负数，正项数列极限是正数9若数列an)是单调数列,则【an收敛一(an有收敛子列10若对任意n,pEN*，均有lan+p-anl<5，则数列【an]收敛n211若数列(an),[bn)满足limanbn=0,则必有liman=0或limbn=0.若假设liman=a，回答同样的问题n-o12判断数列【an土bn】，(an·bn】的敛散性：(1若数列【an)收敛,数列[bn）发散;(2若数列(an]与[bn】皆发散13lim f(r) = l, lim g(y) = ro = lim f(g(y) = l.r-roy-→yoy-→yo1.2.2参考答案-A组11书。反例:0nm=云；牛.反例:0n=1.12K一.定义法证明即可；牛，反例：an=k=13十，反例：an=（-1)"；一，截成两段再用定义证明即可，或者运用Stolz定理4一．利用反证法，并把【an}发散转化成Cauchy列形式；一。利用2的结论即可,5一.满足I-<q<1及nN*,当n>N时，有nl <q→ an<an-q-N → lim an = 0.ann006一.定义法证明即可；午，反例：an=n7错误.反例:an=n(1-(-1)")18正确；错误.反例：an=n
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 3 1.2 命题判断及推理 判断下列命题或推断是否成立, 并说明理由. 1.2.1 A 组 1 若 an > 0, 则 limn→∞ an = 0 ⇐⇒ limn→∞ an+1 an = 1. 2 limn→∞ an = a ⇐⇒ limn→∞ (an+1 − an) = 0. 3 limn→∞ a1 + a2 + · · · + an n = a ⇐⇒ limn→∞ an = a. 4 {an} 中任两个子列 {akn } 和 {aln } 均有 limn→∞ (akn − aln ) = 0 ⇐⇒ limn→∞ an = a, a ∈ R. 5 an > 0, limn→∞ an an+1 = l > 1 =⇒ limn→∞ an = 0. 6 若 an ̸= 0, 则 limn→∞ an = a ̸= 0 ⇐⇒ limn→∞ an+1 an = 1. 7 无界数列一定是无穷大量. 8 非负数列极限是非负数, 正项数列极限是正数. 9 若数列 {an} 是单调数列, 则 {an} 收敛 ⇐⇒ {an} 有收敛子列. 10 若对任意 n, p ∈ N ∗ , 均有 |an+p − an| < p n2 , 则数列 {an} 收敛. 11 若数列 {an} , {bn} 满足 limn→∞ anbn = 0, 则必有 limn→∞ an = 0 或 limn→∞ bn = 0. 若假设 limn→∞ an = a, 回答同样的问题. 12 判断数列 {an ± bn}, {an · bn} 的敛散性: (1) 若数列 {an} 收敛, 数列 {bn} 发散; (2) 若数列 {an} 与 {bn} 皆发散. 13 limx→x0 f(x) = l, lim y→y0 g(y) = x0 =⇒ lim y→y0 f(g(y)) = l. 1.2.2 参考答案 - A 组 1 ≠⇒ . 反例: an = 1 2 n ; ̸⇐= . 反例: an = 1. 2 =⇒ . 定义法证明即可; ̸⇐= . 反例: an = Xn k=1 1 k . 3 ≠⇒ . 反例: an = (−1)n ; ⇐= . 截成两段再用定义证明即可, 或者运用 Stolz 定理. 4 =⇒ . 利用反证法, 并把 {an} 发散转化成 Cauchy 列形式; ⇐= . 利用 2 的结论即 可. 5 =⇒ . ∃q 满足 l −1 < q < 1 及 ∃n ∈ N ∗ , 当 n > N 时, 有 an+1 an < q =⇒ an < aN · q n−N =⇒ limn→∞ an = 0. 6 =⇒ . 定义法证明即可; ̸⇐= . 反例: an = n. 7 错误. 反例:an = n(1 − (−1)n ). 8 正确; 错误. 反例: an = 1 n
