1.3数列与极限初步PU5.换底公式：logab=log.b这些都是可以按定义验证的，只需要稍微用一下指数的性质：命题1.16（指数的性质）福设a>0,m,neRa,则:1. (am)n=amn;2.am.an=am+n“注意，这里比起一开始我介绍的有理数幂，扩展到了实数幂，因此它的作用更加广泛这个命题的证明不作要求，在学习了选修的知识后你可以自行证明，你可以默认它是对的，然后用它来证明刚才的命题于是利用对数的性质，我们可以给出loggan的表达式，见上面.当然，你也可以通过指数映射，把一个等差数列映到等比数列去.这些都是我们之后要讨论的，这里不宜过多讨论最后我们介绍一类由等差数列和等比数列衍生出来的数列设【an】为等差数列，[bn】为等比数列.我们定义Cnanbn，也就是说，[cn】是一个等差数列乘等比数列得到的.它的通项可以写为：Cn = anbn =(a1 + (n - 1)d)biqn-1我们关心它的前n项和的求法.这里仍然可以利用错位相减法Sn = Ci + C2 +.++Cn=aibi+a2b2+..+anbn我们两边乘以9，得到qSn=aibig+a2b2q+..+anbng=aib2+azb3+..+anbn+1作差,得到(1 - q)Sn = a1bi + (a2 - ai)b2 +(a3 - a2)b3 +..·+ (an - an-1)bn - anbn+1a1bi+db2+db3+...+dbn-anbn+1.中间那部分明显是个等比数列求和.我们之前对于等比数列求和时运用的错位相减法中，d=0，因此中间那里直接没了.你可以将之前的结论视为本结论的特殊情况.于是有n-1-1(1 - q)Sn = aibi + db1q(a1 + (n - 1)d)b1g",q-1-11-qn-qnaibi+db1qSn=- (a1 + (n-1)d)b1(1-9)21-q我们没有必要再做进一步的整理，这个结论不需要记忆，你只需要掌握我们如何推导的即可注在之前你可能觉得裂项法的确不错，但也没简便到哪去.但是在这里，我觉得，裂项法简直是妖孽一般的存在，我展示给你看：我们猜测bn仍然长成一个等差乘等比的样子（此bn非彼bn，这里的bn是我们之前在等差数列那32
1.3 数列与极限初步 ♠ 5. 换底公式：loga b = logc a logc b . 这些都是可以按定义验证的, 只需要稍微用一下指数的性质： 命题 1.16 (指数的性质) ♠ 设 a > 0, m, n ∈ R a , 则: 1. (a m) n = a mn; 2. a m · a n = a m+n . a注意, 这里比起一开始我介绍的有理数幂, 扩展到了实数幂, 因此它的作用更加广泛 这个命题的证明不作要求, 在学习了选修的知识后你可以自行证明. 你可以默认它是对的, 然后用 它来证明刚才的命题. 于是利用对数的性质, 我们可以给出 logq an 的表达式, 见上面. 当然, 你也可以通过指数映射, 把一个等差数列映到等比数列去. 这些都是我们之后要讨论的, 这里 不宜过多讨论. 最后我们介绍一类由等差数列和等比数列衍生出来的数列. 设 {an} 为等差数列, {bn} 为等比数列. 我们定义 cn = anbn, 也就是说, {cn} 是一个等差数列乘等 比数列得到的. 它的通项可以写为： cn = anbn = (a1 + (n − 1)d)b1q n−1 . 我们关心它的前 n 项和的求法. 这里仍然可以利用错位相减法. Sn = c1 + c2 + · · · + cn = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn, 我们两边乘以 q, 得到 qSn = a1b1q + a2b2q + · · · + anbnq = a1b2 + a2b3 + · · · + anbn+1. 作差, 得到 (1 − q)Sn = a1b1 + (a2 − a1)b2 + (a3 − a2)b3 + · · · + (an − an−1)bn − anbn+1 = a1b1 + db2 + db3 + · · · + dbn − anbn+1. 