第五章图与网络模型及方法 §1概论 论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736年发表的“哥尼 斯堡的七座桥”。1847年,克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857 年,凯莱在计数烷CnH2n+2的同分异构物时,也发现了“树”。哈密尔顿于1859年提 出“周游世界”游戏,用图论的术语,就是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年 来,由于计算机技术和科学的飞速发展,大大地促进了图论研究和应用,图论的理论和 方法已经滲透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学,生物遗传学、心理学、经济 学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示 这些具体事物,用连接两点的线段(直的或曲的)表示两个事物的特定的联系,就得到 了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了 个数学模型,借助于图论的概念、理论和方法,可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问 题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结 起来,问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次,再回到起点 图1哥尼斯堡七桥问题 当然可以通过试验去尝试解决这个问题,但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解 决这个问题,采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座 桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条“线”的“图”。 问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特 点,给出了一笔画的一个判定法则:这个图是连通的,且每个点都与偶数线相关联,将 这个判定法则应用于七桥问题,得到了“不可能走通”的结果,不但彻底解决了这个问 题,而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学( Operations Research)中的一个经典和重要的分支,所研究的 问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等 诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都 是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题 例1最短路问题(SPP- shortest path problem) 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的 公路网纵横交错,因此有多种行车路线,这名司机应选择哪条线路呢?假设货柜车的运 行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2公路连接问题 某一地区有若干个主要城市,现准备修建高速公路把这些城市连接起来,使得从其
-68- 第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于 18 世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于 1736 年发表的“哥尼 斯堡的七座桥”。1847 年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857 年，凯莱在计数烷CnH2n+2 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于 1859 年提 出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈、近几十年 来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和 方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、运筹学，生物遗传学、心理学、经济 学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示 这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到 了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了 一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问 题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结 起来，问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。 图 1 哥尼斯堡七桥问题 当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解 决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座 桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。 