D0I:10.13374.issn1001-053x.2012.10.017 第34卷第10期 北京科技大学学报 Vol.34 No.10 2012年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2012 基于格结构的三带小波构造及在图像融合中的应用 沈政伟》四吴纪桃” 廖福成) 1)北京航空航天大学数学学院，北京100083：2)北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:ijwmip@ustb.cd血.cn 摘要提出了一种构造具有正交性、对称性、紧支性以及较高消失矩的三带尺度滤波器与小波滤波器的方法.首先，通过设 置尺度滤波器消失矩并转移尺度滤波器的对称性性质，有效地减少了构造尺度滤波器过程中未知量的个数以及计算推导过 程的复杂度.在此基础上，利用格结构理论，给出了对具有仿酉特性的多相位矩阵的一种分解方法，并利用这种分解求出了冲 击响应长度为9、消失矩为3以及响应长度为15、消失矩分别为3和4的小波滤波器.最后，把所求得的小波滤波器应用到多 聚焦图像的融合中.实验结果表明，利用具有上述性质的三带小波进行图像融合可以得到比利用二带小波进行融合更好的 效果 关键词小波变换：滤波器：格理论：图像融合 分类号TP391.4 Three-band wavelet construction based on lattice structure and its application in image fusion SHEN Zheng-wei,WU Ji-tao,LIAO Fu-cheng? 1)School of Mathematics,Beihang University,Beijing 100083,China 2)School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China XCorresponding author,E-mail:ijwmip@ustb.edu.cn ABSTRACT An approach to construct a 3-band scaling filter and a wavelet filter was proposed,which not only is of orthogonality, symmetry and compact support but also has high vanishing moments.By setting the vanishing moment and switching the orthogonality of the scaling filter,this approach effectively reduces the number of unknown variables during the process of constructing the scaling filter and the complexity of the calculation process.Subsequently,a decomposition scheme of the polyphase matrix with paraunitary property was proposed on the basis of the lattice structure theory.Using this decomposition scheme,the corresponding wavelet filters are constructed whose impulse response length is 9 and vanishing moment is 3 and whose impulse response length is 15 and vanishing moment is 3 or 4,respectively.Finally,multi focus image fusion is implemented by using these wavelet filters.Experimental data show that the fusion result is better by using these 3-band wavelets than by using dyadic wavelets. KEY WORDS wavelet transforms;wave filters:lattice theory:image fusion 图像融合是对同一场景在不同条件下形成的多 于区域方差匹配度等方式，使得目标图像具有比源 幅图像信息进行整合，使所得图像更有利于人类与 图像更高的质量.小波变换之所以可以用于图像融 计算机识别，更适合对图像做进一步处理，比如图像 合，是因为小波变换具有多分辨分析、时频局部化以 分割、目标识别或者特征提取.图像融合的方法多 及对包含奇异性信息信号的最优稀疏性表示等特 种多样，基于小波的图像融合方法是最近几年才发 性.因此，待融合图像经小波变换之后所得小波系 展起来的-则.这种融合方法的关键步骤在于对待 数，能够较好地表现图像中的细节、边界、分辨率以 融合图像小被系数采用某种方式进行整合，比如基 及光谱等信号的特征信息，从而便于在小波域内进 收稿日期：2011-08-17 基金项目：国家自然科学基金资助项目(10671011)：北京科技大学治金研究基金资助项目(2009002)