中间那部分明显是个等比数列求和. 我们之前对于等比数列求和时运用的错位相减法中, d = 0, 因此中 间那里直接没了. 你可以将之前的结论视为本结论的特殊情况. 于是有 (1 − q)Sn = a1b1 + db1q q n−1 − 1 q − 1 − (a1 + (n − 1)d)b1q n , Sn = a1b1 1 − q + db1q 1 − q n−1 (1 − q) 2 − (a1 + (n − 1)d)b1 q n 1 − q . 我们没有必要再做进一步的整理. 这个结论不需要记忆, 你只需要掌握我们如何推导的即可. 注 在之前你可能觉得裂项法的确不错, 但也没简便到哪去. 但是在这里, 我觉得, 裂项法简直是妖孽一 般的存在, 我展示给你看： 我们猜测 bn 仍然长成一个等差乘等比的样子 (此 bn 非彼 bn, 这里的 bn 是我们之前在等差数列那 32
1.3数列与极限初步里介绍裂项法时提到的bn，不是刚才的等比数列的bn）.不妨猜测bn=(kn十t)b1gn-1，于是Cn = bn+1 - bn = (k(n + 1) + t)biq"- (kn + t)bign-)= biqn-[g(k(n + 1) +t) - (kn +t))=biqn-1[k(q- 1)n +qk + qt -t],然后对比系数得到：[k(q - 1) = d,qk +qt- t = ai- d(q-1)a1-(2q-1)d,t=(从而k=(q-1)2于是Sn = bn+i-bi = (kn + k +t)biqn -(k+t)bidn + (9- 1)a1 - qd)gn _ (q - 1)a1 - qd,(q-1)2(q -1)2咱就不继续化简了，反正是这个意思.你看着最后长得比较复杂，其实计算量比上面小多了，ALCAFE啡1.3.3数列的性质这一小节主要讨论数列的相关性质.放轻松这小节是轻松愉悦的THEMA1.3.3.1有界性首先你得理解什么叫有界.有界，就是有边界，有范围向上，有上界；向下，有下界定义1.33（数列的有界性）设有数列【anl，若存在实数M,使得VneN+, an≤M,则称[an上有界(Upperbounded),M为an)的上界(Upperbound)。类似地，若存在实数m,使得VneN+, an ≥m,则称[an]下有界(Lowerbounded),m为[an)的下界(Lower bound)若(an]上下均有界,则称[an]有界(Bounded),反之称[an)无界(Unbounded)有一说一，在说数列的有界性之前，我应该先介绍集合的有界性，但这个概念我干脆丢到第六章第一节去了，和序关系一块讲，不过我现在这么定义也不影响大家理解，举几个例子大家就会很明白了例题1.91.常数列c,c,··，C,·有界，不大于c的数均为下界，不小于c的数均为上界2.自然数列1,2，..·，n，·.下有界，不大于1的数均为它的下界.但它上无界，因为你可以预见它跑到无穷去了。3.等比数列1,1,1,···，（-1)n-1,.··有界，不大于-1的数均为它下界，不小于1的数均为它上界33
1.3 数列与极限初步 里介绍裂项法时提到的 bn, 不是刚才的等比数列的 bn). 不妨猜测 bn = (kn + t)b1q n−1 , 于是 cn = bn+1 − bn = (k(n + 1) + t)b1q n − (kn + t)b1q n−1 = b1q n−1 [q(k(n + 1) + t) − (kn + t)] = b1q n−1 [k(q − 1)n + qk + qt − t]. 然后对比系数得到： k(q − 1) = d, qk + qt − t = a1 − d . 从而 k = d q−1 , t = (q−1)a1−(2q−1)d (q−1)2 . 