问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特 点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将 这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问 题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支，所研究的 问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等 诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都 是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例 1 最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的 公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运 行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例 2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其
中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两 个城市之间修建高速公路的成本,那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路,使得总 成本最小? 例3指派问题( assignment problen) 家公司经理准备安排N名员工去完成N项任务,每人一项。由于各员工的特点 不同,不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以 使总回报最大? 例4中国邮递员问题(CPP- chinese postman problem) 名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他(她)设计一条最短的投递路线(从 邮局出发,经过投递区内每条街道至少一次,最后返回邮局)?由于这一问题是我国管 梅谷教授1960年首先提出的,所以国际上称之为中国邮递员问题 例5旅行商问题(TSP- traveling salesman problem) 名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他(她)设计一条最短的旅行路线 从驻地出发,经过每个城市恰好一次,最后返回驻地)?这一问题的研究历史十分悠 久,通常称之为旅行商问题 例6运输问题( transportation problem) 某种原材料有M个产地,现在需要将原材料从产地运往N个使用这些原材料的工 厂。假定M个产地的产量和N家工厂的需要量己知,单位产品从任一产地到任一工厂 的运费己知,那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低? 上述问题有两个共同的特点:一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求 某种意义下的最优安排或方案,数学上把这种问题称为最优化或优化( optimization) 问题;二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达,数学上把这种与图相关的结构 称为网络( network)。与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 ( netwok optimization)问题。所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。由于多 数网络优化问题是以网络上的流(fow)为研究的对象,因此网络优化又常常被称为网 络流( network flows)或网络流规划等, 下面首先简要介绍图与网络的一些基本概念 §2图与网络的基本概念 21无向图 个无向图( undirected graph)G是由一个非空有限集合V(G)和V(G)中某些元素 的无序对集合E(G)构成的二元组,记为G=(V(G),E(G)。其中 V(G)={v,V2…,vn}称为图G的顶点集( vertex set)或节点集( node set,(G)中 的每一个元素v(i=1,2,…,n)称为该图的一个顶点( vertex)或节点(noe E(G)={e1e2…,em}称为图G的边集( edge set),E(G)中的每一个元素ek(即(G) 中某两个元素v,的无序对)记为e=(,")或e=vv=V1(k=12,…,m), 被称为该图的一条从v到v,的边(edge) 当边ek=VV时,称v,"为边e的端点,并称v与v相邻( adjacent);边e称 为与顶点v,ν,关联( incident)。如果某两条边至少有一个公共端点,则称这两条边在 图G中相邻。 边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络( undirected network)。我们对图和 网络不作严格区分,因为任何图总是可以赋权的
-69- 中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两 个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总 成本最小？ 例 3 指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排 N 名员工去完成 N 项任务，每人一项。由于各员工的特点 不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以 使总回报最大？ 例 4 中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线（从 邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？由于这一问题是我国管 梅谷教授 1960 年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。 例 5 旅行商问题（TSP－traveling salesman problem） 一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她）设计一条最短的旅行路线 （从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？