F 题2.20图 解CG杆的受力图如题2.20图(b)所示,其平衡条件为 ∑ Mc=o, Fx=Fnl ∑ F =0, FN+FN2=F 由拉压胡克定律得二杆的轴向变形 FNLY 欲使CG杆始终保持水平状态,必须△l1=△l2,即 FNI, FN2l2 E,A, EA 联立①、②、③式,解得 ll,E Z2EJA1+1E2A2 2.21如题2.21图(a)所示,BC、BD两杆原在水平位置。在F 力作用下,两杆变形,B点的位移为△若两杆的抗拉刚度同为EA, 试求△与F的关系。 解因结构和载荷均对称,所以两杆的内力相等,即 F F B点的受力图如题2.21图(b)所示,由平衡条件 ∑F=0,2F 29
F F F 题2.21图 及几何条件 sIna l2+4 解得 F F√P2+△2 24 杆的伸长量为 δ=√22+42-l 应用胡克定律 Fml 8EA 联立①②、③式,解得 2EA△ 22+△ 当△为微小量时,可将上式括号屮的第二项展开为泰勒级数,并取 其前两项,得 2+△2 1+ 1-「1 元2+ 于是 六EA△3 还有一种近似解法:令 F=2 FNsina≈2FNa 杆的线应变 L/cosa-l 1≈22 Cosa 杆的轴向内力FN=A=EEA rea ⑥ 将⑥式代入④式中,得 F= 2F rea 在小变形情况下,a=△∥,代人⑦式,得载荷F与位移△间的关系为 30
NEA 在此问题中,两杄的材料都是线弹性的,但载荷与位移之间的 关系却是非线性的,这种非线性是由于结构的几何原因引起的,故 称为几何非线性。 2.22像矿山升降机钢缆这类很 长的拉杆,应考虑其自重的影响。设材 FNOr) 料单位体积的质量(密度)为P,许用应 力为[a]。钢缆下端所受拉力为F,如题 aPgAr 2.22图(a)所示。钢缆截面不变。试求 F 钢缆的允许长度及其总伸长。 (b) 解钢缆任意横截面(x截面) 题2.22图 上的轴力为(题2.22图(b)) FNr)=F+gia 设钢缆在自重和拉力F的作用下,不被拉断的极限长度为L,则危 险截面是钢缆的上端面,该端面上的轴力为 FN=F+PgLA 根据强度要求,应有 FN F+pgLA A ≤[o] 由上式得 Is-ALd]-F PgA 钢缆允许的最大长度 A「a-F pg A 钢缆的伸长量由胡克定律确定,即 d F+egrA A2[o]2-F eA EA 2E A 2.23铸铁柱尺寸如题2.23图所示,轴向压力F=30kN,若 不计自重,试求柱的变形。E=120GPa。 解距离柱底面为x处的横截面面积为 40 31
柱内的轴力为常量,即 28×28 =30k FN=F=30 kN 柱的变形由胡克定律求得 Fd Fd t EA(r) EA(x 360 120×10(40-x/30)2×1034x」m 0804mmn(压缩量) 40 柱被压缩了0.0804mm。 2.24题2.24图(a)中AD和BE两根铸 题2.23图 铁柱的形状和尺寸与题2.23中的铸铁柱相同。 若设横梁AB为刚体,F=50kN试求F作用点C的位移 McFx△ 题2.24图 解AB杆受力图如题2.24图(b)所示,平衡条件为 F=0, FNL+ F y F MA;=0,FN×1000=F×800 解上二式得FN1=40kN,FN2=10kN AD、BE杆的变形由胡克定律得 0.36FN;d 36 Fmadz EACr o EA(r) 将F=40kN,FN2=10kN及A(x)=40 代入以上二式,得 32·
40×103dx 0120×103°×(40 x/30)2×10°m=0.107mm 10×103dx 0120×103×(40一x/30)2×106 m=0.0268mm C点的位移由几何关系可知 4 ×0.0268+×0.107}mn =0.0911mm 2.25在题2.25图(a)所示的简单杆系中,两杆的长度均为l =3m,横截面面积A=10cm2。材料的应力应变关系如题225图 (b)所示。E1=70GPa,E2=10GPa。试分别计算当F=80kN和 F=120kN时,节点B的位移。 o/MPa 30° 100 (b) F 120° 120°120° 题2.25图 解由结构和载荷均对称(题2.25图(c))可知,两杆的内力 相同,即 F=F 当F=80kN时,杆横截面上的正应力为