80 A-A-10×10 Pa 80 MPa <100 MP 故当F=80kN时,在整个变形过程中,杆的E=E1,两杆的伸长均 为△=B,由题2.25图(d)所示几何关系得B点的位移为 2FNE 2×80×103×3 6Cos60EA-70×10°×10×10-4m≈6.86mm 当F=120kN时,杆横截面的正应力为 F_120×1 0=AA=10×10Pa=120MPa>100MPa 故当F=120kN时,杆变形过程中,弹性模量E发生变化,当杆内 应力a≤100MPa时,E=E1;当a>100MPa时,E=E2,因此,在载 荷F=120kN作用下,杆的变形要分段计算,对应于a=100MPa ,FN=F=100kN,所以第一段变形用F=100kN计算,第二段变 形用F=20kN计算,因变形是在弹性变形范围内产生的,所以可 以用叠加法将两阶段的变形叠加,根据杆变形与B点的位移关系, 可得B点的位移为 100×102+20×102 E,A ErA cos60° 00×103×3 70×10×10×103+10×10°×10×103×2」m =20.6mm 226木桩打人粘土的部分长为L顶上载荷为F(题2.26图 (a)。设载荷全由摩擦力承担,且沿木桩单位长度内的摩擦力/按 抛物线f=Ky2变化,这里K为常数。若F=420kN,L=12m,A= 640cm2,E=10GPa,试确定常数K,并求木桩的缩短量 解木桩受力如题2.26图(b)所示,根据平衡条件 ∑ 0,fdy=F 将∫=Ky2代人上式,得 Kady= F ·34
f=Ky FN(y) f 题2.26图 由上式可确定K值 R、3F3×420×103 =-123 N/m3=729N/m3 距下端面为y处的轴力为(题2.26图(b) Kyu FN(y)=fdy= Ky2dy 3 杆的总变形为 Al=/FN(y Kody Kl p EAdy 3EA 12EA 729×124 12×10×10×640×10h=1.97mm 木桩缩短了1.97mm 2.27抗拉(压)刚度为EA的等直杆,受力情况如题2.27图 (a)所示。试间:(1)总伸长是否为=EA+EA?如有错误,正确 的算式是什么?(2)应变能是否为V= F41、Ft2 2EA+22A?如有错误正 确的算式是什么?(3)若l1=l2=l,F1+F2=F(常量),试求vmx和 Vm,并求两种情况下的比值 解杆的轴力图如题2.27图(b)所示。 35
N -+-F: 题2.27图 (1)否。正确的算法是 △=(F-F)F EA EA (2)否。正确的算法是 E,F⊥(F-F2)4 2A+ 2EA (3)将l1=l2=4及F1=F一F2代人上式轴的应变能为 V,= 2EA 5F2 4FF+ F2 v,是F2的函数,V取得极值的条件是aF=0,由 dv dF. 22EA(F-4F)=0 得F2=F,从而得 F:3 因 d2v 5l dFzea-0 所以当F2=F时,V4有最小值 Fl C mIm 10EA 又因0≤F2≤F,当F2=F时 < EA 当F2=0时 F22 2EA 所以 F e再x EA 2.28如题2.28图所示,长度为l的杆件,抗拉刚度为EA。若 在杆件两端沿轴线先作用拉力F1,再作用F2,在作用F2的过程中, ·36·
应变能的增量是否为AA叫?F 2EA FI FI 解杆由F1单独作用时,应 变能为 题2.28图 2EA 先作用F,再作用F2时,求由F2产生的应变能增量,有两种方法。 (1)从功能转换考虑:先作用F1,然后作用F3时,力作用点因 F2产生的轴向位移是E,F2作的功是,F作的功形F, 2EA° 因此,因F2作用,应变能的增量为 △V, F1F2(F2+2F1)F2 2EA EA 2EA (2)因是在弹性小变形范围内加载,所以应变能只和变形的 最后状态有关,与加载顺序无关。先加Ft,再加F2时,应变能为 (F2+F1)2 2EA 与单独加F1时相比,增加的应变能为 △V, F2+F1)2F_(F2+2F1)F2 2FA 2EA 2EA 2.29设在题229图(a)中,横梁ABCD为刚体。横截面面积 为76.36mm2的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F=20kN,试求钢索 内的应力和C点的垂直位移。设钢索的E=177GPa。 解AD梁的受力图如题2.29图(b)所示,由平衡条件可得 ∑M,=0, FNsin603×80+Fsin60°×1600=1200F 解上式得F=3F=3 20×103N=11.6kN 钢索内的应力为 11.6×103 A76.36X0-6Pa=152MPa 钢索的长度l=1600mm,其应变能为 37
钢、 60°C60D 60 800 400|400 F1 F ) 题2.29图 F(√3F/3)2F 2EA ZEA 6EA 应用卡氏定理,C点的垂直位移为 av Pl F aF 6EA/ 3EA 20×103×1.6 =3×17×10×76.36×106m=0.79mm 2.30钢制受拉杆件如题2.30图(a)所示,横截面面积A=200 mm2,l=5m,单位体积的质量为P=7.8×103kg/m23。如不计自重影 响,试计算杆件的应变能和应变能密度如考虑自重影响,试计 箅杆件的应变能,并求应变能密度的最大值。设E=209GPa (F+AnPg) F十AxP) F=32kN F (b) 题2.30图 38