这一问题的研究历史十分悠 久，通常称之为旅行商问题。 例 6 运输问题（transportation problem） 某种原材料有 M 个产地，现在需要将原材料从产地运往 N 个使用这些原材料的工 厂。假定 M 个产地的产量和 N 家工厂的需要量已知，单位产品从任一产地到任一工厂 的运费已知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？ 上述问题有两个共同的特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求 某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（optimization） 问题；二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构 称为网络（network）。与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 （netwok optimization）问题。所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。由于多 数网络优化问题是以网络上的流（flow）为研究的对象，因此网络优化又常常被称为网 络流（network flows）或网络流规划等。 下面首先简要介绍图与网络的一些基本概念。 §2 图与网络的基本概念 2.1 无向图 一个无向图(undirected graph)G 是由一个非空有限集合V (G) 和V (G) 中某些元素 的无序对集合 E(G) 构成的二元组，记为 G = (V (G),E(G)) 。其中 ( ) { , , , } 1 2 n V G = v v L v 称为图G 的顶点集（vertex set）或节点集（node set）， V(G) 中 的每一个元素 v (i 1,2, ,n) i = L 称为该图的一个顶点（vertex）或节点（node）； ( ) { , , , } 1 2 m E G = e e L e 称为图G 的边集（edge set），E(G) 中的每一个元素 k e (即V(G) 中某两个元素 i j v ,v 的无序对) 记为 ( , ) k i j e = v v 或 k i j j i e = v v = v v (k =1,2,L,m) ， 被称为该图的一条从 i v 到 j v 的边（edge）。 当边 k i j e = v v 时，称 i j v ,v 为边 k e 的端点，并称 j v 与 i v 相邻（adjacent）；边 k e 称 为与顶点 i j v ,v 关联（incident）。如果某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在 图G 中相邻。 边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络（undirected network）。我们对图和 网络不作严格区分，因为任何图总是可以赋权的
一个图称为有限图,如果它的顶点集和边集都有限。图G的顶点数用符号||或 vG)表示,边数用|E|或E(G)表示。 当讨论的图只有一个时,总是用G来表示这个图。从而在图论符号中我们常略去 字母G,例如,分别用V,E,v和E代替V(G),E(G),(G)和E(G)。 端点重合为一点的边称为环(op) 个图称为简单图( simple graph),如果它既没有环也没有两条边连接同一对顶点 22有向图 定义一个有向图( directed graph或 digraph)G是由一个非空有限集合和V中 某些元素的有序对集合A构成的二元组,记为G=(V,A)。其中V={v1,V2…,Vn}称 为图G的顶点集或节点集,V中的每一个元素v(=1,2,…,n)称为该图的一个顶点 或节点;A={a1,a2…:am}称为图G的弧集( arc set,A中的每一个元素ak(即中 某两个元素v,",的有序对)记为ak=(V,")或ak=V",(k=1,2;…,n),被称为该图 的一条从v到v,的弧(arc) 当弧ak=v,时,称V为a4的尾tai),v,为a的头(head),并称弧ak为v的 出弧( outgoing arc),为v,的入弧( Incoming arc) 对应于每个有向图D,可以在相同顶点集上作一个图G,使得对于D的每条弧, G有一条有相同端点的边与之相对应。这个图称为D的基础图。反之,给定任意图G, 对于它的每个边,给其端点指定一个顺序,从而确定一条弧,由此得到一个有向图 样的有向图称为G的一个定向图 以下若未指明“有向图”三字,“图”字皆指无向图。 23完全图、二分图 一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图( complete graph)。n个顶点 的完全图记为K。 若(G)=XUy,H∩Y=Φ,|X‖Y≠0(这里|X|表示集合X中的元素个 数),X中无相邻顶点对,Y中亦然,则称G为二分图( bipartite graph);特别地,若 x∈X,vy∈Y,则xy∈E(G),则称G为完全二分图,记成Kxp1 图 图H叫做图G的子图( subgraph),记作H∈G,如果(H)cV(G) E(H)cE(G)。若H是G的子图,则G称为H的母图 G的支撑子图( spanning subgraph,又成生成子图)是指满足(H)=F(G)的子 图H。 2.5顶点的度 设v∈(G),G中与v关联的边数(每个环算作两条边)称为v的度( degree),记 作d(v)。若d(v)是奇数,称v是奇顶点( odd point):d(v)是偶数,称v是偶顶点even oint)。关于顶点的度,我们有如下结果 (∑4(v)=26 (i)任意一个图的奇顶点的个数是偶数。 26图与网络的数据结构