中国科学技术大学数学分析(B1)习题课讲义1极限49一：用定义证明即可10正确.Ve>0,N1,当n>N时，对Vp>0,有En+pn+p22111LZ Jak - ax-il <an/<an+p<E<K2A(k-1)k1kk=n+1k=n+1k=n+1=n+由Cauchy收敛准则知[an】收敛11不成立.构造数列：1111+n = +(-1) ,0.1.0.1...bn-11,0,1,0,+-1...222limbn均不存在.则anbn=0，自然有limanbn=0;但显然liman，若假设lim an=a,则答案是肯定的.(1)若liman=a=0,则结论自然成立;lim anbn00(2)若a≠0,则limbn0结论成立lim anan-on→12(1)若数列(an)收敛，数列[bn】发散,则数列(an土±bn】发散，数列[anbnl的敛散性不确定.(a)假设数列an±bn)收敛，则limbn=干（lim(an±bn）-liman）)，则数列{bn)收敛，矛盾.故数列【an土bn】发散(b)取an=0,则anbn=0,数列[anbnl收敛(c)取 an=1,则anbn=bn,数列[anbnl 发散(2）若数列anl与[bnl皆发散，则数列{an土bnlfanbnl的敛散性皆不确定(a)取数列an =(-1)", bn =(-1)n+1,则an+bn=0,数列an+bnl收敛；an-bn=2·（-1)n,数列an-bnl发散anbn=(-1)2n+1=-1,数列(anbn)收敛;(b)取数列an = bn =(-1)n,则an+bm=2.(-1)n，数列an+bn发散；an-bn=0.数列[an-bnl收敛：anbn=1数列【anbn收敛[o, +0,13半：反例：f(r),g(y)=0,o=o=0.limf(r)=0-1,r=0,lim f(g(y) = 1.→y专题选讲1.3
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 4 9 ⇐⇒ . 用定义证明即可. 10 正确. ∀ε > 0, ∃N = 1 ε + 1, 当 n > N 时, 对 ∀p > 0, 有 |an+p − an| ⩽ Xn+p k=n+1 |ak − ak−1| < Xn+p k=n+1 1 k 2 < Xn+p k=n+1 1 (k − 1)k = Xn+p k=n+1 1 k − 1 − 1 k < 1 n < 1 N < ε, 由 Cauchy 收敛准则知 {an} 收敛. 11 不成立. 构造数列: an = 1 2 + (−1)n · 1 2 = 0, 1, 0, 1, · · · , bn = 1 2 + (−1)n+1 · 1 2 = 1, 0, 1, 0, · · · , 则 anbn = 0, 自然有 limn→∞ anbn = 0; 但显然 limn→∞ an, limn→∞ bn 均不存在. 若假设 limn→∞ an = a, 则答案是肯定的. (1) 若 limn→∞ an = a = 0, 则结论自然成立; (2) 若 a ̸= 0, 则 limn→∞ bn = limn→∞ anbn limn→∞ an = 0 a = 0, 结论成立. 12 (1) 若数列 {an} 收敛, 数列 {bn} 发散, 则数列 {an ± bn} 发散, 数列 {anbn} 的敛散性不 确定. (a) 假设数列 {an ± bn} 收敛, 则 limn→∞ bn = ∓ limn→∞ (an ± bn) − limn→∞ an , 则数列 {bn} 收敛, 矛盾. 故数列 {an ± bn} 发散. (b) 取 an = 0, 则 anbn = 0, 数列 {anbn} 收敛; (c) 取 an = 1, 则 anbn = bn, 数列 {anbn} 发散. (2) 若数列 {an} 与 {bn} 皆发散, 则数列 {an ± bn}, {anbn} 的敛散性皆不确定. (a) 取数列 an = (−1)n , bn = (−1)n+1 , 则 an + bn = 0, 数列 {an + bn} 收敛; an − bn = 2 · (−1)n , 数列 {an − bn} 发散; anbn = (−1)2n+1 = −1, 数列 {anbn} 收敛; (b) 取数列 an = bn = (−1)n , 则 an + bn = 2 · (−1)n , 数列 {an + bn} 发散; an − bn = 0, 数列 {an − bn} 收敛; anbn = 1, 数列 {anbn} 收敛. 13 ≠⇒ . 反例: f(x) = 0, x ̸= 0, 1, x = 0, , g(y) ≡ 0, x0 = y0 = 0. limx→x0 f(x) = 0 ̸= lim y→y0 f(g(y)) = 1. 1.3 专题选讲
