上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布 在许多随机试验中，需要考虑的指标不止一个。例如，考查某地区学龄前儿童发育情况， 对这一地区的儿童进行抽样检查，需要同时观察他们的身高和体重，这样，儿童的发育就 要用定义在同一个样本空间上的两个随机变量来加以描述。又如，考察礼花升空后的爆炸 点，此时要用三个定义在同一个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。在这一章中，我 们将引入多维随机变量的概念，并讨论多维随机变量的统计规律性。 3.1二维随机变量及其分布 在这一节中.我们主要讨论二维随机变量及其概率分布，并把它们推广到维随机变量. 3.1.1二维随机变量及其分布函数 1.二维随机变量 定义3.1设2={o}为样本空间，X=X(o)和Y=Y(o)是定义在2上的随机变量，则由它们 构成的一个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量. 二维向量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。 因此，逐个讨论X和Y的性质是不够的，需把XY)作为一个整体来讨论。随机变量X常 称为一维随机变量。 2.二维随机变量的联合分布函数 与一维的随机变量类似，我们也用分布函数来讨论二维随机变量的概率分布。 定义3.2设(X万是二维随机变量，x,y为任意实数，事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的 概率称为二维随机变量(X)的联合分布或分布函数，记作F(x,y),即 F(x,y)=P(r≤x)∩(P≤y)△P(≤x,r≤y) 若把二维随机变量(X)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(X)在(x)处的函数值就是 随机点(X落入以(：，)为定点且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率（见图3-1）。而随机点(X) P(x<X≤x3,片<P≤)=F(x2,2)-Fx,乃)-Fx,)+F(x,片) 落在矩形区域[x1<x≤x2;乃<y≤2]内的概率可用分布函数表示（见图3-2） (x, 图3-1

第三章 第三章 多维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 在许多随机试验中，需要考虑的指标不止一个。例如，考查某地区学龄前儿童发育情况， 对这一地区的儿童进行抽样检查，需要同时观察他们的身高和体重，这样，儿童的发育就 要用定义在同一个样本空间上的两个随机变量来加以描述。又如，考察礼花升空后的爆炸 点，此时要用三个定义在同一个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。在这一章中，我 们将引入多维随机变量的概念，并讨论多维随机变量的统计规律性。 3.1 3.1 二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 在这一节中.我们主要讨论二维随机变量及其概率分布，并把它们推广到 n 维随机变量。 3.1.1 3.1.1 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量及其分布函数 二维随机变量及其分布函数 1. 1. 二维随机变量 二维随机变量 定义 3.1 3.1 设={}为样本空间，X=X()和 Y=Y()是定义在上的随机变量，则由它们 构成的一个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量. . 二维向量(X，Y)的性质不仅与 X 及 Y 有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 。 因此，逐个讨论 X 和 Y 的性质是不够的，需把(X,Y)作为一个整体来讨论。随机变量 X 常 称为一维随机变量。 2. 2. 二维随机变量的联合分布函数 二维随机变量的联合分布函数 二维随机变量的联合分布函数 二维随机变量的联合分布函数 与一维的随机变量类似，我们也用分布函数来讨论二维随机变量的概率分布。 定义 定义 3.2 3.2 设(X,Y)是二维随机变量，x，y 为任意实数，事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的 概率称为二维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数 联合分布或分布函数 联合分布或分布函数 联合分布或分布函数 ，记作 F(x,y)，即 若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数 F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是 随机点(X,Y)落入以(x,y)为定点且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率（见图 3-1）。而随机点 (X,Y) 落在矩形区域[x 1  x  x 2 ; y 1  y  y 2 ]内的概率可用分布函数表示（见图 3-2） x F ( x , y )  P ( X  x )  (Y  y ))  P ( X  x , Y  y ). ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). P x 1  X  x 2 y 1  Y  y 2  F x 2 y 2  F x 2 y 1  F x 1 y 2  F x 1 y 1 y o ( x , y ) 图 3-1

图3-2 分布函数F(x,)具有以下的基本性质。 (1)0≤F(x,月≤1. F(+oo,+o）=limF(x,y）=1, F(-∞，-0)=limF(x,y)=0. 对于任意固定的x和，有 F(x,)=lim F(x,)=0, F(-o,y)=limF（x,y）=0. (2)F(x,)是变量x或y的单调不减函数，即对任意固定的y,当，≥ 时，F(x2,y)≥F(x1,):对任意固定的x,当≥n时，F(x2)≥F(x,h)。 (3)F(x,)=凡H0,),F(x,片F(x0),即F(x,关于x是右连续的，关于也是 右连续的。 (4)对于任意（出，乃），(2y2方出<2片<y2,有 F(2,2)-F(x1,2)-F(x2,)+F(x1,乃)≥0 性质(1)，(2)，(4)可直接由分布函数的定义及它的几何意义得出。性质(3)的证明要用较 多的数学知识，故从略。 3.二维随机变量的边缘分布函数 二维随机变量(K,)作为一个整体具有联合分布函数F(x,)。而r和旷都是随机 变量，各自也有它们的分布函数，把和P的分布函数分别记为F()和FU),并分别称 为随机变量(K,)关于和'的边缘分布函数。 由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系。 F,(x)=P(r≤x)=P(X≤x,P<+∞)=Fx,+o), 即 F(x)=F(x,十∞)