第 34 卷 第 10 期 2012 年 10 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 10 Oct． 2012 基于格结构的三带小波构造及在图像融合中的应用 沈政伟1) ! 吴纪桃1) 廖福成2) 1) 北京航空航天大学数学学院，北京 100083; 2) 北京科技大学数理学院，北京 100083 !通信作者，E-mail: ijwmip@ ustb． edu． cn 摘 要 提出了一种构造具有正交性、对称性、紧支性以及较高消失矩的三带尺度滤波器与小波滤波器的方法． 首先，通过设 置尺度滤波器消失矩并转移尺度滤波器的对称性性质，有效地减少了构造尺度滤波器过程中未知量的个数以及计算推导过 程的复杂度． 在此基础上，利用格结构理论，给出了对具有仿酉特性的多相位矩阵的一种分解方法，并利用这种分解求出了冲 击响应长度为 9、消失矩为 3 以及响应长度为 15、消失矩分别为 3 和 4 的小波滤波器． 最后，把所求得的小波滤波器应用到多 聚焦图像的融合中． 实验结果表明，利用具有上述性质的三带小波进行图像融合可以得到比利用二带小波进行融合更好的 效果． 关键词 小波变换; 滤波器; 格理论; 图像融合 分类号 TP391. 4 Three-band wavelet construction based on lattice structure and its application in image fusion SHEN Zheng-wei 1) !，WU Ji-tao 1) ，LIAO Fu-cheng2) 1) School of Mathematics，Beihang University，Beijing 100083，China 2) School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China !Corresponding author，E-mail: ijwmip@ ustb． edu． cn ABSTRACT An approach to construct a 3-band scaling filter and a wavelet filter was proposed，which not only is of orthogonality， symmetry and compact support but also has high vanishing moments． By setting the vanishing moment and switching the orthogonality of the scaling filter，this approach effectively reduces the number of unknown variables during the process of constructing the scaling filter and the complexity of the calculation process． Subsequently，a decomposition scheme of the polyphase matrix with paraunitary property was proposed on the basis of the lattice structure theory． Using this decomposition scheme，the corresponding wavelet filters are constructed whose impulse response length is 9 and vanishing moment is 3 and whose impulse response length is 15 and vanishing moment is 3 or 4，respectively． Finally，multi focus image fusion is implemented by using these wavelet filters． Experimental data show that the fusion result is better by using these 3-band wavelets than by using dyadic wavelets． KEY WORDS wavelet transforms; wave filters; lattice theory; image fusion 收稿日期: 2011--08--17 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 10671011) ; 北京科技大学冶金研究基金资助项目( 2009--002) 图像融合是对同一场景在不同条件下形成的多 幅图像信息进行整合，使所得图像更有利于人类与 计算机识别，更适合对图像做进一步处理，比如图像 分割、目标识别或者特征提取． 图像融合的方法多 种多样，基于小波的图像融合方法是最近几年才发 展起来的［1--4］． 这种融合方法的关键步骤在于对待 融合图像小波系数采用某种方式进行整合，比如基 于区域方差匹配度等方式，使得目标图像具有比源 图像更高的质量． 小波变换之所以可以用于图像融 合，是因为小波变换具有多分辨分析、时频局部化以 及对包含奇异性信息信号的最优稀疏性表示等特 性． 因此，待融合图像经小波变换之后所得小波系 数，能够较好地表现图像中的细节、边界、分辨率以 及光谱等信号的特征信息，从而便于在小波域内进 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.10.017