于是 Sn = bn+1 − b1 = (kn + k + t)b1q n − (k + t)b1 = d q − 1 n + (q − 1)a1 − qd (q − 1)2 b1q n − (q − 1)a1 − qd (q − 1)2 b1. 咱就不继续化简了, 反正是这个意思. 你看着最后长得比较复杂, 其实计算量比上面小多了. 1.3.3 数列的性质 这一小节主要讨论数列的相关性质. 放轻松, 这小节是轻松愉悦的. 1.3.3.1 有界性 首先你得理解什么叫有界. 有界, 就是有边界, 有范围. 向上, 有上界; 向下, 有下界. 定义 1.33 (数列的有界性) ♣ 设有数列 {an}, 若存在实数 M, 使得 ∀ n ∈ N+, an ≤ M, 则称 {an} 上有界 (Upper bounded), M 为 {an} 的上界 (Upper bound). 类似地, 若存在实数 m, 使 得 ∀ n ∈ N+, an ≥ m, 则称 {an} 下有界 (Lower bounded), m 为 {an} 的下界 (Lower bound). 若 {an} 上下均有界, 则称 {an} 有界 (Bounded), 反之称 {an} 无界 (Unbounded). 有一说一, 在说数列的有界性之前, 我应该先介绍集合的有界性, 但这个概念我干脆丢到第六章第 一节去了, 和序关系一块讲. 不过我现在这么定义也不影响大家理解, 举几个例子大家就会很明白了. 例题 1.9 1. 常数列 c, c, · · · , c, · · · 有界, 不大于 c 的数均为下界, 不小于 c 的数均为上界. 2. 自然数列 1, 2, · · · , n, · · · 下有界, 不大于 1 的数均为它的下界. 但它上无界, 因为你可以预见它跑 到无穷去了. 3. 等比数列 1, −1, 1, · · · ,(−1)n−1 , · · · 有界, 不大于 −1 的数均为它下界, 不小于 1 的数均为它上界. 33
1.3数列与极限初步事实上关于有界这件事有很多都可以讲，但不是现在.定义本身也挺简单的，无需多提.不过你可以注意一下：命题1.17若M为数列[an]的上界,则任何比M 大的数均为[an]上界;若m为数列[an]的下界,则任何比m小的数均为【an]下界建议你自行验证.这件事情告诉我们，上界和下界如果存在，则并不唯一1.3.3.2单调性什么是单调呢？说到单调，你可能想到一个词叫“一成不变”，不错，单调反映的的确是一成不变，不过说的不是值一直不变，而是值的变化一成不变.增，就一直增下去，减，就一直减下去，定义1.34（数列的单调性）设有数列[an],如果它满足：(1.39)VnEN+,an≤an+1我们就说an是单调增加的(Increasing),简称单调增，如果上述不等式中不等号是严格的，即an<an+1，那么我们说[an)是严格单调增的(Strictly increasing)类似的，如果[an满足：VnEN+,an≥an+1,(1.40)我们就说{anl是单调减小的(Decreasing)，简称单调减，如果上述不等式中不等号是严格的，即an>an+1，那么我们说[an)是严格单调减的(Strictlydecreasing)如果[an]是单调增或是单调减的，我们就说[an)是单调的(Monotonic),如果[an)是严格单调增或是严格单调减的，那就说(an）是严格单调的(Strictlymonotonic).福这当然也是一个很简单的概念，拿来形容数列的值是怎么变化的。单调增，就是说数列的值越来越大；单调减，就是说数列的值越来越小举个例子：例题1.101.常数列c,c,··，C·是单调的，它单调增，也单调减，但不严格单调；2．自然数列1,2,.…·，n，·是单调增的，也是严格单调增的；3.等比数列1,-1,1,…，（-1)n-1，．…不是单调的.单调本身没啥。真正的用途要到后面才看得出来.你可以思考两个小结论，权且当练习了，但我不要求你做，毕竞这没啥难度：命题1.18若d>0.则等差数列an=a1十(n-1)d单调增：若d<0.则等差数列(a,1单调减命题1.19单调增的数列必有下界，单调减的数列必有上界34