分布函数 F (x，y)具有以下的基本性质。 (1) 0≤F (x，y)≤1. 对于任意固定的 x 和 y，有 (2) F (x ， y) 是变 量 x 或 y 的单 调 不 减 函 数 ， 即 对 任 意 固 定 的 y ，当 x2  x1 时, F ( x 2 , y)  F (x 1 , y)；对任意固定的 x，当 y2  y1 时， F ( x, y 2 )  F (x, y 1 ) 。 (3) F (x，y) = F(x+0, y)，F (x, y)=F (x, y+0)，即 F (x, y)关于 x 是右连续的，关于 y 也是 右连续的。 (4) 对于任意 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ); x 1  x 2 , y 1  y 2，有 F ( x 2 , y 2 )  F (x 1 , y 2 )  F (x 2 , y 1 )  F ( x 1 , y 1 )  0 性质(1)，(2)，(4)可直接由分布函数的定义及它的几何意义得出。性质(3)的证明要用较 多的数学知识，故从略。 3 3 ． ． 二维随机变量的边缘分布函数 二维随机变量的边缘分布函数 二维随机变量的边缘分布函数 二维随机变量的边缘分布函数 二维随机变量（X，Y）作为一个整体具有联合分布函数 F（x，y）。而 X 和 Y 都是随机 变量，各自也有它们的分布函数，把 X 和 Y 的分布函数分别记为 FX (x)和 FY (y)，并分别称 为随机变量（X，Y）关于 X 和 Y 的边缘分布函数。 由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系。 F (x)  P( X  x)  P(X  x,Y  )  F(x,), X 即 F (x)  F (x,). X ( , ) ( , ) 0 . ( , ) ( , ) 1 , lim lim                 F F x y F F x y y x y x ( , ) ( , ) 0 . ( , ) ( , ) 0 , lim lim           F y F x y F x F x y x y x y 1y 2 y 1x 2 x 0 图 3-2

同理可得 Fr (x)=F(+0o,). 几何上F,()和F()的函数值是(K,刀落入图3-3和图3-4所示区域内的概率 图3-3 例1设二维随机变量(K,)的联合分布函数为 凡x列=MB+arcta克C+ 其中A,B,C为常数，-0<x<+o0,-00<y<+o0 (I)试确定A,B,C的值； (2)求r和的边缘分布函数： (3)求P(2). 解(1)由联合分布函数的性质(2)，知 -)=KB+ZXC+Z)=l. 凡-0，+)=B-2XC+2)=0, -n,o)=B+7(C-3=0, 由此可解得A=1/π2，B=π/2，C=π/2 (2)由定义直接可知

同理可得 几何上 F (x) F (y)的函数值是(X，Y）落入图 3-3 和图 3-4 所示区域内的概率. X 和 Y 例 例 1 1 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 ), 2 )( 2 ( , ) ( arctan    C  x F x y A B 其中 A，B，C 为常数，    x  ,  y  . (1) 试确定 A，B，C 的值； (2)求 X 和 Y 的边缘分布函数； (3)求 P (X >2)。 解 解 (1) 由联合分布函数的性质(2)，知 ) 0, 2 )( 2 ( , ) ( ) 0, 2 )( 2 ( , ) ( ) 1, 2 )( 2 ( , ) (                         F A B C F A B C F A B C 由此可解得 1/ , / 2, / 2. 2 A   B  C  (2) 由定义直接可知 F ( x ) F ( , y ). Y   y 0 x x 图 3-3 y y x 0 图 3-4

F,(=Hx+o)=(任+arctan3 π22 =1+Larcte FU)=-0,)=↓7 +arctan）-+上aretan,<y. 2 22π 2 (3)由X得分布函数，得 >2)=1-rs2)=l-R,(2=1-+20=4 1 π 3.1,2二维离散型随机变量及其概率分布 若二维随机变量(K,)的所有可能取的值是有限多对或可列无限多对，则称(K,) 为二维离散型随机变量. 1.联合分布律 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其所有可能取的值为()，6了=1,2，，m 若(K刀取数对(xy)的概率P八X=x,Y=y)=P,满足 P≥0， 则称 P(X=x,Y=y）=Pg,1j=1,2,… 为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律或分布律， 2.边缘分布律 我们可以由(K,)的联合分布律求出X和F的分布律。这是因为 ar-x-Ar-xUJ(r-)-Eax-xr--n i=1,2,…, 同理 P(y=y)=2P,4P/=1,2 i-t 其中P,和P,分别是表示2P,和2P,的记号，它们分别是事件(K=x)和(P=) 的概率，且有P,20, P,202,-22%=1 故分别为X和P的分布律，我们称 P八X=x)=P,i=1,2,…