第10期 沈政伟等：基于格结构的三带小波构造及在图像融合中的应用 ·1219· 行图像融合处理.而且，同时具有正交性、对称性 小波系统的多相位表示H(z)= H.4(2)z-, (线性相位)以及较高消失矩的小波滤波器在进行 小波变换时，能更准确地表征图像的细节、边界以及 0≤i≤2，其中H.()= ∑：h,(k+3).如果以 光谱等特征信息.比如，具有线性相位特性的小波 1=- 能有效避免图像重建时边界失真问题：而具有高消 矩阵形式表示上述多相位形式，则有 失矩的小波，则能更好地对图像提供稀疏表示，并且 「H()1 Ho.o (2) Ho.1(23) Ho.2(z3) 由于高消失矩小波对应的小波函数具有更好的正则 H(2) H.o(2) H.1(2) H12(2) 性，所以可以有效避免重构图像出现边界失真。 H (2) H2.(2) H21(23) H2.2(z) 然而，除Haar小波外，所有的二带小波不能同 定义 时具有正交性、对称性（线性相位）以及紧支性.三 「Ho.o(z) Ho.1(z） Ho.2(z)1 带小波克服了二带小波的这个缺点，能够同时保证 H(z)= H1.o(z）H.1(z H1.2(z) (1) 小波滤波器的正交性以及对称性.因此，三带小波 LH2.o(z)H2.1(z) H2.2(z） 更适合处理包含奇异性信息的信号，比如图像的边 为三带小波系统的多相位矩阵，其中关于z的多项 界或者机械设备检测信号中的故障信息等一维信号 式分量H,(z)的阶，称为H(z)的阶. 中的瞬变 类似于二带小波，三带紧支集正交小波的尺度 对M(M≥3)带小波系统的构造，文献5-7]中 函数中()与小波函数中：()满足二尺度方程 己有所涉及和研究.但是，文献5]中尺度与小波滤 波器的计算复杂度高，并且没有得到支集长度都为 中()=∑hk]Φ(3t-k) (2) 15的小波系统：文献[6]只是在理论上讨论了构造 和 具有正交、对称、高消失矩以及紧支特性的M(M≥ ,()=∑h,]b(3-k),i=12. (3) 3)带小波系统的可行性，但并没有给出具体的构造 e五 式(2)和(3)中， 方法与实例：文献8]虽然求出了完全对称和反对 称的三带小波系统，但是并没有给出确定的构造小 A4阴=3 波消失矩的方法，而且也仅仅对滤波器长度为9的 而且尺度滤波器的正交性还意味着如下平移正交性 情况进行了描述.本文在三带小波尺度滤波器的构 条件的成立， 造过程中，通过先确定尺度滤波器的支集长度与消 ∑因，B+30=38leZ. (4) 失矩，有效地减少了非线性方程组未知参数的个数， 其中，do.,是Kronecker符号.需要说明的是，条件 减少了计算复杂度，然后在确定尺度滤波器系数之 后，提出利用格结构(lattice structure)分解方法m, (4)只是尺度滤波器正交的必要条件，而非充分条 件.如果满足(4)条件的尺度滤波器，还能同时保证 给出了相应的小波滤波器的构造方法，最后把构造 等式(2)及(3)的收敛，那么条件(4)就是尺度滤波 的具有9个长与15个长的三带小波滤波器应用到 器正交的充分且必要条件.其实，多相位矩阵H(z) 图像融合中 的仿酉性意味着对应的小波系统的正交性，所以有 1三带小波及格结构理论 下面的引理) 引理1三带小波系统的H(z)是仿酉的，即 1.1三带小波理论 实系数三带完全可重建(perfect reconstruction) (可H(:)=dl,其中H(=H(z1),当且仅当小 有限冲击响应(FR)小波系统，对应的三个滤波器 波系统是正交的 冲击响应为h:],0≤i≤2.其中h。]是低通滤波 需要说明的是，有限冲击响应的正交三带小波 器，也称为尺度滤波器：而h:止]，1≤i≤2是其中的 系统的综合滤波器组f],0≤i≤2是分析滤波器 两个小波滤波器.滤波器冲击响应的z一变换定义为 组h:止]，0≤i≤2的时间反序，即后k]=h:N- 日=兮宫么圆：0≤12，其中N表示装波 W-1 1-k],0≤k≤N-1,N是滤波器的长度.关于三带 小波滤波器冲击响应的对称性/反对称性，有如下的 器长.本文只构造滤波器长度为3的倍数长的三带 引理2因 小波系统，所以如不作特别说明，本文中N都是3 引理2假设三带有限冲击响应小波滤波器组 的整数倍，即N=3L,L∈Z.由此，可以得到三带 H,(z),0≤i≤2具有线性相位、完全可重构及正交等
第 10 期 沈政伟等: 基于格结构的三带小波构造及在图像融合中的应用 行图像融合处理． 而且，同时具有正交性、对称性 ( 线性相位) 以及较高消失矩的小波滤波器在进行 小波变换时，能更准确地表征图像的细节、边界以及 光谱等特征信息． 比如，具有线性相位特性的小波 能有效避免图像重建时边界失真问题; 而具有高消 失矩的小波，则能更好地对图像提供稀疏表示，并且 由于高消失矩小波对应的小波函数具有更好的正则 性，所以可以有效避免重构图像出现边界失真． 然而，除 Haar 小波外，所有的二带小波不能同 时具有正交性、对称性( 线性相位) 以及紧支性． 三 带小波克服了二带小波的这个缺点，能够同时保证 小波滤波器的正交性以及对称性． 因此，三带小波 更适合处理包含奇异性信息的信号，比如图像的边 界或者机械设备检测信号中的故障信息等一维信号 中的瞬变． 对 M( M≥3) 带小波系统的构造，文献［5--7］中 已有所涉及和研究． 但是，文献［5］中尺度与小波滤 波器的计算复杂度高，并且没有得到支集长度都为 15 的小波系统; 文献［6］只是在理论上讨论了构造 具有正交、对称、高消失矩以及紧支特性的 M( M≥ 3) 带小波系统的可行性，但并没有给出具体的构造 方法与实例; 文献［8］虽然求出了完全对称和反对 称的三带小波系统，但是并没有给出确定的构造小 波消失矩的方法，而且也仅仅对滤波器长度为 9 的 情况进行了描述． 本文在三带小波尺度滤波器的构 造过程中，通过先确定尺度滤波器的支集长度与消 失矩，有效地减少了非线性方程组未知参数的个数， 减少了计算复杂度，然后在确定尺度滤波器系数之 后，提出利用格结构( lattice structure) 分解方法［7］， 给出了相应的小波滤波器的构造方法，最后把构造 的具有 9 个长与 15 个长的三带小波滤波器应用到 图像融合中． 