1.3 数列与极限初步 事实上关于有界这件事有很多都可以讲, 但不是现在. 定义本身也挺简单的, 无需多提. 不过你可以 注意一下： 命题 1.17 ♠ 若 M 为数列 {an} 的上界, 则任何比 M 大的数均为 {an} 上界; 若 m 为数列 {an} 的下界, 则任何 比 m 小的数均为 {an} 下界. 建议你自行验证. 这件事情告诉我们, 上界和下界如果存在, 则并不唯一. 1.3.3.2 单调性 什么是单调呢? 说到单调, 你可能想到一个词叫 “一成不变”, 不错, 单调反映的的确是一成不变, 不 过说的不是值一直不变, 而是值的变化一成不变. 增, 就一直增下去, 减, 就一直减下去. 定义 1.34 (数列的单调性) ♣ 设有数列 {an}, 如果它满足： ∀ n ∈ N+, an ≤ an+1, (1.39) 我们就说 {an} 是单调增加的 (Increasing), 简称单调增, 如果上述不等式中不等号是严格的, 即 an < an+1, 那么我们说 {an} 是严格单调增的 (Strictly increasing). 类似的, 如果 {an} 满足： ∀ n ∈ N+, an ≥ an+1, (1.40) 我们就说 {an} 是单调减小的 (Decreasing), 简称单调减, 如果上述不等式中不等号是严格的, 即 an > an+1, 那么我们说 {an} 是严格单调减的 (Strictly decreasing). 如果 {an} 是单调增或是单调减的, 我们就说 {an} 是单调的 (Monotonic), 如果 {an} 是严格单调 增或是严格单调减的, 那就说 {an} 是严格单调的 (Strictly monotonic). 这当然也是一个很简单的概念, 拿来形容数列的值是怎么变化的. 单调增, 就是说数列的值越来越 大; 单调减, 就是说数列的值越来越小. 举个例子： 例题 1.10 1. 常数列 c, c, · · · , c, · · · 是单调的, 它单调增, 也单调减, 但不严格单调; 2. 自然数列 1, 2, · · · , n, · · · 是单调增的, 也是严格单调增的; 3. 等比数列 1, −1, 1, · · · ,(−1)n−1 , · · · 不是单调的. 单调本身没啥. 真正的用途要到后面才看得出来. 你可以思考两个小结论, 权且当练习了, 但我不要 求你做, 毕竟这没啥难度： 命题 1.18 ♠ 若 d > 0, 则等差数列 an = a1 + (n − 1)d 单调增; 若 d < 0, 则等差数列 {an} 单调减. 命题 1.19 ♠ 单调增的数列必有下界, 单调减的数列必有上界. 34
1.3数列与极限初步1.3.3.3周期性周期也很顾名思义，指的是数列的项按周期性规律变化定义1.35（数列的周期性）设有数列[anl,如果存在正整数T,使得(1.41)VnEN+,an+T=an,我们就称[an)为周期数列(Periodicsequence),T称为数列的周期(Period).显然，若T是数列的周期，那么nT，nEN+均为数列的周期，因此周期不是唯一的.我们称这样的最小的T为最小正周期（Fundamentalperiod)以后我们说数列的周期，若不加说明，一般指其最小正周期这么个定义就已经把事情说得很清楚了.也没啥要特别解释的.举几个例子吧例题1.111.常数列c,c,,c,是周期数列，最小正周期为1;2自然数列1,2，·，n，不是周期数列；3.等比数列1,-1,1,**，（-1)n-1,·*·是周期数列，最小正周期是2.CAR周期性并不深刻.我给一个小结论供你思考思考命题1.20周期数列必然有界.单调的周期数列必为常数列。好啦，数列的性质到这里就差不多了，这些性质在后面会马上用到，但在此之前我们先介绍一下递推数列.UTABA1.3.4递推数列啥叫递推数列呢?