中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）习题课讲义 Recitation of Mathematical Analysis（B1，宗语轩、余启帆）

中国科学技术大学目录V数学分析(B1)习题课讲义目录序1前言II1第1章极限11.1关于书写规范的建议格式规范11.1.11.1.2作业中的典型问题131.2命题判断及推理A组31.2.1参考答案A组31.2.2专题选讲41.31.3.1实数理论51.3.26比值法&根值法61.3.3比较数列收敛速度的万能工具71.3.4自然对数的底e.1.3.5由选代生成的数列91.3.6多数列关系下数列收敛性问题101.3.7Stolz定理的应用12131.3.8无穷小量&无穷大量&阶补充习题141.41.4.1A组14B组1.4.215C组161.4.319第2章函数的连续性2.119命题判断及推理A组192.1.1B组192.1.22.1.3参考答案-A组192.1.4参考答案-B组202.2专题选讲20连续与一致连续212.2.12.3补充习题22

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 目 录 V 目 录 序 I 前言 III 第 1 章 极限 1 1.1 关于书写规范的建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 格式规范 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 作业中的典型问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 命题判断及推理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 参考答案 - A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 实数理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 比值法 & 根值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 比较数列收敛速度的万能工具 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.4 自然对数的底 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.5 由迭代生成的数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.6 多数列关系下数列收敛性问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.7 Stolz 定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.8 无穷小量 & 无穷大量 & 阶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 第 2 章 函数的连续性 19 2.1 命题判断及推理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 参考答案 - A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.4 参考答案 - B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 连续与一致连续 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

中国科学技术大学目习题课讲义录VI数学分析(B1)A组2.3.1222.3.2B组23C组232.3.3第3章一元微分学及其应用253.125命题判断及推理A组253.1.1B组3.1.225253.1.3参考答案-A组3.1.4参考答案-B组25专题选讲3.226263.2.1利用递推关系计算高阶导数3.2.2隐函数求导法273.2.3微分中值定理的应用27303.2.4构造辅助函数“搭配”L'Hospital法则凸函数303.2.53.2.6Taylor展开的方法313.2.734Taylor定理在函数估值中的应用3.2.8Taylor定理在Stolz定理中的应用37补充习题383.33.3.1A组38B组3.3.239C组3.3.341第4章期中部分知识梳理43极限434.1单变量函数的连续性454.24.3单变量函数的微分学46第5章不定积分495.1专题选讲495.1.149不定积分计算的特殊方法5.1.2有理函数不定积分的代值法505.1.3Chebyshev型积分52补充习题535.2A组5.2.153B组5.2.254一元积分学及其应用55第6章6.155命题判断及推理：

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 目 录 VI 2.3.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 第 3 章 一元微分学及其应用 25 3.1 命题判断及推理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.3 参考答案 - A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.4 参考答案 - B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1 利用递推关系计算高阶导数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2 隐函数求导法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.3 微分中值定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.4 构造辅助函数 “搭配” L’Höspital 法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.5 凸函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.6 Taylor 展开的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.7 Taylor 定理在函数估值中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.8 Taylor 定理在 Stolz 定理中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 第 4 章 期中部分知识梳理 43 4.1 极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 单变量函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 单变量函数的微分学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 第 5 章 不定积分 49 5.1 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1.1 不定积分计算的特殊方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1.2 有理函数不定积分的代值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.1.3 Chebyshëv 型积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 第 6 章 一元积分学及其应用 55 6.1 命题判断及推理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

中国科学技术大学目数学分析(B1)习题课讲义录VIIA组6.1.155B组556.1.2556.1.3参考答案-A组参考答案-B组556.1.4专题选讲566.2566.2.1原函数&可积函数6.2.2变限积分566.2.358定积分计算的特殊方法616.2.4积分不等式6.2.565对含参型积分求极限6.2.6积分在数列极限中的应用676.2.7积分在函数估值中的应用68补充习题716.36.3.1A组71B组726.3.2C组746.3.3第7章无穷级数75命题判断及推理757.17.1.1A组75B组757.1.27.1.376参考答案-A组777.1.4参考答案-B组专题选讲777.27.2.1Raabe判别法.777.2.278Cauchy积分判别法7.2.3致收敛&绝对收敛79函数项级数中的收敛&817.2.4致收敛级数的应用7.2.583Cauchy乘积在幂级数中的应用7.3补充习题847.3.1A组84B组857.3.27.3.3C组87第8章期末部分知识梳理89不定积分898.1单变量函数的积分学898.2918.3常微分方程8.4无穷级数93

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 目 录 VII 6.1.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.3 参考答案 - A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.4 参考答案 - B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.2 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.1 原函数 & 可积函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.2 变限积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.3 定积分计算的特殊方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.2.4 积分不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2.5 对含参型积分求极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2.6 积分在数列极限中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.2.7 积分在函数估值中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.3.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.3.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.3.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 第 7 章 无穷级数 75 7.1 命题判断及推理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.1.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.1.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.1.3 参考答案 - A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.1.4 参考答案 - B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2.1 Raabe 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2.2 Cauchy 积分判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.2.3 函数项级数中的收敛 & 一致收敛 & 绝对收敛 . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.2.4 一致收敛级数的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.2.5 Cauchy 乘积在幂级数中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.3 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.3.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.3.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.3.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 第 8 章 期末部分知识梳理 89 8.1 不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.2 单变量函数的积分学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.3 常微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.4 无穷级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

