上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征 由前面的讨论知道，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际 问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要 求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分 布函数，例如考察日光灯管的质量，常常关心的是日光灯管的平均寿命，即其平均寿命 是一个重要指标这就是说，随机变量的平均值，常常是一个重要的数量特征。在考察日 光灯管的质量时还不能单就平均寿命来决定其质量，还必须要考察日光灯管的寿命与平 均寿命的偏离程度，只有平均寿命较长同时偏离程度又较小的日光灯管才是质量较好 的。随机变量与其平均值偏离的程度也是一个重要的数量特征。这些与随机变量有关的 数量，虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征， 它们在理论和实践上都具有重要的意义。本章将介绍常用的随机变量的数字特征：数学 期望、方差、相关系数和矩。 4.1 随机变量的数学期望 4.1.1离散型随机变量的数学期望 例1甲、乙两射手进行射击训练，己知在100次射击中命中环数与次数记录如下： 甲： 环数 8 9 10 次数 30 10 60 环数 8 9 10 次数 20 5030 试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？ 解从上面的成绩表很难立即看出结果，我们可以从其平均射中的环数来评定其技 术优劣。 甲平均射中的环数为 (8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)， 乙平均射中的环数为 (8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)， 故从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。 本例中30=0.3,600.6,50=0.5等是事件(r=月在100次试验中发生的频率 100 100 100 (厂为命中环数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件{厂=？一次试验中发生 10 的概率P,上述平均环数的计算可表示为∑仰，称之为随机变量r的数学期望或均 值.下面给出定义

第四章 第四章 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征 由前面的讨论知道，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际 问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要 求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分 布函数，例如考察日光灯管的质量，常常关心的是日光灯管的平均寿命，即其平均寿命 是一个重要指标.这就是说，随机变量的平均值，常常是一个重要的数量特征。在考察日 光灯管的质量时还不能单就平均寿命来决定其质量，还必须要考察日光灯管的寿命与平 均寿命的偏离程度，只有平均寿命较长同时偏离程度又较小的日光灯管才是质量较好 的。随机变量与其平均值偏离的程度也是一个重要的数量特征。这些与随机变量有关的 数量，虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征， 它们在理论和实践上都具有重要的意义。本章将介绍常用的随机变量的数字特征：数学 期望、方差、相关系数和矩。 4.1 随机变量的数学期望 4 4 . . 1 1 . . 1 1 离散型随机变量的数学期望 例 1 1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在 100 次射击中命中环数与次数记录如下： 甲： 乙： 试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？ 解 从上面的成绩表很难立即看出结果，我们可以从其平均射中的环数来评定其技 术优劣。 甲平均射中的环数为 (8 30  910  10 60) 100  8 0.3 9 0.1 10 0.6  9.3（环）, 乙平均射中的环数为 (820 9501030) 100 8 0.2 9 0.5100.3  9.1（环）， 故从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。 本例中 0.5 等是事件 在 100 次试验中发生的频率 100 50 0.6, 100 60 0.3, 100 30   {X  k} （ X 为命中环数），当射击次数相当大时，这个频率接近于事件{X  k}一次试验中发生 的概率 pk ，上述平均环数的计算可表示为  ，称之为随机变量 的数学期望或均  10 k 8 k kp X 值.下面给出定义。 环数 8 9 10 次数 30 10 60 环数 8 9 10 次数 20 50 30

定义4.1设离散型随机变量厂的分布律为 r=x)=Pk,k=1,2,…, 若级数∑x::绝对收敛，则称其和为随机变量了的数学期望或平均值，简称期望或均 k=1 值，记为(，即 E=∑xP 随机变量X的数学期望（完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值 的排列次序的影响，因此要求级数∑P:绝对收敛。若级数∑P:不绝对收敛，则称 随机变量X的数学期望不存在。 若把x,五，…，，…看成x轴上质点的坐标，而B,P2,…,P,…看成相应质点的质 量， 质量总和xP,=1,则41)式就表示质点系的重心坐标。 =1 例2设随机变量厂的分布列为 -1 3 2 D 3 求E)。 解由(4-1)式有 11 0=-1x号+3x 33. 若将此例视为甲、乙两人“赌博”，甲赢的概率为。，输的概率为 2 但甲每赢一 次可从乙处得3元，而每输一次，要给乙1元，则)=亏是指甲平均每次可赢；元。 每个“赌徒”在参加赌博时，心中首先要盘算这个数字。这正是称)为“期望“的 原因。 例3按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆公交车到站，各 车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为 8:10 8:30 8:50 到站时 9:10 9:30 9:50 刻 1 概率 2-5 2-5

