上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）绪论、第一章 随机事件及其概率

概率论与数理统计 绪论 1.随机现象与必然现象 2.随机试验为对随机现象加以研究所进行的观察或实验，称为试验 若一个试验满足下列三个特点： (1)在相同条件下可以重复进行： (2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果： (3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，则称这一试验为随机试验 例如：抛掷一枚硬币，观察正面和反面出现的情况 掷一颗筛子，观察出现的点数 对某一目标发射一发炮弹，观察弹着点到目标的距离 记录电话交换台在上午9时到10时接到的电话呼唤次数 测试某种型号的灯泡的寿命. 3.统计规律性试验结果具有不确定性，但在大量的重复试验中其结果又具有规律性的现象， 4.应用 第一章随机事件及其概率 第一节随机事件及其运算 一、随机事件 随机事件：试验的每一种可能结果为该试验的随机事件。 简称事件。记为A,B,C或A,A2,… 基本事件：试验一次有且只有一个发生称为基本事件，或称为样本点 复合事件：由若干个基本事件组合而成的事件 [例]观察两台机床生产的两件产品是否为合格品 必然事件：在每次试验中一定发生的事件称为必然事件Ω 不可能事件：在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，记为Φ 注：Ω，Φ不是随机事件，但常看成特殊的随机事件 二、样本空间 样本空间：所有基本事件组成的集合成为该试验的样本空间。用Ω表示。 样本空间包含所有的样本点，每次试验它必然发生，它就是一个必然事件 有限样本空间：只含有有限个基本事件的样本空间 无限样本空间：含有无限个基本事件的样本空间。 包括：可列样本空间、不可列样本空间 样本点：样本空间中的基本事件

概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 绪论 1. 随机现象与必然现象 2. 随机试验为对随机现象加以研究所进行的观察或实验,称为试验 若一个试验满足下列三个特点: （1）在相同条件下可以重复进行; （2）每次试验的可能结果不止一个,并且事先可以知道试验的所有可能结果; （3）进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果,则称这一试验为随机试验, 例如:抛掷一枚硬币,观察正面和反面出现的情况. 掷一颗筛子,观察出现的点数. 对某一目标发射一发炮弹,观察弹着点到目标的距离. 记录电话交换台在上午 9 时到 10 时接到的电话呼唤次数. 测试某种型号的灯泡的寿命． 3. 3. 统计规律性试验结果具有不确定性,但在大量的重复试验中其结果又具有规律性的现象, 4. 应用 第一章 随机事件及其概率 第一节 随机事件及其运算 一、随机事件 随机事件：试验的每一种可能结果为该试验的随机事件。 简称事件。记为 A，B，C 或 A1 , A2 , 基本事件：试验一次有且只有一个发生称为基本事件, 或称为样本点, 复合事件：由若干个基本事件组合而成的事件 [例] 观察两台机床生产的两件产品是否为合格品 必然事件：在每次试验中一定发生的事件称为必然事件  不可能事件：在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件, 记为 注： ， 不是随机事件，但常看成特殊的随机事件 二、样本空间 样本空间：所有基本事件组成的集合成为该试验的样本空间。用 表示。 样本空间包含所有的样本点, 每次试验它必然发生, 它就是一个必然事件 有限样本空间：只含有有限个基本事件的样本空间 无限样本空间：含有无限个基本事件的样本空间。 包括：可列样本空间、不可列样本空间 样本点：样本空间中的基本事件

「例写出下列随机试验的样本空间Ω： (1)同时掷出两枚骰子，记录两枚骰子点数之和： (2)10件产品中有3件次品，每次从中取1件，取出后不再放回，直到3件 次品全部取出为止，记录取出的次数： (3)生产某种产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数： (4)将一尺之棰折成三段，观察各段的长度 练习： 1.写出下列试验的样本空间： ()盒子里装有10支外形相同的笔，其中5支钢笔，5支圆珠笔，从中任取两支， 观察它们是钢笔还是圆珠笔； (2)将黑、白两只球随机地装入编号为AB,C的三个盒子中。每个盒子至多 装一球，观察装球的情况： (3)同时掷出两颗骰子，记录掷得的点数之和： (4)记录一个班一次数学考试的平均分数（百分制记分）。 三、事件间的关系与运算 1.包含关系：若事件发生必然导致事件发生B一A或AcB 2.相等关系：A一B且BA 3.事件的和(AUB):A与B至少有一个发生构成的事件 4.事件的积(A∩B,或A:A与B同时发生构成的事件 5.互不相容事件（互斥事件）：A与B不能同时发生，即AB=Φ A,A,…,An中，AA=Φ(1≠，i,j=1,2,…,川 两两互不相容事件： 记04=24，UA=∑4 6.互逆事件（对立事件)A与B中必有且仅有一个发生，即A+B=2且AB=Φ 记B=A 注：互逆一互斥，互斥白互逆 7事件的差(A-B):事件A发生而事件B不发生构成的事件 运算性质： (I)交换律：AUB=BUAAB=BA (2)结合律：(AUB)UC=AU(BUC),(ABC=ABC) (3)分配律：(AUB)C=ACU BC,(ABUC=(AUC(BUC) (4)对偶律（德摩根律）：

