1.3数列与极限初步图1.10:原数列映射图1.9:扩张映射而我们看得很清楚，对于一条直线，当你横向移动相一致的距离时，纵向也会变化一致的距离.而所谓等差数列，就是从直线上横向等距取点再依次标上顺序，纵向当然也是等距变化的，这就是为什么差分是相等的.而且对于直线，由于点是线性均匀分布的，我们显然有这么个性质：a(r) +a(g) = 2a(-+)(1.25)2这一点很自然地可以推出命题1.9，因为命题对直线的所有元素都成立，那么数列作为直线的子集也会满足这个性质CAFE兰更一般的，有：+a(rn)=na(a).a(r1) +a(r2) +(1.26)这里为ri,.··，an的平均值。基于这一点，我们也可以给出等差数列任意的n项ai1,ai2，··,ain的和：ni++inait -Ea(i) = na(1.27)nk=1k=1如果你能够接受数列的下标出现小数的话，那么我们也可以将求和的结果写为na，i是下标的平均值比如a2+a3=2a2.5，这对于数列来讲当然是不太严谨的表述，但是从扩张映射的角度来说是非常自然的.当然，我们可以稍微考虑一些更实际的情况，比如在刚才式（1.26)中，倘若1，…，n有重复，总共有r种不同的值：31，r，1的值出现了p1次，a2的值出现了p2次，，的值出现了p次，那么我们也可以将式（1.26）写为：pia(a1) + p2a(2) + .+ pra(ar) = na(), ±= P121 + + prer(1.28)n说白了就是加权平均，自然的，式（1.27）也可以改写为：piii +... +prir(1.29)ais=7nk=比方说2a2+a3=3a·这种做法往往可以给计算带来便利。当然，我们也可以直接用式（1.27）来计算前n项和：Sn=ai+...+an=nai+.n=nan即使这里我们仍然要用到1+2++n=n(n+1)这一结果.那么我们接下来介绍等比数列，在此之前我需要先将你对乘方这一概念的认识稍微扩充一下，如果你已经了解过有理次幂，下面可以跳过不看你在初中已经接触过，知道所谓α"的含义，这也十分容易理解，就是把n个a乘一块去.但是，你如27
1.3 数列与极限初步 图 1.9: 扩张映射 图 1.10: 原数列映射 而我们看得很清楚, 对于一条直线, 当你横向移动相一致的距离时, 纵向也会变化一致的距离. 而所 谓等差数列, 就是从直线上横向等距取点再依次标上顺序, 纵向当然也是等距变化的, 这就是为什么差 分是相等的. 而且对于直线, 由于点是线性均匀分布的, 我们显然有这么个性质： a˜(x) + ˜a(y) = 2˜a( x + y 2 ) (1.25) 这一点很自然地可以推出命题1.9, 因为命题对直线的所有元素都成立, 那么数列作为直线的子集也会满 足这个性质. 更一般的, 有： a˜(x1) + ˜a(x2) + · · · + ˜a(xn) = na˜ (¯x). (1.26) 这里 x¯ 为 x1, · · · , xn 的平均值. 基于这一点, 我们也可以给出等差数列任意的 n 项 ai1 , ai2 , · · · , ain 的 和： Xn k=1 aik = Xn k=1 a˜(ik) = na˜ i1 + · · · + in n (1.27) 如果你能够接受数列的下标出现小数的话, 那么我们也可以将求和的结果写为 na¯i , ¯i 是下标的平均值. 比如 a2 + a3 = 2a2.5, 这对于数列来讲当然是不太严谨的表述, 但是从扩张映射的角度来说是非常自然 的. 当然, 我们可以稍微考虑一些更实际的情况, 比如在刚才式 (1.26) 中, 倘若 x1, · · · , xn 有重复, 总共 有 r 种不同的值：x1, · · · , xr, x1 的值出现了 p1 次, x2 的值出现了 p2 次, · · · , xr 的值出现了 pr 次, 那么 我们也可以将式 (1.26) 写为： p1a˜(x1) + p2a˜(x2) + · · · + pra˜(xr) = na˜(¯x), x¯ = p1x1 + · · · + prxr n (1.28) 说白了就是加权平均, 自然的, 式 (1.27) 也可以改写为： Xn k=1 aik = na˜ p1i1 + · · · + prir n . (1.29) 比方说 2a2 + a3 = 3a 7 3 . 