3.5.1凸点3.5.2Jensen不等式Holder不等式定理 4设f(α）是区间I上连续,在此区间内部可微.如果f'(c）在I内（严格）单调递增,则f(α)是I上的（严格）凸函数.反之,如果f(α)是I上的凸函数,则f'(α)在I上单调递增证明对于任意1,2EI,及任意αE(0,1).不妨设1<2.记Co = α1 +(1-α)α2,则 α1< o< 2,且 α = 2-0.由微分中值定理,存C2T在E（,o)和2E（ao2）使得f(co)-f(αi) =f'(si)(ao -αi);f(α2) - f(αo) = f'($2)(a2 - Co)注意到f(αc）是单调递增的，我们有f(S1)≤f(S2).于是f(co) -f(α1) f(c2) - f(co)o-1C2—Co此式可变形为f(αai+(一α)a2)≤αf(α)+(1α)f(a2).因此，f(）在I上是凸函数.证毕返回全屏 关闭退出-11/32
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: ½n 4 f(x) ´«m I þëY, 3d«mSÜ. XJ f 0 (x) 3 I S£î¤üN4O, K f(x) ´ I þ£î¤à¼ê. , XJ f(x) ´ I þà¼ê, K f 0 (x) 3 I þüN4O. y² éu?¿ x1, x2 ∈ I, 9?¿ α ∈ (0, 1). Ø x1 < x2. P x0 = αx1 + (1 − α)x2, K x1 < x0 < x2, α = x2−x0 x2−x1 . d©¥½n, 3 ξ1 ∈ (x1, x0) Ú ξ2 ∈ (x0, x2) ¦ f(x0) − f(x1) = f 0 (ξ1)(x0 − x1); f(x2) − f(x0) = f 0 (ξ2)(x2 − x0). 5¿ f 0 (x) ´üN4O, ·k f 0 (ξ1) 6 f 0 (ξ2). u´ f(x0) − f(x1) x0 − x1 6 f(x2) − f(x0) x2 − x0 , dªC/ f(αx1 + (1 − α)x2) 6 αf(x1) + (1 − α)f(x2). Ïd, f(x) 3 I þ´à¼ê. y. 11/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1凸点3.5.2Jensen不等式Holder不等式定理5设f(ac）是区间I上连续，在此区间内有二阶导函数.如果对I内任意α有 f"(α)≥0（f"(α)>0）,则f(α)是I上（严格）凸函数.反之如果 f(α)是 I上的凸函数,则对 I内任意 有 f"(α)≥0.定理 6（Jensen 不等式）设 f(α）是区间 I上的凸函数.则对 I中任意 n个点1,α2,.·,Cn，有f(αi1 + a22 + ... +αnn) < αif(i) + α2f(c2) +...+ αnf(cn),其中α,.·,αn都是正数且α1+.·+αn=1.证明根据f(α）在内部的连续性和凸性，利用归纳法即可证明返回全屏关闭退出II12/32
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: ½n 5 f(x) ´«m I þëY, 3d«mSk ¼ê. XJé I S ?¿ x k f 00(x) > 0£f 00(x) > 0¤, K f(x) ´ I þ£î¤à¼ê. , XJ f(x) ´ I þà¼ê, Ké I S?¿ x k f 00(x) > 0. ½n 6 (Jensen Ø ª) f(x) ´«m I þà¼ê. Ké I ¥?¿ n : x1, x2, · · · , xn, k f(α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn) 6 α1f(x1) + α2f(x2) + · · · + αnf(xn), Ù¥ α, · · · , αn Ñ´ê α1 + · · · + αn = 1. y² â f(x) 3SÜëY5Úà5, |^8B{=y². 12/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