1 三带小波及格结构理论 1. 1 三带小波理论 实系数三带完全可重建( perfect reconstruction) 有限冲击响应( FIR) 小波系统，对应的三个滤波器 冲击响应为 hi ［k］，0≤i≤2． 其中 h0［k］是低通滤波 器，也称为尺度滤波器; 而 hi ［k］，1≤i≤2 是其中的 两个小波滤波器． 滤波器冲击响应的 z--变换定义为 Hi ( z) = 1 3 ∑ N－1 k = 0 hi ［k］z － k ，0≤i≤2，其中 N 表示滤波 器长． 本文只构造滤波器长度为 3 的倍数长的三带 小波系统，所以如不作特别说明，本文中 N 都是 3 的整数倍，即 N = 3L，L∈Z + ． 由此，可以得到三带 小波系统的多相位表示 Hi ( z) = ∑ 2 k = 0 Hi，k ( z 3 ) z － k ， 0≤i≤2，其中 Hi，k ( z) = ∑ ∞ l = －∞ z － l hi ( k + 3l) ． 如果以 矩阵形式表示上述多相位形式，则有 H0 ( z) H1 ( z) H2 ( z ) = H0，0 ( z 3 ) H0，1 ( z 3 ) H0，2 ( z 3 ) H1，0 ( z 3 ) H1，1 ( z 3 ) H1，2 ( z 3 ) H2，0 ( z 3 ) H2，1 ( z 3 ) H2，2 ( z 3 ) 1 z － 1 z － 2 ， 定义 H( z) = H0，0 ( z) H0，1 ( z) H0，2 ( z) H1，0 ( z) H1，1 ( z) H1，2 ( z) H2，0 ( z) H2，1 ( z) H2，2 ( z ) ( 1) 为三带小波系统的多相位矩阵，其中关于 z 的多项 式分量 Hi，j ( z) 的阶，称为 H( z) 的阶． 类似于二带小波，三带紧支集正交小波的尺度 函数 ( t) 与小波函数 ψi ( t) 满足二尺度方程 ( t) = ∑k∈Z h0［k］( 3t － k) ( 2) 和 ψi ( t) = ∑k∈Z hi ［k］( 3t － k) ，i = 1，2． ( 3) 式( 2) 和( 3) 中， ∑k∈Z h0［k］= 3， 而且尺度滤波器的正交性还意味着如下平移正交性 条件的成立， ∑k h0［k］h0［k + 3l］= 3δ0，l，l∈Z + ． ( 4) 其中，δ0，l 是 Kronecker 符号． 需要说明的是，条件 ( 4) 只是尺度滤波器正交的必要条件，而非充分条 件． 如果满足( 4) 条件的尺度滤波器，还能同时保证 等式( 2) 及( 3) 的收敛，那么条件( 4) 就是尺度滤波 器正交的充分且必要条件． 其实，多相位矩阵 H( z) 的仿酉性意味着对应的小波系统的正交性，所以有 下面的引理［9］． 引理 1 三带小波系统的 H( z) 是仿酉的，即 H 槇( z) H( z) = dI，其中H 槇( z) = HT ( z － 1 ) ，当且仅当小 波系统是正交的． 需要说明的是，有限冲击响应的正交三带小波 系统的综合滤波器组 fi ［k］，0≤i≤2 是分析滤波器 组 hi ［k］，0≤i≤2 的时间反序，即 fi ［k］= hi ［N － 1 － k］，0≤k≤N － 1，N 是滤波器的长度． 关于三带 小波滤波器冲击响应的对称性/反对称性，有如下的 引理 2 ［6］. 引理 2 假设三带有限冲击响应小波滤波器组 Hi ( z) ，0≤i≤2 具有线性相位、完全可重构及正交等 ·1219·
·1220· 北京科技大学学报 第34卷 特性，那么H。(z)和H1(z)是对称的，而H2(z)是反 不可能的 对称的.并且相关的多相位矩阵(1)可以表示成为 引理4紧支正交对称三带小波尺度滤波器 H。(z)具有m阶消失矩，并且满足等式(5)的分解， Ho.o(z） Ho.1() Ho.o(z） 那么分解因式Q(z)的阶n与消失矩m满足如下 H(z)= H.o(e） H1.1(z) H..(2) 关系： (2m+n,3)=1, LH2.o(2) H2.1(z) -H2.o(z) 且如果m≥2，有 其中，Ho()=z-”Ho(z),i=0,1,2,并且称 n≥2m-1. (7) L-1为多相位矩阵的阶.三带小波的消失矩是构造 引理4的证明参考文献5] 小波需要考虑的另一个重要因素，小波消失矩的大 1.2格结构理论 小对应着索伯列夫空间的光滑性，并且能够间接的 格结构(lattice structure)是一种重要的设计与 反应出相应的尺度函数与小波函数的光滑性，因此 实现滤波器组的方法，其主要思想是把滤波器组分 有如下的引理30 解成一系列层叠的结构单元(building block),而每 引理3紧支正交三带小波尺度函数中(t)具 一个结构单元都足够简单且满足设计所需要的性 有m阶消失矩，那么尺度滤波器冲击响应h。] 质.三带小波系统的多相位矩阵H(z)的每一个分 满足 量H,(z)是一个关于z的多项式，如果能够通过格 0h,=0,n=0,l,2l=0,l,…,m-l, 结构分解，把H(z)分解成一系列简单结构单元，那 么对于求解小波滤波器是有利的.然而，尽管己经 其中W=e-2/B. 对三带小波滤波器的长度N作了假设N=3L,L∈ 从这个引理似乎可以通过设置消失矩m得到 Z*,但是并不是所有满足这个长度要求的三带小波 些等式，但这只适用于消失矩为1的情况，消失矩 滤波器组都存在，文献0]己经证明，只存在奇数 大于1时情况将变得相当复杂.实际上，由引理3， 长三带小波系统，即L=2k+1,k∈Z.因此，可以 可以得到下式： 得出只有奇数长三带小波系统对应的多相位矩阵存 (5) 在格结构分解。 