这种做法往往可以给计算带来便利. 当然, 我们也可以直接用式 (1.27) 来计算 前 n 项和： Sn = a1 + · · · + an = na 1+···+n n = na n+1 2 , 即使这里我们仍然要用到 1 + 2 + · · · + n = n(n+1) 2 这一结果. 那么我们接下来介绍等比数列, 在此之前我需要先将你对乘方这一概念的认识稍微扩充一下. 如果 你已经了解过有理次幂, 下面可以跳过不看. 你在初中已经接触过, 知道所谓 a n 的含义, 这也十分容易理解, 就是把 n 个 a 乘一块去. 但是, 你如 27
1.3数列与极限初步何理解a"呢？比如a，把%个a乘起来？怪异每一个事物都企图能这么清晰地理解是不现实的，我们应当换一种方式去理解其含义我们知道，对于正整数m，n，有(am)n=amn这不难理解，左边是把n个am相乘，而am是把m个a相乘，因此合起来就是把nxm个a相乘，即右边事实上这个性质对所有的整数都成立，只要你能理解负整数幂的含义.比如α-1=1.为什么呢？因为a-1.a=a-1+1=ao=1,所以a-1是a的倒数,即.类似地,α-nan=α-n+n=a0=1→α-n=品当然，这里我们假定了一条性质：Vm,nEZ,am.an=am+n其实倒不如说我们先定义负整数幂是正整数幂幕的倒数，然后自然得出这个结论：当然这些都很好理解你可以试着自已去完善相关性质与理论现在我们假定这个性质对于有理数p,9也成立.即,qEQ,aER=(x-a我们取p=,Q= n,那么 =m,我们关心的是=ap那我们不妨设a=aw，则满足关系：rnam(1.30)我们定义这个方程的解为α"（如果n为偶数，则取非负解）.关于解的存在与唯一性这里不加说明，在学习幂函数后你可以自行思考.当然，我们也可以把开方运算拓展到任意整数次，即：Va:=a,rn=a且当n为偶数时，取非负解.那么我们可以把a写为Vam当然，你可以验证，刚才我们的假定是成立的15.我们知道有理数总可以写成既约分数的形式（即使我们尚未给出严谨的证明，这一点在学习选修的知识后可以尝试自行证明），于是我们设p=，q=，于是aP=a罪，按照我们的定义，它是方程an=am的解。而（aP)=（aP)，它是方程rs=（aP)r的解。我们要证明（aP)=apg，可以利用解的唯一性。因为a=a=a赔，它是方程rns=amr的解那么我们只需证明，（aP)9也是rns=amr的解.根据我们前面所说，设a=（aP)，则满足方程rs=（aP)r，再设y=ap则y"=am，所以rs=y，y"=am,我们将两个式子做一下变形，贴近我们想要的结果.于是第一个等式可以在两边作n次幂，则ans=ynr，第二个式子可以在两边作r次幂，于是得到ynr=amr，从而ans=amr，于是（ap)是方程rns=amr的解，故（ap）9=apq.整个流程的思想是用已知推导未知。我们已知整数上成立，也已知有理数与整数的关系，于是通过这种关系，将关于有理数的命题转化为关于整数的命题，从而成立.这种做法十分常见，大家可以多多品味这种定义方式比较基础，但不太直观，如果你能很好地理解n次根号，我们也不妨将a直接定义为am，上面的性质当然也显然成立，但这里相较于刚才的方程的解的定义来说就没那么基础，比如你得先完善n次根号的相关性质，而根据我们刚才所说，n次根号其实也定义为方程的解。因此我们干脆合二为一，直接给出方程的解的定义，我应当提醒你，我们的指数其实可以扩展到所有实数，不过对于实数幂的定义方式，我们会在后面介绍.这里你只需要默认其存在15注意，我们只是从假定中获得了思路，但我们定义和假定是没有关系的，所以假定的正确性尚未验证。28