定义 定义 4.1 4.1 设离散型随机变量 X 的分布律为 P(X  x )  p , k  1,2,, k k 若级数 绝对收敛，则称其和为随机变量 的数学期望或平均值，简称期望或均  k1 k p k x X 值,记为 E(X )，即 E(X )   .  k1 k pk x 随机变量 X 的数学期望 E(X) 完全是由 X 的分布律确定的，而不应受 X 的可能取值 的排列次序的影响，因此要求级数 绝对收敛。若级数 不绝对收敛，则称  k1 k pk x   k1 k pk x 随机变量 X 的数学期望不存在。 若把 x 1 , x 2 ,, x k ,看成 x 轴上质点的坐标，而 p1 , p2 ,, pk ,看成相应质点的质 量，质量总和 =1，则(4-1)式就表示质点系的重心坐标。  k1 k pk x 例 2 2 设随机变量 X 的分布列为 求 E(X) 。 解 由(4-1)式有 3. 1 3 1 3 3 2 E(X)  1    若将此例视为甲、乙两人“赌博”，甲赢的概率为 ，输的概率为 ，但甲每赢一 3 1 3 2 次可从乙处得 3 元，而每输一次，要给乙 1 元，则 是指甲平均每次可赢 元 。 3 1 E(X)  3 1 每个“赌徒”在参加赌博时，心中首先要盘算这个数字。这正是称 E(X)为“期望“的 原因。 例 3 按规定，某公交车每天 8 点至 9 点和 9 点至 10 点都恰有一辆公交车到站，各 车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为 X 1 3 p 3 2 3 1 到 站 时 刻 9 :10 8: 10 9: 30 8 : 30 9 : 50 8: 50 概率 5 1 5 2 5 2

其乘客820到站，求他候车时间的数学期望。 解设乘客的候车时间为（单位为分），若该乘客820到车站，而8点到9点的一 趟车已于8：10开走，第二趟车910开，则他候车的时间为50分钟，对应的概率为事件 “第一趟车8：10开走，且第二趟910开”发生的概率，即 八X=50)=5×525 111 该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间X的分布律为 10 30 50 70 90 D 2-5 2-5 11 12 12 方 行 从而该乘客候车时间的数学期望为 A1=10×2+30x2+50 1 +70x2 +902 =30.8(分) 5 5 25 5 例4 从一个装有。m个白球和n个红球的袋中取球，直到出现白球为止。若每 次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望 解设取出的红球数为K,则r的分布律为 RY=A- ))02 令 m+9=、 D= m+n 则 X==pg,k=0,1,2,…, 于是 =2g=92 =w2r小= (1-p)2gm 4.1.2连续型随机变量的数学期望 若X为连续型随机变量，其密度函数为f八x),则X落入(，x4+d)内的概率可 近似地表为f(x),它与离散型随机变量的p,类似，下面给出定义。 定义42设连续型随机变量r的密度函数为)。若积分广八x)绝对收敛， 称该积分值为随机变量X的数学期望或平均值，简称期望或均值，记为()，即

其乘客 8:20 到站，求他候车时间的数学期望。 解 设乘客的候车时间为 X (单位为分)，若该乘客 8:20 到车站，而 8 点到 9 点的一 趟车已于 8:10 开走，第二趟车 9:10 开，则他候车的时间为 50 分钟，对应的概率为事件 “第一趟车 8:10 开走，且第二趟 9:10 开”发生的概率，即 25. 1 5 1 5 1 P(X  50)    该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间 X 的分布律为 从而该乘客候车时间的数学期望为 30.8（分）. 25 2 90 25 2 70 25 1 50 5 2 30 5 2 E(X)  10          例 4 4 从一个装有。m 个白球和 n 个红球的袋中取球，直到出现白球为止。若每 次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望. 解 设取出的红球数为 X ，则 X 的分布律为 ( ) ,  0,1,2,.                k m n m m n n P X k k 令 , , m n m q m n n p     则 P(X  k)  p q, k  0,1,2,, k 于是          1 1 0 ( ) k k k k E X kp q pq kp                     p p pq p pq k k 1 ' 1 . (1 ) 2 m n q p p pq     4. 4. 1 1 . . 2 2 连续型随机变量的数学期望 若 X 为连续型随机变量，其密度函数为 f (x)，则 X 落入(x k , x k  dx) 内的概率可 近似地表为 f (x k )dx ，它与离散型随机变量的 pk 类似，下面给出定义。 定义 4.2 4.2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x) 。若积分  绝对收敛，   xf( x)dx 称该积分值为随机变量 X 的数学期望或平均值，简称期望或均值，记为 E(X ) ，即 X 10 30 50 70 90 p 5 2 5 2 5 1 5 1  5 2 5 1  5 2 5 1 

