《光学》第二讲 折射與司乃耳定律

幾何光學一光之折射 折射與司乃耳定律 折射現象 1光從一物質進人另一物質改變進行方向之現象稱光的折射。因為光自一物質進人他 物質時其速度改變故生折射。 2·實例∶銅幣在水中似乎浮趄·米尺在水中似乎彎曲 人射線 折射定律 1第一定律∶人射線丶折射線及界面的法線’均在同一平面上。 2第二定律:人射角的正弦和折射角的正弦比是一定值。 註∶有某些晶體’其人射線丶折射線和界面的法線,可能不在 折射線 同一平面上°(雙折射現象) SInl 3第二定律又稱為司乃耳定律(Snel'slaw)可寫成 SInI 人射角的正弦和折射闰的正弦比稱為折射率。 三、絕對折射率 光線由真空(大略言之由空氣)進人某種介質所生之折射率’稱為該介質的絕對折射 率。絕對折射率恒大於1,即n≥1 物質 絕對折射率 物質 絕對折射率 空氣1am、0c)10003 甘油 1.47 玻璃 15~19 酒精 1.36 鑽石 242 油酸 1.46 熔融的石英 146 水(20°C) 石英結晶 1.54 四、相對折射率 光線由第一種介質·進人第二種介質之折射率’稱為第二種介質對第一種介質之 sine 相對折射率。即n12=sm 五丶光路之可逆性 設η1與η21表示二種物質間第二介質相對第一介質之折射率’與第一介質對第」 介質之相對折射率。 則 6 n1= sin 6, 61

1 i r 幾何光學 ─ 光之折射 折射與司乃耳定律 一、折射現象： 1.光從一物質進入另一物質改變進行方向之現象稱光的折射。因為光自一物質進入他 物質時其速度改變故生折射。 2.實例：銅幣在水中似乎浮起，米尺在水中似乎彎曲。 入射線 法線 二、折射定律： 1.第一定律：入射線、折射線及界面的法線，均在同一平面上。 2.第二定律：入射角的正弦和折射角的正弦比是一定值。 註：有某些晶體，其入射線、折射線和界面的法線，可能不在 折射線 同一平面上。(雙折射現象) 3.第二定律又稱為司乃耳定律(Snell's law)可寫成 n r i = sin sin 入射角的正弦和折射角的正弦比稱為折射率。 三、絕對折射率： 光線由真空(大略言之由空氣)進入某種介質所生之折射率，稱為該介質的絕對折射 率。絕對折射率恒大於１，即 n≧１。 物 質 絕對折射率 物 質 絕對折射率 空氣(1atm、0 oC) 1.0003 甘 油 1.47 玻 璃 1.5~1.9 酒 精 1.36 鑽 石 2.42 油 酸 1.46 熔融的石英 1.46 水(20oC) 1.33 石英結晶 1.54 四、相對折射率： 光線由第一種介質，進入第二種介質之折射率，稱為第二種介質對第一種介質之 相對折射率。即 2 1 12   sin sin n = 五、光路之可逆性： 設 n12 與 n21 表示二種物質間第二介質相對第一介質之折射率，與第一介質對第二 介質之相對折射率。 則 2 1 12 sin sin   n = 1 2 21 sin sin   n = 故 21 12 1 n n =

六丶相對折射率與絕對折射率的關係 若nm為光由空氣進入介質m之折射率,θm為折射角,则 sin d a=nmin 6m k sin 0 a=nisin 01, sin 6 a=n2sin 0 2 nisin 01=nisin 0 2 而 61n2 即m12 62n1 七、多層平行界面之折射 n2 nisin 01= n2sin 6 2= n3sin 63= n4sin 04 八丶折射率與光速 1.如圖所示,兩平行光線中’A、B為兩對應點 當A已達第二介質時,B仍在第一介質中 B介質1 若Ⅵ及Ⅵ各表兩種介質中光的速度,則經t秒 後,A傳至C,B傳至D。若光在第二介質中 D介个質2 速度較慢’則AC較BD為短,但兩者所需時間 相等。故AC=vtBD=vt SIn r= 得 Sin I BD Vt v1 n, v2 n1 2光在兩種介質中’傳光較速的介質稱光疏介質’較慢者稱光密介質·光疏及光密與 物質之疏密無關 3光由光疏進人光密介質(Ⅵ>v)折射角小於人射角·折射線靠近法線,反之由光密 至光疏介質·折射魚大於人射角’折射線必遠離法線 4.折射率之大小,不但隨兩介質之不同而異,亦隨其光波波長之不同而異。波長較長 頻率較小之紅光對介質之折射率較小’故紅光在介質中之速率較紫光為大 折射率也常影響介質表面反射之光量大小,設介質表面之反射像數為R則 註∶(a)若第一介質為真空’而第二介質為某介質時’則η為某介質相對於真空的折射 率,亦即某介質的絕對折射率n,故n=n12,而在真空中光速最大,常以C表 之,故一介質的絕對折射率 n=C(真空中的光速)(介質中的光速) (b)按(a)之定義’真空的絕對折射率為1;空氣的絕對折射率在一大氣壓及室溫情 形下約為1.0003·幾近於1;故在一般光學計算中即可將在空氣中行進的光速, 看成為光在真空中行進的光速