1.3 数列与极限初步 何理解 a m n 呢? 比如 a 3 2 , 把 3 2 个 a 乘起来? 怪异. 每一个事物都企图能这么清晰地理解是不现实的, 我们应当换一种方式去理解其含义. 我们知道, 对于正整数 m, n, 有 (a m) n = a mn . 这不难理解, 左边是把 n 个 a m 相乘, 而 a m 是把 m 个 a 相乘, 因此合起来就是把 n × m 个 a 相乘, 即右 边. 事实上这个性质对所有的整数都成立, 只要你能理解负整数幂的含义. 比如 a −1 = 1 a . 为什么呢? 因 为 a −1 ·a = a −1+1 = a 0 = 1, 所以 a −1 是 a 的倒数, 即 1 a . 类似地, a −n ·a n = a −n+n = a 0 = 1 ⇒ a −n = 1 an . 当然, 这里我们假定了一条性质： ∀ m, n ∈ Z, am · a n = a m+n . 其实倒不如说我们先定义负整数幂是正整数幂的倒数, 然后自然得出这个结论. 当然这些都很好理解, 你可以试着自己去完善相关性质与理论. 现在我们假定这个性质对于有理数 p, q 也成立. 即 p, q ∈ Q, a ∈ R ⇒ (a p ) q = a pq . 我们取 p = m n , q = n, 那么 pq = m, 我们关心的是 a m n := a p , 那我们不妨设 x = a m n , 则 x 满足关系： x n = a m (1.30) 我们定义这个方程的解为 a m n (如果 n 为偶数, 则取非负解). 关于解的存在与唯一性这里不加说明, 在学 习幂函数后你可以自行思考. 当然, 我们也可以把开方运算拓展到任意整数次, 即： √n a := x, xn = a 且当 n 为偶数时, 取非负解. 那么我们可以把 a m n 写为 √n am. 当然, 你可以验证, 刚才我们的假定是成立的15 . 我们知道有理数总可以写成既约分数的形式 (即使 我们尚未给出严谨的证明, 这一点在学习选修的知识后可以尝试自行证明), 于是我们设 p = m n , q = r s , 于是 a p = a m n , 按照我们的定义, 它是方程 x n = a m 的解. 而 (a p ) q = (a p ) r s , 它是方程 x s = (a p ) r 的 解. 我们要证明 (a p ) q = a pq , 可以利用解的唯一性. 因为 a pq = a m n r s = a mr ns , 它是方程 x ns = a mr 的 解. 那么我们只需证明, (a p ) q 也是 x ns = a mr 的解. 根据我们前面所说, 设 x = (a p ) q , 则 x 满足方程 x s = (a p ) r , 再设 y = a p , 则 y n = a m, 所以 x s = y r , yn = a m, 我们将两个式子做一下变形, 贴近我们想 要的结果. 于是第一个等式可以在两边作 n 次幂, 则 x ns = y nr , 第二个式子可以在两边作 r 次幂, 于是 得到 y nr = a mr , 从而 x ns = a mr , 于是 (a p ) q 是方程 x ns = a mr 的解, 故 (a p ) q = a pq . 整个流程的思想是, 用已知推导未知. 我们已知整数上成立, 也已知有理数与整数的关系, 于是通过这种关系, 将关于有理数 的命题转化为关于整数的命题, 从而成立. 这种做法十分常见, 大家可以多多品味. 这种定义方式比较基础, 但不太直观. 如果你能很好地理解 n 次根号, 我们也不妨将 a m n 直接定义 为 √n am, 上面的性质当然也显然成立, 但这里相较于刚才的方程的解的定义来说就没那么基础, 比如你 得先完善 n 次根号的相关性质. 而根据我们刚才所说, n 次根号其实也定义为方程的解. 因此我们干脆 合二为一, 直接给出方程的解的定义. 我应当提醒你, 我们的指数其实可以扩展到所有实数, 不过对于实数幂的定义方式, 我们会在后面 介绍. 这里你只需要默认其存在. 15注意, 我们只是从假定中获得了思路, 但我们定义和假定是没有关系的, 所以假定的正确性尚未验证. 28