(=讥)在 若积分八x)k不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。 设在x轴上连续分布着质量，其线密度为八x),则由 LMa-EnDa 可知x)的物理意义是质量密度为f(x)的一维连续质点系的质量中心的坐标。 例5设随机变量r服从柯西(Cauchy)分布，其密度函数为 1 f(x) π(1+)2,0<r<+o 试证X的数学期望不存在。 证因为 na上r =1+)0” =十00， 即x)不绝对收敛，所以瓦)不存在。 例6 有5个相互独立工作的电子装置，其寿命X4(k=1,2,3,4,5)服从同一指 数分布，分布函数为 Fx)= 1-e,x≥0，元>0. 0,x<0 若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命N的数学期望； (1)若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命M的数学期望。 (2)若将这5个电子装置并联组成整机，求整机寿命M的数学期望。 解由随机变量函数的分布可知 (1)W=min(X,X2,X3,X4,X)的分布函数为

( ) ( ) .    E X  xf x dx 若积分  ( ) .不绝对收敛，则称随机变量 X 的数学期望不存在。   xf x dx 设在 x 轴上连续分布着质量，其线密度为 f ( x) ，则由 , ( ) ( ) ( ) .           f x dx xf x dx xf x dx 可知 E( x) 的物理意义是质量密度为 f (x) 的一维连续质点系的质量中心的坐标。 例 5 5 设随机变量 X 服从柯西(Cauchy)分布,其密度函数为       x x f x , (1 ) 1 ( ) 2  试证 X 的数学期望不存在。 证 因为         dx x x x f x dx (1 ) | | | | ( ) 2      0 2 (1 ) 2 dx x x  0 ln(1 ) 1 2     x   , 即  不绝对收敛，所以 不存在。   xf (x)dx E( x) 例 6 6 有 5 个相互独立工作的电子装置，其寿命 X k ( k  1,2,3,4,5) 服从同一指 数分布，分布函数为          0, 0 1 , 0, 0. ( ) x e x F x x   若将这 5 个电子装置串联组成整机，求整机寿命 N 的数学期望； (1) 若将这 5 个电子装置串联组成整机，求整机寿命 M 的数学期望。 (2) 若将这 5 个电子装置并联组成整机，求整机寿命 M 的数学期望。 解 由随机变量函数的分布可知 (1) N  min(X1 , X 2 , X3 , X4 , X5)的分布函数为

1-e5,r≥0 F=1-1-F驴= 0,x<0 其密度函数为 5e5r,x≥0 0,x<0 故 5(w)=:(h=5eu=写克 (2)M=min(X,X2,X3,4,X)的分布函数 F=[Fj=JI-e5,r≥0 0,x<0 其密度函数为 52(1-er)4,x≥0 f={ 0,x<0 故 E(M)=/w()=jx51-e)e“d=3 60元 由 EM_137/602≈114 E(N)1/5 可知，同样5个电子装置，并联组成整机的平均寿命是串联组成整机的平均寿命的11.4 倍。 4.1.3随机变量函数的数学期望 在实际问题中常常需要求出随机变量的函数的数学期望，例如'=g(门，要求 (门。我们可以不必求出P的密度函数，而直接由厂的密度函数来求E(门。 定理41设随机变量”是随机变量P的函数P=g(门(g为连续函数)。 (1)设为离散型变量，其分布律为P(X=x)=P,k=1,2… 若级数∑gx)P绝对收敛，则有 E(月=Ag(]=∑g(x)P4

           0, 0 1 , 0 ( ) 1 [1 ( )] 5 5 x e x F x F x x N  其密度函数为        0, 0 5 , 0 ( ) 5 x e x f x x N   故    5 1 ( ) ( ) 5 0 5              E N xf x dx x e dx x N (2) M  min( X1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) 的分布函数          0, 0 (1 ) , 0 ( ) [ ( )] 5 5 x e x F x F x x M  其密度函数为         0, 0 5 (1 ) , 0 ( ) 4 x e x f x x M   故                0 4 60 137 ( ) ( ) 5 (1 )     E M xf x dx x e e dx x x M 由 11.4 1 5 137 60 ( ) ( )     E N E M 可知，同样 5 个电子装置，并联组成整机的平均寿命是串联组成整机的平均寿命的 11.4 倍。 4.1.3 4.1.3 随机变量函数的数学期望 在实际问题中常常需要求出随机变量的函数的数学期望，例如 Y  g(X ) ，要求 E(Y ) 。我们可以不必求出Y 的密度函数，而直接由 X 的密度函数来求 E(Y ) 。 定理 4.1 4.1 设随机变量Y 是随机变量 X 的函数Y  g(X ) ( g 为连续函数)。 (1) 设 X 为离散型变量，其分布律为 P(X  x )  p ,k 1,2,... k k 若级数 绝对收敛，则有  1 ( ) k k pk g x ( ) [ ( )] ( ) . 1      k k k E Y E g X g x p