[例]写出下列随机试验的样本空间 ： (1)同时掷出两枚骰子，记录两枚骰子点数之和； (2)10 件产品中有 3 件次品，每次从中取 1 件，取出后不再放回，直到 3 件 次品全部取出为止，记录取出的次数； (3)生产某种产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数； (4)将一尺之棰折成三段，观察各段的长度. 练习： 三、事件间的关系与运算 1. 1. 包含关系: : 若事件发生必然导致事件发生 B  A或A  B 2. 2. 相等关系: : A  B且B  A 3. 3. 事件的和 : : (A  B) A 与 B 至少有一个发生构成的事件 4. 4. 事件的积(A B,或AB) : A与B同时发生构成的事件 5. 5. 互不相容事件（互斥事件）：A 与 B 不能同时发生，即 AB=  两两互不相容事件：               1 1 1 1 1 2 , , , , ( , , 1,2, , ) i i i i n i i n i i n i j A A A A A A A A A i j i j n     记 中， 6. 6. 互逆事件（对立事件）A 与 B 中必有且仅有一个发生，即 A+B=  且 AB=  记 B= A 注：互逆  互斥，互斥  互逆 7. 7. 事件的差(A-B) (A-B) ：事件 A 发生而事件 B 不发生构成的事件 运算性质： (1) (1) 交换律： A B  B  A, AB  BA (2) (2) 结合律：(A B) C  A (B C),(AB)C  A(BC) (3) (3) 分配律：(A B)C  AC  BC,(AB) C  (A C)(B C) (4) (4) 对偶律( ( 德摩根律)： 记录一个班一次数学考试的平均分数（百分制记分）。 同时掷出两颗骰子，记录掷得的点数之和； 装一球，观察装球的情况； 将黑、白两只球随机地装入编号为 的三个盒子中。每个盒子至多 观察它们是钢笔还是圆珠笔； 盒子里装有 支外形相同的笔，其中 支钢笔，支圆珠笔，从中任取两支， 写出下列试验的样本空间： (4) (3) (2) , , (1) 10 5 5 1. A B C

AUB=ABAB-AUB U4=∩4，∩4=U4 [例]事件D表示两个事件A与B至少有一个发生，给出D的四种不同表示式 [例设某工人连续生产了四个零件，4表示他生产的第个零件是正品， (i=1,2,3,4),试用A表示下列各事件： (1)没有一个是次品： (2)至少有一个是次品； (3)只有一个是次品： (4)至少有三个不是次品； (⑤)恰好有三个不是次品； (6)至多有一个是次品 [例下列格式说明4与之间具有何种包含关系？ (1)AB=A (2)A+B=A. 练习： 1.化简下列各式： (1(40B(BOC); (2)(AUB(U: (3(A0B(AUB(A0B 2.设ABC表示三个事件，利用从BC表示下列事件： ()发生，B屿C不发生： (2)4与跋生，C不发生： (3)AB、C都发生或都不发生： (4)ABC中至少有一个不发生： (⑤)AB、中至少有两个不发生： (6)AB中不多于一个发生

      i i i i i i i Ai A A A A B A B AB A B     , , [例] 事件D表示两个事件A与B至少有一个发生，给出D的四种不同表示式. [ ] ( 1, 2, 3, 4), (1) (2) (3) (4) ; (5) (6) . i i A i i A  例 设某工人连续生产了四个零件， 表示他生产的第 个零件是正品， 试用 表示下列各事件： 没有一个是次品； 至少有一个是次品； 只有一个是次品； 至少有三个不是次品 恰好有三个不是次品； 至多有一个是次品 [ ] (1) ; (2) . A B AB A A B A    例 下列格式说明 与 之间具有何种包含关系？ 练习： (1)( )( ); (2)( )( ); (3)( )( )( ). A B B C A B A B A B A B A B        1.化简下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C 2.设 、 、 表示三个事件，利用 、 、 表示下列事件： 发生， 与 不发生； 与 发生， 不发生； 、 、 都发生或都不发生； 、 、 中至少有一个不发生； 、 、 中至少有两个不发生； 、 、 中不多于一个发生

3.设0={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}4={2,3,4}B={3,4,5}C={5,6,7} 具体写出下列各式： (1 AB,(2)UB;(3 AB;(4)ABC:(5)A(BUC). 第二节事件的概率 一、概率的统计定义： 频率：次重复试验中，事件4发生的次数为m称4()=心为频率 定义1（概率的统计定义） 在相同条件下进行大量的重复试验。当试验次数逐渐增大时，事件A 发生的频率逐渐稳定于某数值p,则称p为事件A发生的概率，记为P八) 二、概率的古典定义： 1.古典概型： 特点：试验的所有基本事件只有有限个一 一有限性 试验中每个基本事件发生的可能性相同 等可能性 2概率的古典定义：A0= 事件A包含的基本事件数m 基本事件总数n [例1掷一颗均匀骰子，试求下列事件的概率： ()A="出现偶数点"； (2)B="出现奇数点"； (3)C="出现的点数不大于4" [例2]袋中共有100只小球，其中60只红球，40只白球，试分别按下述方法抽取3只 ()有放回抽样（即每取出一只观察后放回，然后再取下一只）； (2)无放回抽样（即每取出一只观察后不放回）； (3)一次取出， 求事件A=“所取三只球都是红球”的概率 [例3]设一批产品共W件，内含次品件，从中任取件，求事件 A=“所取件产品中恰有件(m<W)次品"的概率

3. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5}, {5, 6, 7} (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ( ). U A B C AB A B AB ABC A B C       设 具体写出下列各式： 第二节 事件的概率 一、概率的统计定义： 频率： 次重复试验中，事件 发生的次数为 称 为频率 n m n A m, (A)  定义 1( 1( 概率的统计定义) ) p p A P(A) n A 发生的频率逐渐稳定于某数值 ，则称 为事件 发生的概率，记为 在相同条件下进行大量的重复试验。当试验次数 逐渐增大时，事件 二、概率的古典定义： 1. 1. 古典概型： 特点：试验的所有基本事件只有有限个———有限性 试验中每个基本事件发生的可能性相同———等可能性 2. 2. 概率的古典定义： n A m P A 基本事件总数 事件 包含的基本事件数 ( )  [ 1] (1) " "; (2) " "; (3) " 4". A B C    例 掷一颗均匀骰子，试求下列事件的概率： 出现偶数点 出现奇数点 出现的点数不大于 [ 2] 100 60 40 3 (1) (2) (3) A  . 例 袋中共有 只小球，其中 只红球， 只白球，试分别按下述方法抽取 只 有放回抽样（即每取出一只观察后放回，然后再取下一只）； 无放回抽样（即每取出一只观察后不放回）； 一次取出， 求事件 “所取三只球都是红球”的概率 [ 3] ( ) " . N M n A n m m N   例 设一批产品共 件，内含次品 件，从中任取 件，求事件 “所取 件产品中恰有 件 次品 的概率

[例4有个人，每人都有等同的机会被分配到W(n≤W)间房中的任一间去， 试求下列各事件的概率 ()A="某指定的间房中各有一人"； (2)B="恰有间房各有一人”； (3)某指定的一间房中恰有Mm≤)人 [例5考虑一元二次方程x2+Bx+c=0,其中BC分别是将一枚骰子接连掷 两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率？ 练习： 1.把10本书随意放在书架上，求其中指定的本书放在一起的概率 2.从0,1,2，…，9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： A={三个数字中不含0和5： A={三个数字中不含0或5： 4={三个数字中含0，但不含5} 三几何概率 几何随机试验：1.试验的结果是无限且不可列的： 2每个结果出现的可能性是均匀的 概率的几何定义： 设E为几何型的随机试验，其基本事件空间中所有基本事件可以用一个 有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件A所包含的基本事件， 则事件A发生的概率为： R0=LA,其中(2与(0分别为2与的几何度量 L(2) [例6某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不 知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于2分钟的概率 [例7从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于二的概率 四、概率的基本性质与公理化定义： 1.对任意的事件A,有0≤八)≤1. 2.P2)=1 3.若4，A,…,4是两两互斥的事件，则P∑4)=∑A4)

[ 4] ( ) . (1) " "; (2) " "; (3) ( ) . n N n N A n B n m m n     例 有 个人，每人都有等同的机会被分配到 间房中的任一间去， 试求下列各事件的概率 某指定的 间房中各有一人 恰有 间房各有一人 某指定的一间房中恰有 人 2 [ 5] 0 , . x Bx c B C p q 例 考虑一元二次方程    ，其中 分别是将一枚骰子接连掷 两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 和有重根的概率 练习： 1.把10本书随意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率. 1 2 3 2. 0,1, 2, , 9 { 0 5} { 0 5} { 0 5} A A A    从  等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： 三个数字中不含 和 ； 三个数字中不含 或 ； 三个数字中含 ，但不含 三. . 几何概率 几何随机试验：1.试验的结果是无限且不可列的； 2.每个结果出现的可能性是均匀的. 概率的几何定义： 设 E 为几何型的随机试验，其基本事件空间中所有基本事件可以用一个 有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件 A 所包含的基本事件， 则事件 A 发生的概率为 ： , ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) 其中L 与L A 分别为 与A的几何度量 L L A P A     [ 6] 2 . 例 某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不 知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于 分钟的概率 1 [ 7] (0,1) . 4 例 从区间 内任取两个数，求这两个数的积小于 的概率 四、概率的基本性质与公理化定义： 1. 1. 对任意的事件A,有0  P(A)  1. 2. 2. P()  1 3. 3.      n i n i A A An P Ai P Ai 1 1 1 2 若 , ,, 是两两互斥的事件，则 ( ) ( )