1.3数列与极限初步好啦，这写得有些长，我们打住不再多聊，切回正题类似于等差数列，我们也可以想想，等比数列的“等比”指的是什么？比，指的是比值，即后一项与前-项的比值.等比，指的是后一项与前一项的比值为定值，不过我们一般要求这个定值不为零定义1.30（等比数列）称数列[an】为等比数列(Geometricsequence),若[an]满足an+I=q, VneN+.(1.31)FgERO],an称q为数列的公比（Commonratio)品定义方式是类似的.例子也比较多，比如本节开头的找规律，其实就是以2为首项，2为公比的等比数列.例题1.81.2,4,8，·，2n，··是等比数列，首项为2,公比为2;2．1，，，，2-，…是等比数列，首项为1,公比为；3.1,-1,1,，(-1)n+1是等比数列，首项为1,公比为1以及，等比数列也完全由数列的首项与公比决定，这一点与等差数列是类似的。不过我们要求等比数理NATALCAR数列的任意一项均不为零咖很容易发现等比数列的通项公式是电这不难证明，你只需要将%=！，=9·.=q所有等式乘起来，左边的结果是，右边是qn-1an-移项即可。等比数列也可以有类似命题1.9的性质：命题1.12福设[anl为等比数列,公比为9,则1.am=anqm-n,Vm,nEN+;2.Vi,j,m,nEN+,i+j=m+n台aiaj=aman;3. 数列 [bn) 也为等比数列,若 bn=Aapn+k,Vn E N+,pm + k>0,这里 A,r E R, p,k E N均为常数；4.若数列[bn}也为等比数列,那么数列[anbn】与器均为等比数列.该结论可推广到有限个等比数列相乘除的情况金证明不难你发现其实我们就说把加减改成了乘除，形式基本没变，这大概就是所谓的共性累！接下来我们讲等比数列的前n项和，这个求法就更有技巧性·+an=a1+a1q++aign-1接下来，我们将Sn乘以q，那么有：首先，按定义，Sn=a1+a2+qSn=a1q+a1qg+...+a1q"=(Sn-ai) +a1qn.(1.32)于是整理一下，移项就得到：qn-1Sn = a1(1.33)g-1当然，这里要求g≠1,当g=1时，[anl为常数列，它的前n项和为na1.你可能会觉得g≠1与g=129
1.3 数列与极限初步 好啦, 这写得有些冗长. 我们打住不再多聊, 切回正题. 类似于等差数列, 我们也可以想想, 等比数列的 “等比” 指的是什么? 比, 指的是比值, 即后一项与前 一项的比值. 等比, 指的是后一项与前一项的比值为定值, 不过我们一般要求这个定值不为零. 定义 1.30 (等比数列) ♣ 称数列 {an} 为等比数列 (Geometric sequence), 若 {an} 满足： ∃ q ∈ R \ {0}, an+1 an = q, ∀ n ∈ N+. (1.31) 称 q 为数列的公比 (Common ratio). 定义方式是类似的. 例子也比较多, 比如本节开头的找规律, 其实就是以 2 为首项, 2 为公比的等比 数列. 例题 1.8 1. 2, 4, 8, · · · , 2 n , · · · 是等比数列, 首项为 2, 公比为 2; 2. 1, 1 2 , 1 4 , · · · , 1 2n−1 , · · · 是等比数列, 首项为 1, 公比为 1 2 ; 3. 1, −1, 1, · · · ,(−1)n+1 是等比数列, 首项为 1, 公比为 −1. 以及, 等比数列也完全由数列的首项与公比决定, 这一点与等差数列是类似的. 不过我们要求等比 数列的任意一项均不为零. 很容易发现等比数列的通项公式是 an = a1q n−1 这不难证明, 你只需要将 a2 a1 = q, a3 a2 = q, · · · , an an−1 = q 所有等式乘起来, 左边的结果是 an a1 , 右边是 q n−1 , 移项即可. 等比数列也可以有类似命题1.9的性质： 命题 1.12 ♠ 设 {an} 为等比数列, 公比为 q, 则 1. am = anq m−n , ∀ m, n ∈ N+; 2. ∀ i, j, m, n ∈ N+, i + j = m + n ⇔ aiaj = aman; 3. 