-70- 一个图称为有限图，如果它的顶点集和边集都有限。图G 的顶点数用符号|V | 或 ν (G) 表示，边数用| E |或ε (G)表示。 当讨论的图只有一个时，总是用G 来表示这个图。从而在图论符号中我们常略去 字母G ，例如，分别用V,E,ν 和ε 代替V (G),E(G),ν (G) 和ε (G)。 端点重合为一点的边称为环(loop)。 一个图称为简单图(simple graph)，如果它既没有环也没有两条边连接同一对顶点。 2.2 有向图 定义 一个有向图（directed graph 或 digraph）G 是由一个非空有限集合V 和V 中 某些元素的有序对集合 A 构成的二元组，记为G = (V, A)。其中 { , , , } 1 2 n V = v v L v 称 为图G 的顶点集或节点集， V 中的每一个元素 v (i 1,2, ,n) i = L 称为该图的一个顶点 或节点； { , , , } A = a1 a2 L am 称为图G 的弧集（arc set），A 中的每一个元素ak (即V 中 某两个元素 i j v ,v 的有序对) 记为 ( , ) k i j a = v v 或a v v (k 1,2, ,n) k = i j = L ，被称为该图 的一条从 i v 到 j v 的弧（arc）。 当弧 k i j a = v v 时，称 i v 为ak 的尾（tail）， j v 为ak 的头（head），并称弧ak 为 i v 的 出弧（outgoing arc），为 j v 的入弧（incoming arc）。 对应于每个有向图 D ，可以在相同顶点集上作一个图G ，使得对于 D 的每条弧， G 有一条有相同端点的边与之相对应。这个图称为 D 的基础图。反之，给定任意图G ， 对于它的每个边，给其端点指定一个顺序，从而确定一条弧，由此得到一个有向图，这 样的有向图称为G 的一个定向图。 以下若未指明“有向图”三字，“图”字皆指无向图。 2.3 完全图、二分图 每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图(complete graph)。n 个顶点 的完全图记为 Kn 。 若V (G) = X UY ， X IY = Φ ，| X ||Y |≠ 0（这里| X |表示集合 X 中的元素个 数）， X 中无相邻顶点对，Y 中亦然，则称G 为二分图(bipartite graph)；特别地，若 ∀x ∈ X,∀y ∈Y ，则 xy ∈ E(G)，则称G 为完全二分图，记成 K|X |,|Y | 。 2.4 子图 图 H 叫做图 G 的子图（subgraph），记作 H ⊂ G ，如果 V (H ) ⊂V (G) ， E(H) ⊂ E(G) 。若 H 是G 的子图，则G 称为 H 的母图。 G 的支撑子图（spanning subgraph，又成生成子图）是指满足V(H) =V(G) 的子 图 H 。 2.5 顶点的度 设v ∈V (G) ，G 中与v 关联的边数（每个环算作两条边）称为v 的度(degree)，记 作d(v)。若d(v)是奇数，称v 是奇顶点(odd point)；d(v)是偶数，称v 是偶顶点(even point)。关于顶点的度，我们有如下结果： (i) ∑∈ = v V d(v) 2ε (ii) 任意一个图的奇顶点的个数是偶数。 2.6 图与网络的数据结构
网络优化研究的是网络上的各种优化模型与算法。为了在计算机上实现网络优化的 算法,首先我们必须有一种方法(即数据结构)在计算机上来描述图与网络。一般来说 算法的好坏与网络的具体表示方法,以及中间结果的操作方案是有关系的。这里我们介 绍计算机上用来描述图与网络的5种常用表示方法:邻接矩阵表示法、关联矩阵表示法 弧表表示法、邻接表表示法和星形表示法。在下面数据结构的讨论中,我们首先假设 G=(V,A)是一个简单有向图,Fn,A|=m,并假设V中的顶点用自然数1,2,…,n 表示或编号,A中的弧用自然数1,2……,m表示或编号。对于有多重边或无向网络的情 ,我们只是在讨论完简单有向图的表示方法之后,给出一些说明 (i)邻接矩阵表示法 邻接矩阵表示法是将图以邻接矩阵( adjacency matrix)的形式存储在计算机中。图 G=(V,A)的邻接矩阵是如下定义的:C是一个n×n的0-1矩阵,即 C=(cn)mxn∈{0, ∈A 0,(,)≠A 也就是说,如果两节点之间有一条弧,则邻接矩阵中对应的元素为1:否则为0。 可以看出,这种表示法非常简单、直接。但是,在邻接矩阵的所有n2个元素中,只有m 个为非零元。如果网络比较稀疏,这种表示法浪费大量的存储空间,从而增加了在网络 中查找弧的时间 图2有向图 例7对于图2所示的有向图,可以用邻接矩阵表示为 01100 01000 00101 同样,对于网络中的权,也可以用类似邻接矩阵的n×n矩阵表示。只是此时一条 弧所对应的元素不再是1,而是相应的权而己。如果网络中每条弧赋有多种权,则可以 用多个矩阵表示这些权。 (i)关联矩阵表示法 关联矩阵表示法是将图以关联矩阵( incidence matriⅸ)的形式存储在计算机中.图 G=(V,A)的关联矩阵B是如下定义的:B是一个n×m的矩阵,即 B=(bk)nxm∈{-10,1}
-71- 网络优化研究的是网络上的各种优化模型与算法。为了在计算机上实现网络优化的 算法，首先我们必须有一种方法（即数据结构）在计算机上来描述图与网络。一般来说， 算法的好坏与网络的具体表示方法，以及中间结果的操作方案是有关系的。这里我们介 绍计算机上用来描述图与网络的 5 种常用表示方法：邻接矩阵表示法、关联矩阵表示法、 弧表表示法、邻接表表示法和星形表示法。在下面数据结构的讨论中，我们首先假设 G = (V, A)是一个简单有向图，|V |= n,| A |= m ，并假设V 中的顶点用自然数1,2,L,n 表示或编号， A 中的弧用自然数1,2,L,m 表示或编号。对于有多重边或无向网络的情 况，我们只是在讨论完简单有向图的表示方法之后，给出一些说明。 （i）邻接矩阵表示法 邻接矩阵表示法是将图以邻接矩阵（adjacency matrix）的形式存储在计算机中。图 G = (V, A)的邻接矩阵是如下定义的：C 是一个n × n 的0 −1矩阵，即 n n ij n n C c × = ( ) × ∈{0,1} ， ⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = 0, ( , ) . 1, ( , ) , i j A i j A cij 也就是说，如果两节点之间有一条弧，则邻接矩阵中对应的元素为 1；否则为 0。 可以看出，这种表示法非常简单、直接。但是，在邻接矩阵的所有 2 n 个元素中，只有m 个为非零元。如果网络比较稀疏，这种表示法浪费大量的存储空间，从而增加了在网络 中查找弧的时间。 图 2 有向图 例 7 对于图 2 所示的有向图，可以用邻接矩阵表示为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 同样，对于网络中的权，也可以用类似邻接矩阵的n × n 矩阵表示。只是此时一条 弧所对应的元素不再是 1，而是相应的权而已。如果网络中每条弧赋有多种权，则可以 用多个矩阵表示这些权。 （ii）关联矩阵表示法 关联矩阵表示法是将图以关联矩阵（incidence matrix）的形式存储在计算机中．图 G = (V, A)的关联矩阵 B 是如下定义的： B 是一个n × m 的矩阵，即 n m B bik n m × = ( ) × ∈{−1,0,1}