所谓递推数列，指的是利用递推关系(Recursionrelation）与给定的数列若干项来得出数列的通项公式.这一小节主要是向你介绍几种常见的递推公式与它们的通项公式的推导方式1.3.4.1一阶常系数线性递推数列所谓一阶常系数线性递推数列（Linearrecurrencewithconstantcoeficients），指的是满足如下形式的递推数列：(1.42)an+1 = can+d, c,deR, nEN+,且a1给定.如果an+1前面有系数，你可以在两边除以这个系数，从而得到刚才的式子.一阶指的是这个递推式仅涉及某一项与它的前一项，常系数指各个系数均为常数，线性指次数为1.我们也说过，我们要推导一个陌生的东西，往往会选择将其转化为我们已知的，我们现在已知等差数列和等比数列，因此我们想着去把这个递推公式转换成等差数列或者等比数列两种都是可行的，我们依次介绍：1.转化为等差数列假如c=1,那么an+1=an+d,这就显然是一个等差数列，我们熟知它的通项公式但一般来讲C≠1，因此我们需要作适当的变换来构造等差数列的结构35
1.3 数列与极限初步 1.3.3.3 周期性 周期也很顾名思义, 指的是数列的项按周期性规律变化. 定义 1.35 (数列的周期性) ♣ 设有数列 {an}, 如果存在正整数 T, 使得： ∀ n ∈ N+, an+T = an, (1.41) 我们就称 {an} 为周期数列 (Periodic sequence), T 称为数列的周期 (Period). 显然, 若 T 是数列的 周期, 那么 nT, n ∈ N+ 均为数列的周期, 因此周期不是唯一的. 我们称这样的最小的 T 为最小正 周期 (Fundamental period). 以后我们说数列的周期, 若不加说明, 一般指其最小正周期. 这么个定义就已经把事情说得很清楚了. 也没啥要特别解释的. 举几个例子吧. 例题 1.11 1. 常数列 c, c, · · · , c, · · · 是周期数列, 最小正周期为 1; 2. 自然数列 1, 2, · · · , n, · · · 不是周期数列; 3. 等比数列 1, −1, 1, · · · ,(−1)n−1 , · · · 是周期数列, 最小正周期是 2. 周期性并不深刻. 我给一个小结论供你思考思考： 命题 1.20 ♠ 周期数列必然有界. 单调的周期数列必为常数列. 好啦, 数列的性质到这里就差不多了. 这些性质在后面会马上用到, 但在此之前我们先介绍一下递 推数列. 1.3.4 递推数列 啥叫递推数列呢? 所谓递推数列, 指的是利用递推关系 (Recursion relation) 与给定的数列若干项来 得出数列的通项公式. 这一小节主要是向你介绍几种常见的递推公式与它们的通项公式的推导方式. 1.3.4.1 一阶常系数线性递推数列 所谓一阶常系数线性递推数列 (Linear recurrence with constant coefficients), 指的是满足如下形式 的递推数列： an+1 = can + d, c, d ∈ R, n ∈ N+, (1.42) 且 a1 给定. 如果 an+1 前面有系数, 你可以在两边除以这个系数, 从而得到刚才的式子. 一阶指的是这个 递推式仅涉及某一项与它的前一项, 常系数指各个系数均为常数, 线性指次数为 1. 我们也说过, 我们要推导一个陌生的东西, 往往会选择将其转化为我们已知的. 我们现在已知等差 数列和等比数列, 因此我们想着去把这个递推公式转换成等差数列或者等比数列. 两种都是可行的, 我 们依次介绍： 1. 转化为等差数列 假如 c = 1, 那么 an+1 = an + d, 这就显然是一个等差数列, 我们熟知它的通项公式. 但一般来讲 c 6= 1, 因此我们需要作适当的变换来构造等差数列的结构. 35