数列 {bn} 也为等比数列, 若 bn = Aar pn+k , ∀ n ∈ N+, pn + k > 0, 这里 A, r ∈ R, p, k ∈ N 均为常数; 4. 若数列 {bn} 也为等比数列, 那么数列 {anbn} 与 an bn 均为等比数列. 该结论可推广到有限个 等比数列相乘除的情况. 证明不难. 你发现其实我们就说把加减改成了乘除, 形式基本没变, 这大概就是所谓的共性罢! 接下来我们讲等比数列的前 n 项和, 这个求法就更有技巧性. 首先, 按定义, Sn = a1 + a2 + · · · + an = a1 + a1q + · · · + a1q n−1 , 接下来, 我们将 Sn 乘以 q, 那么有： qSn = a1q + a1q 2 + · · · + a1q n = (Sn − a1) + a1q n . (1.32) 于是整理一下, 移项就得到： Sn = a1 q n − 1 q − 1 . (1.33) 当然, 这里要求 q 6= 1, 当 q = 1 时, {an} 为常数列, 它的前 n 项和为 na1. 你可能会觉得 q 6= 1 与 q = 1 29
1.3数列与极限初步两种情况形式差异很大，但其实并不是这样的.在你学习了函数的极限之后，你就会发现9=1其实是9趋于1的极限情况我很难向你解释说这么干的动机是什么，或许这只是前辈的灵光一闪。但毫无疑问，这种做法为相当一部分的情况提供了思路。我们称这种方法为错项相减法，具体原因你可以观察一下两个和式的特征：Sn = a1 + a1q + a1q?+. + a1qn-2 + a1qn-1(1.34)qSn=aiq+a1g?+aiq3+..+aiqn-1+aiqn(1.35)你可以观察到下面的第一项是上面的第二项，下面的第二项是上面的第三项，下面的第三项是上面的第四项，，下面的第n一1项是上面的第n项.因此当我们作差时，它们会相互抵消，留下下面的第n项与上面的第1项另外，从上面的结果，我们可以得到一个极其实用的恒等式：qn+1-1+1=1+q+q+..+q=9g-19≠1是为了保证分母不为零，如果我们移项，那么就可以得到对所有实数均成立的恒等式：n+1-1=(q-1)(q"+gn+9+1)ANCALCAR更一般地，对于任意两个实数a，b你可以注意到an - bn = (a - b)(an-l+abn-2+bn-1)如果n是奇数，那么有a"+bn=an=（-b)"于是利用上式可以得到a"+bn的因式分解方式.这些都是很实用的因式分解方法注这里我们仍然可以试试用裂项求前n项和：我们猜测裂开之后仍然是等比数列，而且显然公比还是q，但是前面系数有所改变，大概长成ka1qn-1的样子，k是个常数，于是我们代入差分式得到：an = bn+1-bn = ka1q" -ka1qn-1 = ka1qn-1(q- 1).而an=a1gn-1,对比系数得到k(q-1)=1,所以k=,因此bn=一a1qn-1.于是：1qn-11Sn=bn+1-bi=aignq-101=a19-1g-1和前面计算结果一致言归正传，我们继续介绍等比数列前n项和的相关性质命题1.13设[an]为等比数列,q为公比,[Sn]为其前n项和,则1.[Sn}不是等比数列;2.设kEN+,定义 So=0,则数列[S(n+1)k-Snk],nEN为等比数列,公比为qk.等比数列的前n项和所具有的性质没有等差数列那么多，但是等比数列有一个更亲和的概念定义1.31（前n项积）设有数列【an],称aia2..an为数列an]的前n项积,记为Tn，即：(1.36)Tn = aia2**.an.30