, . 2 arctan 1 2 1 2 arctan 2 1 ( ) ( , ) , , 2 arctan 1 2 1 2 arctan 2 1 ( ) ( , ) 2 2                                  y y y F y F y x x x F x F x Y X         (3) 由 X 得分布函数，得 . 4 1 arctan1) 1 2 1 (  2) 1 (  2) 1 (2) 1 (    P X P X FX 3.1.2 3.1.2 二维离散型随机变量及其概率分布 二维离散型随机变量及其概率分布 二维离散型随机变量及其概率分布 二维离散型随机变量及其概率分布 若二维随机变量（X，Y）的所有可能取的值是有限多对或可列无限多对，则称（X，Y） 为二维离散型随机变量. . 1. 1. 联合分布律 设（X，Y）是二维离散型随机变量，其所有可能取的值为（xi, yj），i，j =1，2，…，n， 若(X，Y）取数对（xi, yj）的概率 P(X  x i ,Y  y j)  p ij，满足 0 , 1, 1 1         i j p ij p ij 则称 为二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布律或分布律. . 2. 2. 边缘分布律 我们可以由（X，Y）的联合分布律求出 X 和 Y 的分布律。这是因为 1, 2, , ( ) ( , ( )) ( , ) . 1 1 1                     i P X x P X x Y y P X x Y y p p j j i j ij i j i i  j 同理 其中 p i .和 p. j分别是表示  和 的记号，它们分别是事件 和（  j1 ij p   i1 pij ( ) i X  x ) i Y  y 的概率，且有 . 0, . 1; 1 1 1           i i  ij j pi pi p . 0, . 1. 1 1 1           j j  ij i p j p j p 故分别为 X 和 Y 的分布律，我们称 P(X  x )  p .,i 1,2,.... i i P ( X  x ,Y  y )  p , i, j  1,2,   i j ij ( ) , 1 , 2 , , 1            P Y y p p j j j ij j

为二维离散型随机变量(K,)关于的边缘分布律。同样，称 Y=y)=pj=1,2,… 为(K,)关于P的边缘分布。 通常用下表格来表示(X,)联合分布律和边缘分布律： xX2…Xn… P.i 乃 P1P21…PA… he 3 P2P22…卫2… 乃P2y…Pg… 乃.P2P =iP=2P,=2, l 1 例2设随机变量K在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1r中 等可能地取一整数值。试求(X的联合分布律及边缘分布律。 解因为事件(=，P=)中1的取值为1,2,3,4，了取不大于1的正整数值，所以由乘法 公式得(X)的分布律 ==》==小Aw=r=0=}1=1,2,3,4,s 而P(X=0==1=1234PV==/=1,234. 4 故用表格表示如下： YIr 1234 P. 1/41/81/121/16 25/48 2 0 1/81/121/16 13/48 3 0 01/121/16 7/48 4 0 0 01/16 3/48 P 1/4 1/41/4 1/4

为二维离散型随机变量（X，Y）关于 X 的边缘分布律。同样，称 P(Y  y )  p. , j 1,2,.... i j 为（X，Y）关于 Y 的边缘分布。 通常用下表格来表示（X，Y）联合分布律和边缘分布律： 例 例 2 2 设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1~X 中 等可能地取一整数值。试求(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。 解 解 因为事件(X = i, Y = j)中 i 的取值为 1，2，3，4，j 取不大于 i 的正整数值，所以由乘法 公式得(X,Y)的分布律   ，i = 1，2，3，4，j  i i P X i Y j P X i P Y j X i 1 4 1  ,   (  )  (   )   而 , 1,2 ,3,4 . 4 1 , 1,2 ,3,4 ; ( ) 4 1 4 1 ( ) 4 1            j i i P Y j i P X i i j i j 故用表格表示如下： X Y ... ... 1 x 2 x n x j p. 1 y 2 y  j y  ... ... 11 p 21 p i1 p ... ... 12 p 22 p i 2 p   ...  ... ... ... j p 1 j p 2 ij p   ...  ...     1 1 1 . i i p p     1 2 2 . i p pi      1 . i p j pij  . i p . ... ... 1 p . 2 p . i p  ... . ..    1 1 j j p     1 2 j j p     j 1 ij p Y \ X 1 2 3 4 j p . 1 2 3 4 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16 25/48 13/48 7/48 3/48 . i p 1/4 1/4 1/4 1/4