第三节概率的基本运算法则 一.运算法则 1,加法公式若44，，4是两两互斥的事件，则24)=立八4) 2逆：对任意事件A,有P)=1-P) 3.减法性质：设AB为两事件，且AcB,则P(B-)=PB)-) 4.单调性：设AB为两事件，且AcB,则P代)≤P(B) 5广义加法：设A,B为任意两事件，则P氏UB)=P)+PB)-AB 例1设有20件产品，其中有4件不合格品，从中任取3件，求下列事件的概率： ()A="三件中至少有一件是合格品"； (2)B="三件全为不合格品" 例2.一条电路上安装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，它们单独 烧断的概率分别为0.8和0.9，同时烧断的概率为0.72，求电流强度超过这一定值 时，至少有一根保险丝被烧断的概率 例3.一批产品共有100件，其中90件是合格品，10件是次品，从这批产品中任取 3件，求其中有次品的概率 例4设A④=A=O=A1B=0,A4O=ABO=。 则事件AB,C都不发生的概率为 例5.设随机事件AB及其和事件U的概率分别是0.4,0.3和0.6若表示的 对立事件，那么积事件A的概率P八4B)=一 二，条件概率 在实际问题中，常常需要计算在某个事件B己发生的条件下，另一个事件A发生的概率。 在概率论中，称此概率为事件B己发生的条件下事件A发生的条件概率，记为氏A|B)。 一般地，因为增加了“事件B已发生”的条件，所以AB)≠P(④
第三节 概率的基本运算法则 一. . 运算法则 1. 1. 加法公式: : n i n i A A An P Ai P Ai 1 1 1 2 若 , ,, 是两两互斥的事件，则 ( ) ( ) 2. 2. 逆: : 对任意事件A，有P(A) 1 P(A) 3. 3. 减法性质: : 设A,B为两事件，且A B，则P(B A) P(B) P(A) 4. 4. 单调性: : 设A,B为两事件，且A B，则P(A) P(B) 5. 5. 广义加法: : 设A,B为任意两事件，则P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1. 20 4 3 : (1) " "; (2) " ". A B 例 设有 件产品，其中有 件不合格品，从中任取 件，求下列事件的概率 三件中至少有一件是合格品 三件全为不合格品 2. 0.8 0.9 0.72 . 例 一条电路上安装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，它们单独 烧断的概率分别为 和 ，同时烧断的概率为 ，求电流强度超过这一定值 时，至少有一根保险丝被烧断的概率 3. 100 90 10 3 . 例 一批产品共有 件，其中 件是合格品， 件是次品，从这批产品中任取 件，求其中有次品的概率 1 1 4. ( ) ( ) ( ) , ( ) 0, ( ) ( ) , 4 8 , , ______ . P A P B P C P AB P AC P BC A B C 例 设 则事件 都不发生的概率为 5. , 0.4, 0.3 0.6. ( ) ____ . A B A B B B AB P AB 例 设随机事件 及其和事件 的概率分别是 和 若 表示 的 对立事件，那么积事件 的概率 二. . 条件概率 在实际问题中，常常需要计算在某个事件 B 已发生的条件下,，另一个事件 A发生的概率 。 在概率论中，称此概率为事件 B 已发生的条件下事件 A发生的条件概率，记为 P(A | B) 。 一般地，因为增加了“事件 B 已发生”的条件，所以 P(A | B) P(A)
下面举例引出条件概率的定义. 例1某工厂有职工500人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为40人与10人。 现从中人选一名职工，试问： (1)该职工为技术优秀的概率是多少？ (2)已知选出的是女职工，她为技术优秀的概率是多少？ 解设A表示选出的职工为技术优秀的事件，B表示选出的是女职工的事件。 (1)0= 40+101 50010 101 (2)PA|B)= 250-25 显然，R)≠RA。这是因为限制在B已发生的条件下求A的概率的缘故。 10/ 另外，可由AA)= 10 500-P\AB) 250250/ 7500 B 推得一般情况下条件概率的定义 设实验的基本事件总数为，事件B所包含的基本事件数为mg, 事件AB所包含的基本事件数为me,则有 m AB PAB)= m4三 /n PAB mg ma/ PB) 由此可得条件概率的定义。 定义： AAIA)=A☑ (PB)>0时) 一一在B发生条件下的概率 PB) 根据条件概率定义，不难验证它符合概率定义中的三个条件，即 性质： 1.0≤PA|B)≤1 2.P(2|B=1 3若4，A,…两两互不相容，则PU4|B)=∑P(41B) 注：条件概率也可利用“缩减样本空间”的方法来计算。如求AB,可把事件B所包含的 基本事件作为样本空间2。，在这个“小”的样本空间中求事件A发生的概率。 例2甲、乙两车间各生产50件产品，其中分别含有次品3件与5件。现从这100件产品中 任取1件，在己知取到家车间产品的条件下，求取得次品的概率。 解设A为取得次品的事件，B为取得甲车间产品的事件，则由B己发生即己知抽得甲车间 产品，可得缩减的样本空间2。中由50件产品(100件产品去掉乙车间的产品之后的产品数)， 于是用“缩减样本空间”的方法，得
下面举例引出条件概率的定义. 例 1 1 某工厂有职工 500 人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为 40 人与 10 人。 现从中人选一名职工，试问： (1) 该职工为技术优秀的概率是多少? (2) 已知选出的是女职工,她为技术优秀的概率是多少? 解 设 A表示选出的职工为技术优秀的事件， B 表示选出的是女职工的事件。 (1) 10 1 500 40 10 ( ) P A (2) 25 1 250 10 P(A | B) 显然， P(A) P(A | B)。这是因为限制在 B已发生的条件下求 A的概率的缘故。 另外，可由 ( ) ( ) 500 250 500 10 250 10 ( | ) P B P AB P A B 推得一般情况下条件概率的定义. 设实验的基本事件总数为n ，事件 B 所包含的基本事件数为 mB， 事件 AB 所包含的基本事件数为mB，则有 ( ) ( ) ( | ) P B P AB n m n m m m P A B B AB B AB 由此可得条件概率的定义。 定义： P B 时 — —在B发生条件下的概率 P B P AB P A B ( ( ) 0 ) ( ) ( ) ( | ) 根据条件概率定义，不难验证它符合概率定义中的三个条件，即 性质： 1 1 1 2 3. , , ( | ) ( | ) 2. ( | ) 1; 1.0 ( | ) 1; i i A A P Ai B P Ai B P B P A B 若 两两互不相容，则 注: 条件概率也可利用“缩减样本空间”的方法来计算。如求 P(A | B) ，可把事件 B所包含的 基本事件作为样本空间B，在这个“小”的样本空间中求事件 A发生的概率。 例 2 2 甲、乙两车间各生产 50 件产品，其中分别含有次品 3 件与 5 件。现从这 100 件产品中 任取 1 件，在已知取到家车间产品的条件下，求取得次品的概率。 解 设 A为取得次品的事件， B 为取得甲车间产品的事件，则由 B 已发生即已知抽得甲车间 产品，可得缩减的样本空间 B中由 50 件产品(100 件产品去掉乙车间的产品之后的产品数)， 于是用“缩减样本空间”的方法，得