定理2对称完全可重建的仿西三带小波多相 其中，Q(）是一个不能够整除(1+z1+z2)的n阶 位矩阵可以分解为 多项式，且Q()1-1=1.从式(5)可以得到，尺度滤 H(2)=B-2(z）B-4(z）…B2(2)B(z)H。 (8) 波器冲击响应支集长度N=2m+n+1.由此，得到 1 下面的定理 其中，B:(a）=4RD(e)LD,(a),H。=RDo,并 定理1假设尺度滤波器H。(z)满足式(5)因 且相应的结构单位为 式分解，那么H。（z)是对称的当且仅当Q(z)是对 cose 称的 R6= sine cosH 0 证明：由H。(z)的对称性得 0 Ho(z)=2-(2m+)Ho(z-1), 代入式(5)，得 D,（z)= 1 L 整理得 Q(2)=2"0() (6) 式(6)意味着Q(:)也是对称的.反之亦成立. 这个定理说明，为了得到H。(z)的对称性，只需 要保证Q(z)的对称性即可.由公式(5)可知，很容 易就可以指定消失矩大小，然后可以通过减小Q(z) D 的阶次，得到具有紧支性的尺度滤波器，但是，这是
北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 特性，那么 H0 ( z) 和 H1 ( z) 是对称的，而 H2 ( z) 是反 对称的． 并且相关的多相位矩阵( 1) 可以表示成为 H( z) = H0，0 ( z) H0，1 ( z) H0，0 ( z ) H1，0 ( z) H1，1 ( z) H1，0 ( z ) H2，0 ( z) H2，1 ( z) － H2，0 ( z ) ． 其中，Hi，0 ( z ) = z － ( L － 1) Hi，0 ( z － 1 ) ，i = 0，1，2，并且称 L － 1为多相位矩阵的阶． 三带小波的消失矩是构造 小波需要考虑的另一个重要因素，小波消失矩的大 小对应着索伯列夫空间的光滑性，并且能够间接的 反应出相应的尺度函数与小波函数的光滑性，因此 有如下的引理 3 ［9--10］. 引理 3 紧支正交三带小波尺度函数 ( t) 具 有 m 阶消失矩，那么尺度滤波器冲击响应 h0［k］ 满足 ∑k wnk kl h0［k］= 0，n = 0，1，2，l = 0，1，…，m － 1， 其中 w = e － j2ω/3 . 从这个引理似乎可以通过设置消失矩 m 得到 一些等式，但这只适用于消失矩为 1 的情况，消失矩 大于 1 时情况将变得相当复杂． 实际上，由引理 3， 可以得到下式: H0 ( z) = ( 1 + z － 1 + z － 2 ) 3 m Q( z) ． ( 5) 其中，Q( z) 是一个不能够整除( 1 + z － 1 + z － 2 ) 的 n 阶 多项式，且 Q( z) | z = 1 = 1． 从式( 5) 可以得到，尺度滤 波器冲击响应支集长度 N = 2m + n + 1． 由此，得到 下面的定理． 定理 1 假设尺度滤波器 H0 ( z) 满足式( 5) 因 式分解，那么 H0 ( z) 是对称的当且仅当 Q( z) 是对 称的． 证明: 由 H0 ( z) 的对称性得 H0 ( z) = z － ( 2m + n) H0 ( z － 1 ) ， 代入式( 5) ， ( 得 1 + z － 1 + z － 2 ) 3 m Q( z) = z － ( 2m + n ( ) 1 + z 1 + z 2 ) 3 m Q( z － 1 ) 整理得 Q( z) = z － n Q( z － 1 ) ． ( 6) 式( 6) 意味着 Q( z) 也是对称的． 反之亦成立． 这个定理说明，为了得到 H0 ( z) 的对称性，只需 要保证 Q( z) 的对称性即可． 由公式( 5) 可知，很容 易就可以指定消失矩大小，然后可以通过减小 Q( z) 的阶次，得到具有紧支性的尺度滤波器，但是，这是 不可能的． 引理 4 紧支正交对称三带小波尺度滤波器 H0 ( z) 具有 m 阶消失矩，并且满足等式( 5) 的分解， 那么分解因式 Q( z) 的阶 n 与消失矩 m 满足如下 关系: ( 2m + n，3) = 1， 且如果 m≥2，有 n≥2m － 1． ( 7) 引理 4 的证明参考文献［5］． 1. 2 格结构理论 格结构( lattice structure) 是一种重要的设计与 实现滤波器组的方法，其主要思想是把滤波器组分 解成一系列层叠的结构单元( building block) ，而每 一个结构单元都足够简单且满足设计所需要的性 质． 三带小波系统的多相位矩阵 H( z) 的每一个分 量 Hi，j ( z) 是一个关于 z 的多项式，如果能够通过格 结构分解，把 H( z) 分解成一系列简单结构单元，那 么对于求解小波滤波器是有利的． 然而，尽管已经 对三带小波滤波器的长度 N 作了假设 N = 3L，L∈ Z + ，但是并不是所有满足这个长度要求的三带小波 滤波器组都存在，文献［10］已经证明，只存在奇数 长三带小波系统，即 L = 2k + 1，k∈Z + ． 因此，可以 得出只有奇数长三带小波系统对应的多相位矩阵存 在格结构分解． 定理 2 对称完全可重建的仿酉三带小波多相 位矩阵可以分解为 H( z) = BL － 2 ( z) BL － 4 ( z) …B2 ( z) B1 ( z) H0 ( 8) 其中，Bk ( z) = 1 4 Rθk D1 ( z) Iak D2 ( z) ，H0 = Rθ0 D0，并 且相应的结构单位为 Rθk = cosθk sinθk 0 － sinθk cosθk 0 0 0 1 ， D1 ( z) = 1 + z － 1 0 1 － z － 1 0 2 0 1 － z － 1 0 1 + z － 1 ， Iak = ak 0 0 0 ak 0 0 0 a k ， D2 ( z) = 1 + z － 1 0 1 － z － 1 0 2z － 1 0 1 － z － 1 0 1 + z － 1 ， D0 = 1 0 1 0 槡2 0 － 1 0 1 ． ·1220·