1.3 数列与极限初步 两种情况形式差异很大, 但其实并不是这样的. 在你学习了函数的极限之后, 你就会发现 q = 1 其实是 q 趋于 1 的极限情况. 我很难向你解释说这么干的动机是什么, 或许这只是前辈的灵光一闪. 但毫无疑问, 这种做法为相 当一部分的情况提供了思路. 我们称这种方法为错项相减法. 具体原因你可以观察一下两个和式的特 征： Sn = a1 + a1q + a1q 2 + · · · + a1q n−2 + a1q n−1 , (1.34) qSn = a1q + a1q 2 + a1q 3 + · · · + a1q n−1 + a1q n . (1.35) 你可以观察到下面的第一项是上面的第二项, 下面的第二项是上面的第三项, 下面的第三项是上面的第 四项, · · · , 下面的第 n − 1 项是上面的第 n 项. 因此当我们作差时, 它们会相互抵消, 留下下面的第 n 项 与上面的第 1 项. 另外, 从上面的结果, 我们可以得到一个极其实用的恒等式： q 6= 1 ⇒ 1 + q + q 2 + · · · + q n = q n+1 − 1 q − 1 . q 6= 1 是为了保证分母不为零, 如果我们移项, 那么就可以得到对所有实数均成立的恒等式： q n+1 − 1 = (q − 1)(q n + q n−1 + · · · + q + 1). 更一般地, 对于任意两个实数 a, b, 你可以注意到： a n − b n = (a − b)(a n−1 + a n−2 b + · · · + abn−2 + b n−1 ). 如果 n 是奇数, 那么有 a n + b n = a n − (−b) n , 于是利用上式可以得到 a n + b n 的因式分解方式. 这些都 是很实用的因式分解方法. 注 这里我们仍然可以试试用裂项求前 n 项和： 我们猜测裂开之后仍然是等比数列, 而且显然公比还是 q, 但是前面系数有所改变, 大概长成 ka1q n−1 的样子, k 是个常数, 于是我们代入差分式得到： an = bn+1 − bn = ka1q n − ka1q n−1 = ka1q n−1 (q − 1). 而 an = a1q n−1 , 对比系数得到 k(q − 1) = 1, 所以 k = 1 q−1 , 因此 bn = 1 q−1 a1q n−1 . 于是： Sn = bn+1 − b1 = 1 q − 1 a1q n − 1 q − 1 a1 = a1 q n − 1 q − 1 . 和前面计算结果一致. 言归正传, 我们继续介绍等比数列前 n 项和的相关性质. 命题 1.13 ♠ 设 {an} 为等比数列, q 为公比, {Sn} 为其前 n 项和, 则 1. {Sn} 不是等比数列; 2. 设 k ∈ N+, 定义 S0 = 0, 则数列 {S(n+1)k − Snk}, n ∈ N 为等比数列, 公比为 q k . 等比数列的前 n 项和所具有的性质没有等差数列那么多, 但是等比数列有一个更亲和的概念： 定义 1.31 (前 n 项积) 设有数列 {an}, 称 a1a2 · · · an 为数列 {an} 的前 n 项积, 记为 Tn, 即： Tn = a1a2 · · · an. (1.36) 30
1.3数列与极限初步容易知道数列[Tn)的递推公式为Ti=ai,Tn+i=Tnan+1,VnEN+;吊你会发现等比数列的特征在前n项积上体现得比较多.比如我们很容易计算Tn：1+(n-1) = anq")Tn=aia2..an=a1ai...aiqn=ang你会发现在刚才计算过程中，指数位置是一个等差数列求和，这并非偶然.这也是我们要提到的，等差数列与等比数列的联系比如说我们现在有个数列(an],an=aigkn+r,k,rEZ,[an}显然是等比数列,而指数位置的kn+r是一个等差数列.我们可以断言：命题1.14数列[an]为等比数列当且仅当存在等差数列[bn}与常数q和 A,使得an = Agbn.(1.37)我们也稍微证一下吧！证明→1若[an为等比数列，设其公比为q,则an=a1g"q于是令b=nA=，则满足条件←设bn=kn+r，于是an=Agkn+，那么=q0为常数，故[an）为等比数列当然，我们可以进一步思考等比数列与等差数列是如何对应起来的。或者说，从幂，到指数，是如何对应起来的，这就是我们要讲的对数.