中国科学技术大学目录数学分析(B1)习题课讲义VIII第9章部分补充习题提示与解答101第1章9.1#1019.1.1A组: 1019.1.2B组102C组9.1.3.106第2章1079.29.2.1A组107B组9.2.2:108C组9.2.3.110第3章9.3.110A组9.3.11109.3.2B组: 115C组9.3.3.120第5章1229.4A组9.4.1122B组9.4.2:1249.5第6章. 124A组9.5.1. 124B组9.5.21279.5.3C组129第7章9.6: 131A组9.6.1131B组9.6.2.132C组9.6.3133

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 目 录 VIII 第 9 章 部分补充习题提示与解答 101 9.1 第 1 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.1.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.1.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9.1.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.2 第 2 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.2.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.2.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.2.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.3 第 3 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.3.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.3.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 9.3.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 9.4 第 5 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.4.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.4.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.5 第 6 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.5.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.5.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.5.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.6 第 7 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.6.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.6.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.6.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

中国科学技术大学1极限1数学分析（B1）习题课讲义第1章极限1.1关于书写规范的建议1.1.1格式规范1言简意，切忌跳步不能省略关键步骤，同时也不要过度交代与题目无关的东西如，不要使用“显然”“易证”“易得”等词语跳过一些关键步骤，3更不要因为一些中间步骤难以证明，试图通过“显然”来蒙混过关2依据充足，逻辑清晰必要时应当注明相应的定理、命题或结论，逻辑表述上一定要清晰且准确.如，在推导过程中，添加“由定理.知..”“要证明A，只需证明B.”“往证：”等字眼;3语言规范，符号得当使用数学化的语言，避免口语化的描述．必要时可合理选用规范的逻辑符号或其他数学符号；4从模仿做起对于格式规范的练习，最好的参照就是教材上的例题，应当仔细研究教材例题上数学语言的叙述方式，并根据自身情况进行适当的模仿和训练1.1.2作业中的典型问题1数学归纳法的书写格式不规范例题1.1（Bernoulli不等式）设≥-1，n≥1是正整数，则有(1+r)"≥1+nc.证明用数学归纳法证明上述命题成立(1）当n=1时，命题成立；(2)假设n=k（≥1)时，命题成立，即(1+a)≥1+kr，下证：结论对n=k+1也成立.当n=k+1时，由归纳假设知(1 +r)k+1 ≥(1+ka)(1 +r) =1 +( +1)r +kr2≥1 + (k + 1)r,即，n=k+1时，命题也成立由（1)(2)及数学归纳法知，结论对任意nEN*成立口上述过程展示了规范的数学归纳法书写格式，其中黑体加粗的四个步骤及归纳假设成立的推断过程一定不能省略，3如果这一结论确实显然，那当然可以这么写

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 1 第 1 章 极限 1.1 关于书写规范的建议 1.1.1 格式规范 1 言简意赅, 切忌跳步 不能省略关键步骤, 同时也不要过度交代与题目无关的东西. 如, 不要使用 “显然” “ 易证” “易得” 等词语跳过一些关键步骤, 3 更不要因为一些中间步骤难 以证明, 试图通过 “ 显然” 来蒙混过关; 2 依据充足, 逻辑清晰 必要时应当注明相应的定理、命题或结论, 逻辑表述上一定要清 晰且准确. 如, 在推导过程中, 添加 “由定理.知.” “要证明 A, 只需证明 B. ” “ 往证: .” 等字 眼; 3 语言规范, 符号得当 使用数学化的语言, 避免口语化的描述. 必要时可合理选用规范 的逻辑符号或其他数学符号; 4 从模仿做起 对于格式规范的练习, 最好的参照就是教材上的例题, 应当仔细研究教 材例题上数学语言的叙述方式, 并根据自身情况进行适当的模仿和训练. 1.1.2 作业中的典型问题 1 数学归纳法的书写格式不规范 例题 1.1 (Bernoulli 不等式) 设 x ⩾ −1, n ⩾ 1 是正整数, 则有 (1 + x) n ⩾ 1 + nx. 证明 用数学归纳法证明上述命题成立. (1) 当 n = 1 时, 命题成立; (2) 假设 n = k (⩾ 1) 时, 命题成立, 即 (1 + x) k ⩾ 1 + kx, 下证: 结论对 n = k + 1 也 成立. 当 n = k + 1 时, 由归纳假设知 (1 + x) k+1 ⩾ (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 ⩾ 1 + (k + 1)x, 即, n = k + 1 时, 命题也成立. 由 (1)(2) 及数学归纳法知, 结论对任意 n ∈ N ∗ 成立. 上述过程展示了规范的数学归纳法书写格式, 其中黑体加粗的四个步骤及归纳假设成立 的推断过程一定不能省略. 3如果这一结论确实显然, 那当然可以这么写