第10期 沈政伟等：基于格结构的三带小波构造及在图像融合中的应用 ·1221· 这里，0∈0,2π]，ak是不为±1的实数 则由公式(5)，可得 证明：首先，很容易验证所有的结构单元都是仿 H()= 酉矩阵，从而可以保证多相位矩阵也是仿酉的.因 20 此，由引理1可知，相应的小波滤波器也是正交的. (s0+5121+s222+5123+5024). (9) 其次，仿照文献⑦]中的方法，作为M=3这种特殊 所以，只需要求未知量o$1和s2就可以求出相应 情况，定理得证 的H。(z). 联立求和法则公式(2)和(4)，得非线性方程组 2三带小波系统构造 250+2s1+s2=3, 构造具有正交性、对称/反对称性及较高消失矩 2(6+(2s0+31)2+(350+2s,+52)2+ 的三带小波系统包括两方面的工作：即先求尺度滤 (2s0+4s1+2s2)2)+(2s0+4s,+3s2)2=243, 波器，然后再基于格结构求小波滤波器.为了保证 5(2s。+4s1+2s2)+(250+s1)(2s。+4s1+3s2)+ 三带小波滤波器组的紧支性以及实用性，只对长度 (3s0+2s1+s2)(2s0+4s1+2s2)=0, N=9与N=15的滤波器进行构造. 2.1尺度滤波器构造 25(350+251+52)+(2s0+51)2=0. 作为三带小波尺度滤波器H。(z)的基本条件， (10) 必须满足求和法则(2)：正交性必须满足式(4)，尽 解方程组(10)，得到s0=-2,51=6,2=-5或s= 管式(4)只是一个必要条件，但是只要对应的尺度 -了一子=5两组解相应的尺度滤波器冲 函数是收敛的，那么就是充分必要的；由定理1以及 击响应h,()为 引理4，H。(z)的对称性也可以由Q(z)的对称性来 确定，而在式(5)中设定了相应的消失矩m以及 因={-号号g9多吕g号} Q()的阶之后，H。(z)的阶次也可以设定.由此，可 以及 以得到一个非线性方程组.下面就以长度N=9的 h(k)= 情况进行讨论. 由引理4，长度为N=9的三带小波的尺度滤波 {7易品器器景”} 器最高消失矩只能为m=2,Q(z)的阶n=4.由对 由二尺度方程(2)，分别得到它们对应的尺度 称性，假设Q(z)=30+s1z1+s2z2+s1z3+s0z4, 函数图像，如图1所示 20 16 14 (b) 10 6 4 3 2 00.51.01.52.02.53.03.54.0 -400.51.01.52.02.53.0354.0 位置 位置 图1N=9时三带小波尺度滤波器对应的尺度函数图像.(a)第一组滤波器：(b)第二组滤波器 Fig.I Scaling function images of the three-band wavelet scaling filter when N=9:(a)the first filter,(b)the second filter 由第一组解得到的图1(a)显然不收敛，所以只 N=15和m=4时对应的尺度函数图像.从图中容 取第二组解.用同样的方法，可以得到N=15,消失 易看出消失矩为m=4的尺度滤波器图像的光滑性 矩分别为m=3与m=4时的尺度滤波器冲击响应， 明显好于消失矩m=3的情况 如表1所示.需要说明的是由于对称性/反对称性， 2.2小波滤波器的构造 表1只给出一半结果 在2.1节中求出尺度滤波器之后，就得到多相 表1中数据对应的图像见图2，其中图2(a)为 位矩阵中的第一行，利用定理2，对相应的多相位矩 N=15和m=3时对应的尺度函数图像，图2(b)为 阵进行格结构分解，就可以求出相应的小波滤波器
第 10 期 沈政伟等: 基于格结构的三带小波构造及在图像融合中的应用 这里，θk∈［0，2π］，ak 是不为 ± 1 的实数． 证明: 首先，很容易验证所有的结构单元都是仿 酉矩阵，从而可以保证多相位矩阵也是仿酉的． 因 此，由引理 1 可知，相应的小波滤波器也是正交的． 其次，仿照文献［7］中的方法，作为 M = 3 这种特殊 情况，定理得证． 2 三带小波系统构造 构造具有正交性、对称/反对称性及较高消失矩 的三带小波系统包括两方面的工作: 即先求尺度滤 波器，然后再基于格结构求小波滤波器． 为了保证 三带小波滤波器组的紧支性以及实用性，只对长度 N = 9 与 N = 15 的滤波器进行构造． 2. 1 尺度滤波器构造 作为三带小波尺度滤波器 H0 ( z) 的基本条件， 必须满足求和法则( 2) ; 正交性必须满足式( 4) ，尽 管式( 4) 只是一个必要条件，但是只要对应的尺度 函数是收敛的，那么就是充分必要的; 由定理 1 以及 引理 4，H0 ( z) 的对称性也可以由 Q( z) 的对称性来 确定，而在式( 5) 中设定了相应的消失矩 m 以及 Q( z) 的阶之后，H0 ( z) 的阶次也可以设定． 由此，可 以得到一个非线性方程组． 下面就以长度 N = 9 的 情况进行讨论． 由引理 4，长度为 N = 9 的三带小波的尺度滤波 器最高消失矩只能为 m = 2，Q( z) 的阶 n = 4． 由对 称性，假设 Q( z) = s0 + s1 z － 1 + s2 z － 2 + s1 z － 3 + s0 z － 4 ， 则由公式( 5) ，可得 H0 ( z) = ∑ 8 k = 0 h0 ( k) z － k = ( 1 + z － 1 + z － 2 ) 3 2 · ( s0 + s1 z － 1 + s2 z － 2 + s1 z － 3 + s0 z － 4 ) ． ( 9) 所以，只需要求未知量 s0、s1 和 s2 就可以求出相应 的 H0 ( z) ． 