1.3数列与极限初步我们将两边除以cn+1,得到：Aan+1—an(1.43)cn+icntion如果我们重新令一个数列，令bn=，代人上式得到：d(1.44)bn+1 = bn +cn+1这个就长得比较好，毕竞系数都是1了，不过常数项此时是个变动的，无妨，你且看我操作：dbn+1 = bn +cn+1dbn =bn-1+cndb2 = b1 +2我们把这些式子全部加起来，得到：dddbn+1 +bn +..+b2= bn + bn-1+..+b+en+i2on两边可以消去bn+·…·+b2，后面跟了个等比数列求和，整理一下有-1bn+1 = b1即dr-cnan+1aycn+1c2 cn-1(1 - c)d(1 - cn-1)an=aic1-c这就给出了c≠1的情况下，一阶常系数线性递推数列的通项公式，2.转化为等比数列假如d=0,那么an+1=can，这就显然是一个等比数列，我们熟知它的通项公式。但一般来讲d≠0,因此我们需要作适当地变换来构造等比数列的结构，如果你把an看作自变量，an+1看作因变量，那么这就是你在初中学过的一次函数，它是一条不过原点的直线.而我们期待的等比数列的递推式是一条过原点的直线.因此我们可以选择适当的平移，将已有的式子变为目标的式子设bn=an-入,则bn+1+)= c(bn +^)+ d.我们期待做了一次代换之后，能把常数项消去，这样的入应该满足：1=c>+d.这个方程我们称为一阶常系数线性递推数列的特征方程，入称为特征根，这种方法又叫特征根法，在之后我们仍会用到，于是解出入==c，而bn+1=cbn直接推出bn=cn-1b1，我们把关系代人得到：dd= cn-1(a1 -an-1-c1d(1 -cn-1an =aicn-1 +1-c36
1.3 数列与极限初步 我们将两边除以 c n+1 , 得到： an+1 c n+1 = an c n + d c n+1 . (1.43) 如果我们重新令一个数列, 令 bn = an cn , 代入上式得到： bn+1 = bn + d c n+1 . (1.44) 这个就长得比较好, 毕竟系数都是 1 了, 不过常数项此时是个变动的. 无妨, 你且看我操作： bn+1 = bn + d c n+1 , bn = bn−1 + d c n , · · · , b2 = b1 + d c 2 . 我们把这些式子全部加起来, 得到： bn+1 + bn + · · · + b2 = bn + bn−1 + · · · + b1 + d c n+1 + d c n + · · · + d c 2 . 两边可以消去 bn + · · · + b2, 后面跟了个等比数列求和, 整理一下有 bn+1 = b1 + d c 2 1 cn − 1 1 c − 1 , 即 an+1 c n+1 = a1 c + d c 2 1 − c n c n−1(1 − c) , an = a1c n−1 + d(1 − c n−1 ) 1 − c . 这就给出了 c 6= 1 的情况下, 一阶常系数线性递推数列的通项公式. 2. 转化为等比数列 假如 d = 0, 那么 an+1 = can, 这就显然是一个等比数列, 我们熟知它的通项公式. 但一般来讲 d 6= 0, 因此我们需要作适当地变换来构造等比数列的结构. 如果你把 an 看作自变量, an+1 看作因变量, 那么这就是你在初中学过的一次函数, 它是一条不过原 点的直线. 而我们期待的等比数列的递推式是一条过原点的直线. 因此我们可以选择适当的平移, 将已 有的式子变为目标的式子. 设 bn = an − λ, 则 bn+1 + λ = c(bn + λ) + d. 我们期待做了一次代换之后, 能把常数项消去, 这样的 λ 应该满足： λ = cλ + d, 这个方程我们称为一阶常系数线性递推数列的特征方程, λ 称为特征根. 这种方法又叫特征根法, 在之 后我们仍会用到. 于是解出 λ = d 1−c , 而 bn+1 = cbn 直接推出 bn = c n−1 b1, 我们把关系代入得到： an − d 1 − c = c n−1 (a1 − d 1 − c ), an = a1c n−1 + d(1 − c n−1 ) 1 − c . 36