1.∈V,k=(,j)∈A 1,习∈V,k=(j,i)∈A 0,其它 也就是说,在关联矩阵中,每行对应于图的一个节点,每列对应于图的一条弧。如 果一个节点是一条弧的起点,则关联矩阵中对应的元素为1;如果一个节点是一条弧的 终点,则关联矩阵中对应的元素为-1:如果一个节点与一条弧不关联,则关联矩阵中 对应的元素为0。对于简单图,关联矩阵每列只含有两个非零元(一个+1,一个-1) 可以看出,这种表示法也非常简单、直接。但是,在关联矩阵的所有nm个元素中,只 有2m个为非零元。如果网络比较稀疏,这种表示法也会浪费大量的存储空间。但由于 关联矩阵有许多特别重要的理论性质,因此它在网络优化中是非常重要的概念 例8对于例7所示的图,如果关联矩阵中每列对应弧的顺序为(1,2),(1,3),(2,4), (3,2),(4,3),(4,5),(5,3)和(5,4),则关联矩阵表示为 11000000 0000 0-101-10-10 00-10110-1 00000-111 同样,对于网络中的权,也可以通过对关联矩阵的扩展来表示。例如,如果网络中 每条弧有一个权,我们可以把关联矩阵增加一行,把每一条弧所对应的权存储在增加的 行中。如果网络中每条弧赋有多个权,我们可以把关联矩阵增加相应的行数,把每一条 弧所对应的权存储在增加的行中 (i)弧表表示法 弧表表示法将图以弧表( arc list)的形式存储在计算机中。所谓图的弧表,也就是 图的弧集合中的所有有序对。弧表表示法直接列出所有弧的起点和终点,共需2m个存 储单元,因此当网络比较稀疏时比较方便。此外,对于网络图中每条弧上的权,也要对 应地用额外的存储单元表示。例如,例7所示的图,假设弧(1,2),(1,3),(2,4),(3,2) (4,3),(4,5),(5,3)和(54)上的权分别为8,9,6,4,0,3,6和7,则弧表表示如表1 所示。 终点 为了便于检索,一般按照起点、终点的字典序顺序存储弧表,如上面的弧表就是按 照这样的顺序存储的 (iⅳ)邻接表表示法 邻接表表示法将图以邻接表( adjacency lists)的形式存储在计算机中。所谓图的 邻接表,也就是图的所有节点的邻接表的集合;而对每个节点,它的邻接表就是它的所 有出弧。邻接表表示法就是对图的每个节点,用一个单向链表列出从该节点出发的所有 弧,链表中每个单元对应于一条出弧。为了记录弧上的权,链表中每个单元除列出弧的 另一个端点外,还可以包含弧上的权等作为数据域。图的整个邻接表可以用一个指针数 组表示。例如,例7所示的图,邻接表表示为
-72- ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ∃ ∈ = ∈ ∃ ∈ = ∈ = 0, . 1, , ( , ) , 1, , ( , ) , 其它 j V k j i A j V k i j A bik 也就是说，在关联矩阵中，每行对应于图的一个节点，每列对应于图的一条弧。如 果一个节点是一条弧的起点，则关联矩阵中对应的元素为 1；如果一个节点是一条弧的 终点，则关联矩阵中对应的元素为 −1；如果一个节点与一条弧不关联，则关联矩阵中 对应的元素为 0。对于简单图，关联矩阵每列只含有两个非零元（一个 +1，一个 −1）。 可以看出，这种表示法也非常简单、直接。但是，在关联矩阵的所有nm 个元素中，只 有2m 个为非零元。如果网络比较稀疏，这种表示法也会浪费大量的存储空间。但由于 关联矩阵有许多特别重要的理论性质，因此它在网络优化中是非常重要的概念。 例 8 对于例 7 所示的图，如果关联矩阵中每列对应弧的顺序为(1,2)，(1,3)，(2,4)， (3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)，则关联矩阵表示为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 同样，对于网络中的权，也可以通过对关联矩阵的扩展来表示。例如，如果网络中 每条弧有一个权，我们可以把关联矩阵增加一行，把每一条弧所对应的权存储在增加的 行中。如果网络中每条弧赋有多个权，我们可以把关联矩阵增加相应的行数，把每一条 弧所对应的权存储在增加的行中。 （iii）弧表表示法 弧表表示法将图以弧表（arc list）的形式存储在计算机中。所谓图的弧表，也就是 图的弧集合中的所有有序对。弧表表示法直接列出所有弧的起点和终点，共需2m 个存 储单元，因此当网络比较稀疏时比较方便。此外，对于网络图中每条弧上的权，也要对 应地用额外的存储单元表示。例如，例 7 所示的图，假设弧(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)， (4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)上的权分别为 8，9，6，4，0，3，6 和 7，则弧表表示如表 1 所示。 表 1 起点 1 1 2 3 4 4 5 5 终点 2 3 4 2 3 5 3 4 权 8 9 6 4 0 3 6 7 为了便于检索，一般按照起点、终点的字典序顺序存储弧表，如上面的弧表就是按 照这样的顺序存储的。 （iv）邻接表表示法 邻接表表示法将图以邻接表（adjacency lists）的形式存储在计算机中。所谓图的 邻接表，也就是图的所有节点的邻接表的集合；而对每个节点，它的邻接表就是它的所 有出弧。邻接表表示法就是对图的每个节点，用一个单向链表列出从该节点出发的所有 弧，链表中每个单元对应于一条出弧。为了记录弧上的权，链表中每个单元除列出弧的 另一个端点外，还可以包含弧上的权等作为数据域。图的整个邻接表可以用一个指针数 组表示。例如，例 7 所示的图，邻接表表示为