定义1.32（对数）如果an=k，那么我们称n为以a为底，k的对数(Logarithm),记为logak,a称为底数，k称为真值，为了避免无意义的表达式出现，我们要求底数和真值必须大于零，以方便我们概括。其实你会发现对数就是与指数相对的概念.比如两个恒等式：alogak = k, loga ak = k.第一个式子的含义是，先取对数再取指数，则值不变.第二个式子的含义是，先取指数再取对数，则值不变.就好比你加个α减个a，或者减个a再加个a，没有变化.所以取对数和取指数是互逆的运算当然，我们也很推荐把取对数理解为一个映射：(1.38)loga: R+→R, k loga k.我们取a=q,这样就把an=Agkn+r映到了loggan=kn+logg(Ag"），符合等差数列的形式.当然，这里我们利用到了对数的性质：命题1.15（对数的性质）21设a,b,c>0,则：1. loga (bc) = loga b + loga c;2. loga() = loga b - loga c;3.logabc=clogab,这里允许c为任意实数；4.logab=log.b,这里允许c为任意实数；31
1.3 数列与极限初步 ♣ 容易知道数列 {Tn} 的递推公式为 T1 = a1, Tn+1 = Tnan+1, ∀ n ∈ N+. 你会发现等比数列的特征在前 n 项积上体现得比较多. 比如我们很容易计算 Tn： Tn = a1a2 · · · an = a1 · a1q · · · · · a1q n−1 = a n 1 q 1+···+(n−1) = a n 1 q n(n−1) 2 你会发现在刚才计算过程中, 指数位置是一个等差数列求和, 这并非偶然. 这也是我们要提到的, 等 差数列与等比数列的联系. 比如说我们现在有个数列 {an}, an = a1q kn+r , k, r ∈ Z, {an} 显然是等比数列, 而指数位置的 kn+r 是一个等差数列. 我们可以断言： 命题 1.14 ♠ 数列 {an} 为等比数列当且仅当存在等差数列 {bn} 与常数 q 和 A, 使得 an = Aqbn . (1.37) 我们也稍微证一下吧! 证明 ⇒ 若 {an} 为等比数列, 设其公比为 q, 则 an = a1q n−1 = a1 q q n , 于是令 bn = n, A = a1 q , 则满足条件. ⇐ 设 bn = kn + r, 于是 an = Aqkn+r , 那么 an+1 an = q r 6= 0 为常数, 故 {an} 为等比数列. 当然, 我们可以进一步思考等比数列与等差数列是如何对应起来的. 或者说, 从幂, 到指数, 是如何 对应起来的, 这就是我们要讲的对数. 定义 1.32 (对数) ♣ 如果 a n = k, 那么我们称 n 为以 a 为底, k 的对数 (Logarithm), 记为 loga k, a 称为底数, k 称为真 值. 为了避免无意义的表达式出现, 我们要求底数和真值必须大于零, 以方便我们概括. 其实你会发现对数就是与指数相对的概念. 比如两个恒等式： a loga k = k, loga a k = k. 第一个式子的含义是, 先取对数再取指数, 则值不变. 第二个式子的含义是, 先取指数再取对数, 则值不 变. 就好比你加个 a 减个 a, 或者减个 a 再加个 a, 没有变化. 所以取对数和取指数是互逆的运算. 当然, 我们也很推荐把取对数理解为一个映射： loga : R+ → R, k 7→ loga k. (1.38) 我们取 a = q, 这样就把 an = Aqkn+r 映到了 logq an = kn + logq (Aqr ), 符合等差数列的形式. 当然, 这 里我们利用到了对数的性质： 命题 1.15 (对数的性质) 设 a, b, c > 0, 则: 1. loga (bc) = loga b + loga c; 2. loga ( b c ) = loga b − loga c; 3. loga b c = c loga b, 这里允许 c 为任意实数; 4. loga c b = 1 c loga b, 这里允许 c 为任意实数; 31