联立求和法则公式( 2) 和( 4) ，得非线性方程组 2s0 + 2s1 + s2 = 3， 2( s 2 0 + ( 2s0 + s1 ) 2 + ( 3s0 + 2s1 + s2 ) 2 + ( 2s0 + 4s1 + 2s2 ) 2 ) + ( 2s0 + 4s1 + 3s2 ) 2 = 243， s0 ( 2s0 + 4s1 + 2s2 ) + ( 2s0 + s1 ) ( 2s0 + 4s1 + 3s2 ) + ( 3s0 + 2s1 + s2 ) ( 2s0 + 4s1 + 2s2 ) = 0， 2s0 ( 3s0 + 2s1 + s2 ) + ( 2s0 + s1 ) 2 = 0 ． ( 10) 解方程组( 10) ，得到 s0 = － 2，s1 = 6，s2 = － 5 或 s0 = － 1 3 ，s1 = － 2 3 ，s2 = 5 两组解． 相应的尺度滤波器冲 击响应 h0 ( k) 为 h0 ( k) = { － 2 9 ，2 9 ，1 9 ， 10 9 ，5 9 ， 10 9 ，1 9 ，2 9 ，－ } 2 9 ， 以及 h0 ( k) { = － 1 27 ，－ 4 27 ，8 27 ， 20 27 ， 35 27 ， 20 27 ，8 27 ，－ 4 27 ，－ 1 } 27 ． 由二尺度方程( 2) ，分别得到它们对应的尺度 函数图像，如图 1 所示． 图 1 N = 9 时三带小波尺度滤波器对应的尺度函数图像． ( a) 第一组滤波器; ( b) 第二组滤波器 Fig． 1 Scaling function images of the three-band wavelet scaling filter when N = 9: ( a) the first filter，( b) the second filter 由第一组解得到的图 1( a) 显然不收敛，所以只 取第二组解． 用同样的方法，可以得到 N = 15，消失 矩分别为 m = 3 与 m = 4 时的尺度滤波器冲击响应， 如表 1 所示． 需要说明的是由于对称性/反对称性， 表 1 只给出一半结果． 表 1 中数据对应的图像见图 2，其中图 2( a) 为 N = 15 和 m = 3 时对应的尺度函数图像，图 2( b) 为 N = 15 和 m = 4 时对应的尺度函数图像． 从图中容 易看出消失矩为 m = 4 的尺度滤波器图像的光滑性 明显好于消失矩 m = 3 的情况． 2. 2 小波滤波器的构造 在 2. 1 节中求出尺度滤波器之后，就得到多相 位矩阵中的第一行，利用定理 2，对相应的多相位矩 阵进行格结构分解，就可以求出相应的小波滤波器． ·1221·
·1222· 北京科技大学学报 第34卷 表1三带小波尺度滤波器冲击响应 对于N=9的情况，由定理2，多相位矩阵H(z) Table 1 Impulse response of the three-band scaling filter 可以分解为H(z)=B(z)H。,即 N=9,m=2 N=15,m=3 N=15,m=4 sina 01+z1 01- 0.037037037 0.009465873 0.005459743 H(z)=- 0 -0.148148148 0.045721035 0.038060600 0 0 1八1 1+z 0.296296296 -0.110418396 -0.043337412 0 01+z-1 0.740740741 -0.029090334 -0.082396243 0 2: 1.296296296 -0.182884140 -0.150485717 0 0 八1-x-1 1+z1 0.544011538 0.348531399 0.586031319 0.771742513 cosB -sinB 0 1 0 sinB 1.274326210 1.224850233 cosB 0 0 0 0 0 20 12r (a) 15 10 10 5 2 位置 位置 图2三带小波尺度滤波器对应的尺度函数图像.(a)N=15,m=3:(b)N=15,m=4 Fig.2 Scaling function image of the three-band wavelet scaling filter:(a)N=15,m =3:(b)N=15,m=4 由于矩阵的第一行已知，通过比较多项式系 也有可能是非线性方程组，方程组里的未知量的 数，可以求出相应的小波滤波器系数.需要注意的 个数，同样会随着滤波器冲击响应长度的增加而 是，在比较小波滤波器系数的过程中，极有可能也 增加.最终计算的结果见表2，相应的小波图像见 会涉及线性方程组的求解问题，并且这个方程组 图3. 表2小波滤波器系数 Table 2 Coefficients of the wavelet filter N=9,m=2 N=15,m=3 N=15,m=4 h阴 h2阳 h h2] h,] h2] -0.130925926 -0.136094444 -0.090524505 -0.091018069 -0.107123223 -0.076611701 -0.523703704 -0.544377778 -0.437241665 -0.439625621 -0.426819277 -0.428482394 1.047407407 1.0887555556 1.055958673 1.061716036 0.850304396 0.853617639 -0.209481481 0.000000000 -0.159282378 -0.155393245 -0.112548742 -0.109551323 -0.366592593 0.000000000 -0.364104275 -0.343109910 -0.203648321 -0.190751648 -0.099354853 -0.155393245 -0.081958519 -0.109551323 0.000309845 -0.072010765 0.027304244 -0.031414793 0.188478319 -0.000000000 0.117737530 -0.000000000 于检测所构造的具有上述性质的三带小波在同一融 3三带小波系统在图像融合中的应用 合算法标准下，是否具有比二带小波更好的融合效 本节把构造具有紧支性、正交性、对称性以及较 果.融合之后的图像质量的好坏，用四个参数进行 高的消失矩的三带小波应用到图像融合中，目的在 评级，分别是信息熵(E)、空间分辨率(SP)、标准差