2 六、相對折射率與絕對折射率的關係： 若 nm 為光由空氣進入介質 m 之折射率，θm 為折射角，則 sinθa＝nmsinθm 因 sinθa＝n1sinθ1 ； sinθa＝n2sinθ2 ∴n1sinθ1＝n2sinθ2 而 1 2 2 1 12 sin sin n n n = =   ；即 1 2 12 n n n = 七、多層平行界面之折射： n1 n2 n3 n1sinθ1= n2sinθ2= n3sinθ3= n4sinθ4 n4 八、折射率與光速： 1.如圖所示，兩平行光線中，A、B 為兩對應點 ，當 A 已達第二介質時，B 仍在第一介質中。 i B 介質 1 若 v1 及 v2 各表兩種介質中光的速度，則經 t 秒 n1 後，A 傳至 C，B 傳至 D。若光在第二介質中 n2 A D 介質 2 速度較慢，則 AC 較 BD 為短，但兩者所需時間 r C 相等。故 AC＝v2t BD＝v1t 而 AD AC r AD BD sin i = sin = 得 12 1 2 2 1 2 1 sin sin n n n v v v t v t AC BD r i = = = = = 2.光在兩種介質中，傳光較速的介質稱光疏介質，較慢者稱光密介質，光疏及光密與 物質之疏密無關。 3.光由光疏進入光密介質(v1＞v2)折射角小於入射角，折射線靠近法線，反之由光密 至光疏介質，折射角大於入射角，折射線必遠離法線。 4.折射率之大小，不但隨兩介質之不同而異，亦隨其光波波長之不同而異。波長較長 頻率較小之紅光對介質之折射率較小，故紅光在介質中之速率較紫光為大。 折射率也常影響介質表面反射之光量大小，設介質表面之反射係數為Ｒ則 註：(a)若第一介質為真空，而第二介質為某介質時，則 n12 為某介質相對於真空的折射 率，亦即某介質的絕對折射率 n，故 n＝n12，而在真空中光速最大，常以 C 表 之，故一介質的絕對折射率 n=C(真空中的光速)/v(介質中的光速) (b)按(a)之定義，真空的絕對折射率為 1；空氣的絕對折射率在一大氣壓及室溫情 形下約為 1.0003，幾近於 1；故在一般光學計算中即可將在空氣中行進的光速， 看成為光在真空中行進的光速

全反射 全反射 光自光密介質(n2)進人光疏介質(n1)畤’折射線n1 偏離法線’即θ2>θ1,如圖故當人射角增加 到某一角度時(θc),折射角為90°,人射角再 增加’光線不再折射而全部反射 法線 臨界角 n2 折射線 光自光密介質進人光疏介質時’當折射角為90時 n1 之人射角稱為臨界角,如圖之θc。 ed 由公式 nisin e1= nisin e2 人射線 反射線 nsin6c=n2sn90° 0=sin n2 = SIn n H1 全反射之條件 1.光由光密介質進入光疏介質。 2.人射角大於臨界角。 四、討論: 1.通常說明某介質的臨界角’指對真空而言。因已之物質的臨界角以鑽石為最小 最易於全反射,故成燦爛發光。 2折射率為n的介質臨界角為6c=sm1 3.事實上,當光自一介質射至另一個介質時,有一部份透過,有一部份光反射,這兩 部份光的強度則和介質性質及入射角大小都有關像·所以全反射現象並不是突然發 生的·在玻璃對空氣的界面’當人射闰增大時·反射光的強度増加·而折射光的強 度減少’在人射角超過臨界角後’所有的人射光線全部反射而回,不生折射。 4.「光纖管」為全反射現象的一個極重要的應用,係一透明細絲管其與外圍界質的相 對折射率大於1·光從一端射人,在管的內面經連續多幾乎不損其強度的全反射 由管的他端射岀如醫學診斷的各種內視鏡及光纖通訊等 5.海市蜃樓( Mirage)的原因 (1)海邊奇景(正立虛像於空中) 因海水比熱很大’日間受太陽照射,溫度不易改變,致使愈近海面的空氣溫度愈 低·密度愈大’折射率愈大,故下層空氟為光密介質而上層空氣為光疏介質,使 得遠方低處射來的光線經層層空氟的連續折射’一在地由光密介質進人光疏介質 而偏離法線’至人射角大於臨界魚後終於產生全反射而向下彎曲 (2沙漠幻影(倒立虛像於原物下方) 沙漠地帶’因沙之比熱小·日間受太陽照射溫度易升高’致使地面附近之空氣溫 度較上空高·密度丶折射率遂較高玍小’故當遠方高處之物體射出之光線接近地 面時(相當於由光密介質射向光疏介質)·其行經路徑類似(1)之原理·經多次折射 及一次全反射之作用而向上彎曲