中国科学技术大学1极限5数学分析(B1)习题课讲义1.3.1实数理论1实数≤有序完备域有序Archimedes序；完备拓扑结构；域代数结构 (四则运算封闭)N减法Z除法Q极限R+1=0C2实数的刻画方式La(1)十进制小数：ao.aia2..10kk=0(2)Dedekind分割:A:=[reQ: r<0 or (r>0 and r?<2)),B:=[rEQ:r>0 and r>2],则AnB=0且AUB=Q(3)Cauchy列：用收敛数列的极限定义实数.例如，设(an+2)eQ, a1>V2, an+1=2(a可推知anEQ且liman=V2.3实数完备性的六个等价表述形式(1)单调有界定理(2）Bolzano-Weierstrass定理（列紧性定理）(3）Cauchy收敛准则(4)确界原理(5）闭区间套定理(6)）有限覆盖定理例题1.4证明：nEN*,VngN*ngQ*证明用反证法.设Vn=P,(p,g)=1且p,qEN*.则3mEN,使得m<<m+1.4q而q1:=-qm(0,q),故P=Vn=e.P-qmqn -pmP1qp-qmq1q1q口由q>q知p>Pi.而p,EN,由无穷递降法知上述过程不能无限进行下去，矛盾.例题1.5设是给定的无理数，则VnN*,p,EZ,使得p-ql<证明考虑[r},[2α}，..，{nc】这n个互不相同”的无理数．由抽屉原理知，i,jE[0,1,2,...,n],使得0< [jr] -{i] <=.而{(-i)c}=[jc}-[ic],令k=j-i,则[ka] <=. 取 p= k,q=[k1], 则 [pr -ql <口n由上述结论立即得到下面的推论：推论1.5设是给定的无理数，则集合（m+nrm,nez在R中稠密4数学分析（B1)不要求掌握5请读者思考为什么
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 5 1.3.1 实数理论 1 实数 ≜ 有序完备域 有序 Archimedes 序; 完备 拓扑结构; 域 代数结构 (四则运算封闭). N 减法 ===⇒ Z 除法 ===⇒ Q 极限 ===⇒ R x 2+1=0 =====⇒ C 2 实数的刻画方式 (1) 十进制小数: a0.a1a2 · · · = X∞ k=0 ak 10k . (2) Dedekind 分割: A := x ∈ Q : x < 0 or (x > 0 and x 2 < 2) , B := x ∈ Q : x > 0 and x 2 > 2 , 则 A ∩ B = ∅ 且 A ∪ B = Q. (3) Cauchy 列: 用收敛数列的极限定义实数. 例如, 设 a1 ∈ Q, a1 > √ 2, an+1 = 1 2 an + 2 an , 可推知 an ∈ Q 且 limn→∞ an = √ 2. 3 实数完备性的六个等价表述形式 (1) 单调有界定理 (2) Bolzano-Weierstrass 定理 (列紧性定理) (3) Cauchy 收敛准则 (4) 确界原理 (5) 闭区间套定理 (6) 有限覆盖定理4 例题 1.4 证明: n ∈ N ∗ , √ n ̸∈ N ∗ =⇒ √ n ̸∈ Q ∗ . 证明 用反证法. 设 √ n = p q , (p, q) = 1 且 p, q ∈ N ∗ . 则 ∃m ∈ N ∗ , 使得 m < p q < m + 1. 而 q1 := p − qm ∈ (0, q), 故 p q = √ n = p q · p − qm p − qm = qn − pm q1 := p1 q1 . 由 q > q1 知 p > p1. 而 p, q ∈ N, 由无穷递降法知上述过程不能无限进行下去, 矛盾. 例题 1.5 设 x 是给定的无理数, 则 ∀n ∈ N ∗ , ∃p, q ∈ Z, 使得 |px − q| < 1 n . 证明 考虑 {x} , {2x} , . . . , {nx} 这 n 个互不相同5 的无理数. 由抽屉原理知, ∃i, j ∈ {0, 1, 2, . . . , n}, 使得 0 < {jx} − {ix} < 1 n . 而 {(j − i)x} = {jx} − {ix}, 令 k = j − i, 则 {kx} < 1 n . 取 p = k, q = [kx], 则 |px − q| < 1 n . 由上述结论立即得到下面的推论: 推论 1.5 设 x 是给定的无理数, 则集合 {m + nx|m, n ∈ Z} 在 R 中稠密. 4数学分析 (B1) 不要求掌握. 5请读者思考为什么