北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 表 1 三带小波尺度滤波器冲击响应 Table 1 Impulse response of the three-band scaling filter N = 9，m = 2 N = 15，m = 3 N = 15，m = 4 0. 037 037 037 0. 009 465 873 0. 005 459 743 － 0. 148 148 148 0. 045 721 035 0. 038 060 600 0. 296 296 296 － 0. 110 418 396 － 0. 043 337 412 0. 740 740 741 － 0. 029 090 334 － 0. 082 396 243 1. 296 296 296 － 0. 182 884 140 － 0. 150 485 717 0. 544 011 538 0. 348 531 399 0. 586 031 319 0. 771 742 513 1. 274 326 210 1. 224 850 233 对于 N = 9 的情况，由定理 2，多相位矩阵 H( z) 可以分解为 H( z) = B1 ( z) H0，即 H( z) = 1 4 cosα － sinα 0 sinα cosα 0 0 0 1 1 + z －1 0 1 － z －1 0 2 0 1 － z －1 0 1 + z －1 × a0 0 0 0 a0 0 0 0 a 0 1 + z － 1 0 1 － z － 1 0 2z － 1 0 1 － z － 1 0 1 + z － 1 × 1 槡2 cosβ － sinβ 0 sinβ cosβ 0 0 0 1 1 0 1 0 槡2 0 － 1 0 1 ． 图 2 三带小波尺度滤波器对应的尺度函数图像． ( a) N = 15，m = 3; ( b) N = 15，m = 4 Fig． 2 Scaling function image of the three-band wavelet scaling filter: ( a) N = 15，m = 3; ( b) N = 15，m = 4 由于矩阵的第一行已知，通过比较多项式系 数，可以求出相应的小波滤波器系数． 需要注意的 是，在比较小波滤波器系数的过程中，极有可能也 会涉及线性方程组的求解问题，并且这个方程组 也有可能是非线性方程组，方程组里的未知量的 个数，同样会随着滤波器冲击响应长度的增加而 增加． 最终计算的结果见表 2，相应的小波图像见 图 3． 表 2 小波滤波器系数 Table 2 Coefficients of the wavelet filter N = 9，m = 2 N = 15，m = 3 N = 15，m = 4 h1［k］ h2［k］ h1［k］ h2［k］ h1［k］ h2［k］ － 0. 130 925 926 － 0. 136 094 444 － 0. 090 524 505 － 0. 091 018 069 － 0. 107 123 223 － 0. 076 611 701 － 0. 523 703 704 － 0. 544 377 778 － 0. 437 241 665 － 0. 439 625 621 － 0. 426 819 277 － 0. 428 482 394 1. 047 407 407 1. 088 755 555 6 1. 055 958 673 1. 061 716 036 0. 850 304 396 0. 853 617 639 － 0. 209 481 481 0. 000 000 000 － 0. 159 282 378 － 0. 155 393 245 － 0. 112 548 742 － 0. 109 551 323 － 0. 366 592 593 0. 000 000 000 － 0. 364 104 275 － 0. 343 109 910 － 0. 203 648 321 － 0. 190 751 648 － 0. 099 354 853 － 0. 155 393 245 － 0. 081 958 519 － 0. 109 551 323 0. 000 309 845 － 0. 072 010 765 0. 027 304 244 － 0. 031 414 793 0. 188 478 319 － 0. 000 000 000 0. 117 737 530 － 0. 000 000 000 3 三带小波系统在图像融合中的应用 本节把构造具有紧支性、正交性、对称性以及较 高的消失矩的三带小波应用到图像融合中，目的在 于检测所构造的具有上述性质的三带小波在同一融 合算法标准下，是否具有比二带小波更好的融合效 果． 融合之后的图像质量的好坏，用四个参数进行 评级，分别是信息熵( IE) 、空间分辨率( SP) 、标准差 ·1222·