3 θ2 θ1 全反射 一、全反射： n2 光自光密介質(n2)進入光疏介質(n1)時，折射線 n1 偏離法線，即θ2＞θ1，如圖。故當入射角增加 到某一角度時(θC)，折射角為 90o ，入射角再 增加，光線不再折射而全部反射。 法線 二、臨界角： n2 折射線 光自光密介質進入光疏介質時，當折射角為 90o 時 n1 之入射角稱為臨界角，如圖之θC。 θC 由公式 n1sinθ1＝n2sinθ2 入射線 反射線 n1sinθC＝n2sin90o ∴ 12 1 1 1 2 sin sin n n n c − −  = = 三、全反射之條件： 1.光由光密介質進入光疏介質。 2.入射角大於臨界角。 四、討論： 1.通常說明某介質的臨界角，係指對真空而言。因已之物質的臨界角以鑽石為最小， 最易於全反射，故成燦爛發光。 2.折射率為 n 的介質臨界角為 θC＝sin -1 n 1 3.事實上，當光自一介質射至另一個介質時，有一部份透過，有一部份光反射，這兩 部份光的強度則和介質性質及入射角大小都有關係，所以全反射現象並不是突然發 生的，在玻璃對空氣的界面，當入射角增大時，反射光的強度增加，而折射光的強 度減少，在入射角超過臨界角後，所有的入射光線全部反射而回，不生折射。 4.「光纖管」為全反射現象的一個極重要的應用，係一透明細絲管，其與外圍界質的相 對折射率大於 1，光從一端射入，在管的內面經連續多次幾乎不損其強度的全反射， 由管的他端射出。如醫學診斷的各種內視鏡及光纖通訊等。 5.海市蜃樓(Mirage)的原因： (1)海邊奇景(正立虛像於空中)： 因海水比熱很大，日間受太陽照射，溫度不易改變，致使愈近海面的空氣溫度愈 低，密度愈大，折射率愈大，故下層空氣為光密介質而上層空氣為光疏介質，使 得遠方低處射來的光線經層層空氣的連續折射，一在地由光密介質進入光疏介質 而偏離法線，至入射角大於臨界角後終於產生全反射而向下彎曲。 (2)沙漠幻影(倒立虛像於原物下方)： 沙漠地帶，因沙之比熱小，日間受太陽照射溫度易升高，致使地面附近之空氣溫 度較上空高，密度、折射率遂較高空小，故當遠方高處之物體射出之光線接近地 面時(相當於由光密介質射向光疏介質)，其行經路徑類似 (1)之原理，經多次折射 及一次全反射之作用而向上彎曲

兩介質的平界面之折射成像 物體由第一介質中發出光經平界面產生折射現象 n2 而由第二介質中觀察第一介質之位置已經改變。 n1 所見者為虛像,如圖。A物成虛像於B·AO為 B 實深(p·物距),BO為視深(q’像距)。當:θ1 與θ2很小時,則 snb_OC/ACBC、BO_q n1 sin 82 OC /BC AC A0 p 即q(硯深)=-p(實深川12(光線由介質1進入介質2,觀測者在介質2。 1.若由光疏介質中觀看光密介質中景物時n1<1,像之視深較淺,q<p。 2若由光密介質中觀看光疏介質中景物時η12>1·像之視深較滐·q> 三、若有m層折射率不同之介質,其厚度分別為d1丶d2…dm而對應介質折射率為n1 n2…nm°則最底層物體之視深D為∶(觀測者所在介質之折射率為nx) D=dinx +d2n2x +.+dmnmx=edin 四丶由光疏介質看光密介質之光點’愈離法線方向觀察視深愈淺。 五丶視深隨光之顏色不同而變因各色光之折射率不同,紅光最小紫光最大,故在光疏 介質中觀測光密介質之視深’紫光最小’紅光最大’即紫光浮升較高·紅光浮升較 低 光經過平行板的折射 平行玻璃板的偏向位移 厚為d的平行透光板·光線自一面斜射而人,而由他面射出(如圖)·經兩折射,射 出光線與射入光線平行,但側移一距離D D=ABsin( 0i-Br) sin bicos br-cos eisin er cos Br 設n為透明板之折射率, 由 sin e i/sin er=n,故 cose D=dsin 0i(1 B