中国科学技术大学数学分析(B1)习题课讲义1极限61.3.2比值法&根值法命题1.1（比值法）已知数列【an].an+1(1)若从某项起有≤g<1,则 lim an =0.annan+1(②)若从某项起有>1,则liman=00.anan+1(3)若有lim=9,则当g<1时，liman=0；当g>1时，liman=ooan命题1.2（根值法)已知数列an.(1)若从某项起有/lanl≤q<1,则 lim an=0.2(2)若从某项起有lanl>1,则liman=0.(3)若有limanl=q,则当q<1时，liman=0;当q>1时，liman=80.说明上述命题请读者自证.使用该方法须将完整过程写清楚，不能直接使用下面给出上述命题的应用，1.3.31比较数列收敛速度的万能工具an命题1.3把lim=0记作anbm（n→),则(lnn)<nk<an<n!<mobnn" (k,l>0, a>1, n→).提示运用Stolz定理或比值法证明证明(1)注意到,(n+1)*-nk>nl+k一In (1 + )nl+k1+=nkk>10?+8(n-→8)kkk0<k≤12m由Stolz定理知ng(n+ 1)- na(n+ 1)a-nalimlimlim(α> 0)+800lnn00ln(n+1)-lnnIn (1 + )-2-1) kan1+a则ENeN*当n>N时,有故当n>N时，有(2)记 cn1+nkn2Cn-N2aa2aCn+1(n→8)Cn>CN→+8(1 + #)(1+a）1+aCn所以limCn=+00.n-on!取N=[2a+2].当n>N时，有(3)记 Cnann+1Cn+1>2— Cn>2n-NcN→+0 (n→8)a+iCn所以limCn=+o0.n
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 6 1.3.2 比值法 & 根值法 命题 1.1 (比值法) 已知数列 {an}. (1) 若从某项起有 an+1 an ⩽ q < 1, 则 limn→∞ an = 0. (2) 若从某项起有 an+1 an > 1, 则 limn→∞ an = ∞. (3) 若有 limn→∞ an+1 an = q, 则当 q < 1 时, limn→∞ an = 0; 当 q > 1 时, limn→∞ an = ∞. 命题 1.2 (根值法) 已知数列 {an}. (1) 若从某项起有 pn |an| ⩽ q < 1, 则 limn→∞ an = 0. (2) 若从某项起有 pn |an| > 1, 则 limn→∞ an = ∞. (3) 若有 limn→∞ pn |an| = q, 则当 q < 1 时, limn→∞ an = 0; 当 q > 1 时, limn→∞ an = ∞. 说明 上述命题请读者自证. 使用该方法须将完整过程写清楚, 不能直接使用. 下面给出上述命题的应用. 1.3.3 比较数列收敛速度的万能工具 命题 1.3 把 limn→∞ an bn = 0 记作 an ≪ bn (n → ∞), 则 (ln n) l ≪ n k ≪ a n ≪ n! ≪ n n (k, l > 0, a > 1, n → ∞). 提示 运用 Stolz 定理或比值法证明. 证明 (1) 注意到, (n + 1)k − n k ln 1 + 1 n > n1+k " 1 + 1 n k − 1 # ⩾ n 1+k 1 + 1 n − 1 = n k , k > 1 n 1+k 1 + k 2n − 1 = k 2 n k , 0 < k ⩽ 1 → +∞ (n → ∞) 由 Stolz 定理知, limn→∞ n α ln n = limn→∞ (n + 1)α − n α ln(n + 1) − ln n = limn→∞ (n + 1)α − n α ln 1 + 1 n = +∞. (α > 0) (2) 记 cn = a n nk . 则 ∃N ∈ N ∗ . 当 n > N 时, 有 1 + 1 n k < 1 + a 2 . 故当 n > N 时, 有 cn+1 cn = a 1 + 1 n k > 2a 1 + a =⇒ cn > 2a 1 + a n−N cN → +∞ (n → ∞) 所以 limn→∞ cn = +∞. (3) 记 cn = n! a n . 取 N = [2a + 2]. 当 n > N 时, 有 cn+1 cn = n + 1 a + 1 > 2 =⇒ cn > 2 n−N cN → +∞ (n → ∞) 所以 limn→∞ cn = +∞