3.5.1凸点3.5.2Jensen不等式Holder不等式现设c,yEI及任意自然数n,m（n<m）,在（3.1）中令ci=.=an=,an+1=..·=m=y得到n"α+(1-"))≤"f(a)+(1-")f()fmm即,对任意有理数rE(0,1),有f(ra+(1-r)y)≤rf(α)+(1-r)f(y)对于任意实数αE(0,1),可取趋于α的有理数列rnE(0,1).将上式中的r换成rn，并令n→o，根据f的连续性，就得到f (aa+ (1-α)y)≤αf(α)+(1-a)f(y)这就证明了f是I上的凸函数.证毕返回全屏关闭退出6/32
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: y x, y ∈ I, 9?¿g,ê n, m (n < m), 3 (3.1) ¥- x1 = · · · = xn = x, xn+1 = · · · = xm = y, f n m x + (1 − n m )y 6 n m f(x) + (1 − n m )f(y). =, é?¿knê r ∈ (0, 1), k f (rx + (1 − r)y) 6 rf(x) + (1 − r)f(y). éu?¿¢ê α ∈ (0, 1), ªu α knê rn ∈ (0, 1). òþª¥ r ¤ rn, ¿- n → ∞, â f ëY5, Ò f (αx + (1 − α)y) 6 αf(x) + (1 − α)f(y). ùÒy² f ´ I þà¼ê. y. 6/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
凸点3.5.13.5.2Jensen不等式Holder不等式证法2（反证法）若f(α）不是I上的凸函数，则存在a1,a2EI，及CoE（1,a2)使得f(aco) -f(i) f(c2) -f(α1)Co-Ci2-1即，f(c2) -f(1)f(co) >f(ci) +(ro - ci).C2—1构造线性函数g(z) = f(1) + f(a) - f(a1)(-i)C2-1它的图像是连接（a1,f(aci））和（a2,f(2））的弦，因此有g(ci) = f(aαi), g(α2) =f(α2), f(co)>g(co).令h(α) = f(α) -g(α)则h()=h(c2)=0, h(ao)>0.返回全屏关闭退出7/32
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: y{ 2 (y{) e f(x) Ø´ I þà¼ê, K3 x1, x2 ∈ I, 9 x0 ∈ (x1, x2) ¦ f(x0) − f(x1) x0 − x1 > f(x2) − f(x1) x2 − x1 , =, f(x0) > f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x0 − x1). E5¼ê g(x) = f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1). §ã´ë (x1, f(x1)) Ú (x2, f(x2)) u, Ïdk g(x1) = f(x1), g(x2) = f(x2), f(x0) > g(x0). - h(x) = f(x) − g(x). K h(x1) = h(x2) = 0, h(x0) > 0. 7/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1凸点3.5.2Jensen不等式Holder不等式由于 h(a)是连续函数,存在 co 的邻域(a,b) C (a1,a2), ao E (a,b),使得h(a) = h(b) = 0, h(α) > 0, E (a, b)此时有a+ba+ba+b> 0,即,hC222因为9是线性函数，所以a+bg(a) + g(b)f(a) + f(b)9222因此a+bf(a) + f(b)T22这与条件矛盾！返回全屏关闭退出I8/32
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: du h(x) ´ëY¼ê, 3 x0 (a, b) ⊂ (x1, x2), x0 ∈ (a, b), ¦ h(a) = h(b) = 0, h(x) > 0, x ∈ (a, b). dk h a + b 2 > 0, =, f a + b 2 > g a + b 2 . Ï g ´5¼ê, ¤± g a + b 2 = g(a) + g(b) 2 = f(a) + f(b) 2 . Ïd f a + b 2 > f(a) + f(b) 2 . ù^gñ! 8/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1凸点3.5.2Jensen不等式Holder不等式定理2设f(α)是区间I上的凸函数,1,2,是I三点,且 1<2<3.那么有f(α2) - f(c1) f(c3) f(c1)) f(c3) -f(a2)2—1α3—13—2月 令α=二翌,则证明C2 = αi + (1 - α)3.由f的凸性,知f(α2) ≤ αf(αi) + (1 - α)f(3)将α代入此式，经变形即得定理中的不等式.证毕I返回全屏关闭退出9/32
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: ½n 2 f(x) ´«m I þà¼ê, x1, x2, x3 ´ I n:, x1 < x2 < x3. @ok f(x2) − f(x1) x2 − x1 6 f(x3) − f(x1) x3 − x1 6 f(x3) − f(x2) x3 − x2 . y² - α = x3−x2 x3−x1 , K x2 = αx1 + (1 − α)x3. d f à5, f(x2) 6 αf(x1) + (1 − α)f(x3). ò α \dª, ²C/=½n¥Ø ª. y. 9/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1凸点3.5.2Jensen不等式Holder不等式定理3设f(α）是区间I上的凸函数,那么f(α)在I的内点是连续的证明 设 ao 是 I的一个内点.在 I 中选取四个点 ai,α2,yi,y2使得i < 2< o < i< y2. 根据定理 2, 当 E(a2, y1) 且 ≠ o 时, 有f(c2) -f(ci) f(α) -f(ao) f(y2) -f(yl)-oC2-C1y2- y1f(a)-f(ro)此式说明当 E（a2,yi)且 ≠ o时是有界的，即存在正数M，T-TOf(a)-f(ro)使得≤M.因而C-2OIf(α) -f(co)/≤ Mlα - ol, E (α2, yi)从此式便可得出f在o连续.证毕从以上定理的证明可看出若f（α）是开区间I上的凸函数，则f在I上连续，且当[a,b]是I中的有限闭区间时，f在[a,b]上是Lipschitz连续的返回全屏退出关闭-10/32
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: ½n 3 f(x) ´«m I þà¼ê, @o f(x) 3 I S:´ëY. y² x0 ´ I S:. 3 I ¥Ào: x1, x2, y1, y2 ¦ x1 < x2 < x0 < y1 < y2. â½n 2, x ∈ (x2, y1) x 6= x0 , k f(x2) − f(x1) x2 − x1 6 f(x) − f(x0) x − x0 6 f(y2) − f(y1) y2 − y1 . dª`² x ∈ (x2, y1) x 6= x0 , f(x)−f(x0) x−x0 ´k., =3ê M, ¦ f(x)−f(x0) x−x0 6 M. Ï |f(x) − f(x0)| 6 M|x − x0|, x ∈ (x2, y1). ldªBÑ f 3 x0 ëY. y. l±þ½ny²wÑe f(x) ´m«m I þà¼ê, K f 3 I þ ëY, [a, b] ´ I ¥k4«m, f 3 [a, b] þ´ Lipschitz ëY. 10/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