4 θi A B θ2 θ1 θr D 兩介質的平界面之折射成像 一、物體由第一介質中發出光經平界面產生折射現象 n2 O 而由第二介質中觀察第一介質之位置已經改變。 n1 C 所見者為虛像，如圖。A 物成虛像於 B，AO 為 B 實深(p，物距)，BO 為視深(q，像距)。當：θ1 與θ2 很小時，則 A p q AO BO AC BC OC BC OC AC n = = =  = / / sin sin 2 1 12   即 12 q(視深) = −p(實深)n (光線由介質 1 進入介質 2，觀測者在介質 2。) 二、1.若由光疏介質中觀看光密介質中景物時 n12<1，像之視深較淺，q<p。 2.若由光密介質中觀看光疏介質中景物時 n12>1，像之視深較深，q>p。 三、若有 m 層折射率不同之介質，其厚度分別為 d1、d2…dm 而對應介質折射率為 n1、 n2…nm。則最底層物體之視深 D 為：(觀測者所在介質之折射率為 nx) D = d n x + d n x + + dmnmx = dinix ... 1 1 2 2 四、由光疏介質看光密介質之光點，愈離法線方向觀察視深愈淺。 五、視深隨光之顏色不同而變，因各色光之折射率不同，紅光最小紫光最大，故在光疏 介質中觀測光密介質之視深，紫光最小，紅光最大，即紫光浮升較高，紅光浮升較 低。 光經過平行板的折射 平行玻璃板的偏向位移： 厚為 d 的平行透光板，光線自一面斜射而入，而由他面射出(如圖)，經兩次折射，射 出光線與射入光線平行，但側移一距離 D。 r i r i r i r d D AB        cos sin cos cos sin sin( ) − = = − 設 n 為透明板之折射率， 由 sinθi/sinθr＝n，故 n d ) sin cos sin (1 2 2 i i i n D d    − = −

三棱鏡的折射及偏向角 三稜鏡之折射 1.三稜鏡是改變光的進行方向之儀器。 2偏向角∶人射光線與出射光線之夾角稱為偏向角以δ表之。由圖可知氵 ∠2=r-B a+B=180°-∠3=∠A 故:d=∠1+∠2=i+r-(a+B) (A為頂角) F 最小偏向角 1最小偏向闰∶由理論或實驗可證明左右對稱的情況下·偏向角為最小即 i=r,a=B時δm為最小 2偏向角之大小隨頂角’人射於第一面光線的方向,及稜鏡的折射率而定折射率隨 不同顏色的光而有不同的數值 色散現象 色散 1.平行之日光光束·經三稜鏡折射後’因對玻璃折射率不同而分散成紅丶橙丶黃丶綠 藍丶紫等六色光譜的現象稱光之色散。由上薤討論偏向角δ之大小與折射率有關 紅光經稜鏡’偏向最小其折射率亦小’紫光最大,折射率亦大 2.如玻璃的折射率n為光波長λ的函數,且有如下關像 n(紫光)>n(藍色)>…>n(黃色)>n(紅色) 則偏向角δ的關為:δ(紫)>δ(藍)>…>δ(黃)>δ(紅) 白光 紅橙黃綠藍靛紫 A

5 2 β α r 紅 橙 黃 綠 藍 靛 紫 3 三稜鏡的折射及偏向角 一、三稜鏡之折射： 1.三稜鏡是改變光的進行方向之儀器。 2.偏向角：入射光線與出射光線之夾角稱為偏向角以δ表之。由圖可知： ∠1＝ｉ－α，∠2＝ｒ－β α＋β＝180o－∠3＝∠A 故： δ＝∠1＋∠2＝ｉ＋ｒ－(α＋β) ＝ｉ＋ｒ－A (A 為頂角) A E D 1 i F F B C 二、最小偏向角： 1.最小偏向角：由理論或實驗可證明左右對稱的情況下，偏向角為最小，即 ｉ＝ｒ，α＝β時δm 為最小。 2.偏向角之大小隨頂角，入射於第一面光線的方向，及稜鏡的折射率而定。折射率隨 不同顏色的光而有不同的數值。 色散現象 一、色散： 1.平行之日光光束，經三稜鏡折射後，因對玻璃折射率不同而分散成紅、橙、黃、綠、 藍、紫等六色光譜的現象稱光之色散。由上述討論偏向角δ之大小與折射率有關， 紅光經稜鏡，偏向最小其折射率亦小，紫光最大，折射率亦大。 2.如玻璃的折射率 n 為光波長λ的函數，且有如下關係 n(紫光)＞n(藍色)＞…＞n(黃色)＞n(紅色) 則偏向角δ的關係為： δ(紫)＞δ(藍)＞…＞δ(黃)＞δ(紅) B δ 白光 n A C