空间解析几何和向量代数: 空间点的距离:d=MM2=V√(x2-x)2+(V2-y1)2+(=2-= 向量在轴上的投影:PrAB=4B(coso,是AB与轴的夹角 Prj (a,+a2)=Pr ja,+Pr ja2 ab=l4cos=ab+ab,+ab,是一个数量 两向量之间的夹角:cosb b tab ta b =a×b=,aak=lm例:线速度:下=Wx br b, b. a. a.a 向量的混合积4=(a×6)a=hb,b11×61为锐角时, 代表平行六面体的体积。 平面的方程: 点法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0,其中n={A,B,C},M0(x,y0,=) 2、一般方程:Ax+By+Cz+D=0 3、截距世方程:x+y+三=1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离:d=1n+B+Cn+D A-+B 空间直线的方程x=y=5=其中={mn,p:参数方程:y=+n 次曲面: 椭球面:+x2 2、抛物面:x+y=(,q同号 2 3、双曲面: 单叶双曲面:+,-5=1 双叶双曲面:-+二=1(马鞍面)
空间解析几何和向量代数： 代表平行六面体的体积。 向量的混合积： 为锐角时， 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 向量在轴上的投影： 是 与 轴的夹角。 空间 点的距离： α α θ θ θ ϕ ϕ [ ] ( ) cos , , sin . . cos cos , , Pr ( ) Pr Pr Pr cos , 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 a b c c c c b b b a a a abc a b c c a b v w r b b b a a a i j k c a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b j a a ja ja j AB AB AB u d M M x x y y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x x y y z z x x y y z z u u v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v = × ⋅ = = × ⋅ = × = = ⋅ = × + + ⋅ + + + + = ⋅ = ⋅ = + + + = + = ⋅ = = − + − + − 双叶双曲面： （马鞍面） 单叶双曲面： 、双曲面： 、抛物面： （ 同号） 、椭球面： 二次曲面： 空间直线的方程： 其中 参数方程： 平面外任意一点到该平面的距离： 、截距世方程： 、一般方程： 、点法式： ，其中 平面的方程： 1 1 3 , , 2 2 2 1 1 , { , , }; 3 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 0 { , , }, ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − + = + − = + = + + = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + = = − = − = − + + + + + = + + = + + + = − + − + − = = c z b y a x c z b y a x z p q q y p x c z b y a x z z pt y y nt x x mt t s m n p p z z n y y m x x A B C Ax By Cz D d c z b y a x Ax By Cz D A x x B y y C z z n A B C M x y z v v
多元函数微分法及应用 全微分:小_0A,z dx+ 全微分的近似计算:A≈d=/(x,y)Ax+J(xy)Ay 多元复合函数的求导法: f[u(0), v (o d: a- au a= av dt au at ay at =flu(x,y),v(, y) 当u=u(x,y),v=v(x,y)时 du dv=dx+dy 隐函数的求导公式 隐函数F(x,y)=0, 会一后, 0,F0,F、d 隐函数F(x,y,)=0,=F a- F x F aFaF 隐函数方程组(x,y,ny)=0 =a(FG)=9 G(x,y, u,v=0 d(u,v aGaG av 1 a(F,G av 1 a(F,G) x.1 J a(u,x) 1 a(F,G) Ov 1 a(F,G) J(y,) ul,) 微分法在几何上的应用 空间曲线y=v(0)在点M(xny3,=0)处的切线方程 xy-y0-三-2 p(Lo)y(to) o(to) 在点M处的法平面方程:φ'(t)(x-x)+v(1)(y-y)+O(1)(z--0)=0 若空间曲线方程为 ∫F(x,y=)=0 则切向量T= F FIF: FIF F G.PG. G 曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,=0),则 1、过此点的法向量:n={F2(x,y0,=0),F1(x,y,=0),F(x0,y20) 2、过此点的切平面方程:F(x2y02=0x-x)+F(x0,y,=0Xy-y0)+F(x,y20x2-=0)=0 3、过此点的法线方程:x-x0=y-y0 0)F,(x0,yo,=0)F2(xo,yo,=0)
多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x x y F F y z F F x z F x y z dx dy F F F y F dx x d y F F dx dy F x y dy y v dx x v dy dv y u dx x u du u u x y v v x y x v v z x u u z x z z f u x y v x y t v v z t u u z dt dz z f u t v t z dz f x y x f x y y dz z u dy y u dx x u dy du y z dx x z dz = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ − ∂ ∂ = = − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = = Δ ≈ = Δ + Δ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = 隐函数 ， ， 隐函数 ， ， ＋ 隐函数的求导公式： 当 ， 时， 多元复合函数的求导法： 全微分的近似计算： 全微分： ( , , ) 0 ( , ) 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] [ ( ), ( )] ( , ) ( , ) 2 2 ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 u y F G y J v y v F G y J u u x F G x J v x v F G x J u G G F F v G u G v F u F u v F G J G x y u v F x y u v u v u v ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ⎩ ⎨ ⎧ = = 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： ( , , ) ( , , ) ( , , ) 3 2 ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 1 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} ( , , ) 0 ( , , ) , { , , } ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z n F x y z F x y z F x y z F x y z M x y z G G F F G G F F G G F F T G x y z F x y z M t x x t y y t z z t z z t y y t x x M x y z z t y t x t x y z x y z x y z x y x y z x z x y z y z − = − = − − + − + − = = = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ′ − + ′ − + ′ − = ′ − = ′ − = ′ − ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 、过此点的法线方程： 、过此点的切平面方程： 、过此点的法向量： 曲面 上一点 ，则： 若空间曲线方程为： 则切向量 在点 处的法平面方程： 空间曲线 在点 处的切线方程： v v ϕ ψ ω ϕ ψ ω ω ψ ϕ