例令p={Px,i,j=1,2,…}是一个二维离散分布选择两个点(x1,y)和(x2,y2) 满足每个点上都有正的概率且x1≠x2,≠v.取使得0<ε≤p1,0<E≤p.考 虑q={qy,i,=1,2,…},定义如下 q11=p11-E,q12=p12+E,q1=p21+E,q2=p22-E, 对于其余的,j≠1,2,令=p易得q也是一个二维分布,且和p有着同样的边际分 布,虽然P≠q 9相同边际分布但是联合分布不同-2 例假定F和F2的密度函数分别为f1和f2考虑函数 f(x1,x2)=f1(x1)f2(x2)[1+(2F1(x1)-1)(2F2(x2)-1),(x1,x2)∈R 其中ε为任意实数,且满足||≤1.可以看出∫是一个密度函数,且它的边际密度函数分 别为∫和戶2,与ε无关,故确定了边际分布也无法确定联合分布 10相同边际分布,但是联合分布不同-3 虽然,边际分布函数由联合分布函数唯一决定,但反之却不成立.也就是说,不相 同的分布函数却可以有相同的边际分布函数.下面举出一例 设有两个二元分布函数为F(x,y)及G(x,y),分别有密度函数为 x+y若0≤x≤1,0≤x≤1 y 0其他 (0.5+x)(0.5+y)若0≤x≤1,0≤x≤1, 其他 易知F,G不恒等.然而,两对边际分布函数却相等,因为他们的两对密度函数相等.事 实上 g(x,y)dy=0.5+ f(a,y)dx=/g(a, y)dx=0.5+y
~ -p = {pij , i, j = 1, 2, ...}´lÑ©Ù. ÀJü:(x1, y1)Ú(x2, y2)§ ÷vz:þÑkVÇ x1 6= x2§y1 6= y2. ε¦0 < ε ≤ p11§0 < ε ≤ p22. Äq = {qij , i, j = 1, 2, ...}§½ÂXeµ q11 = p11 − ε, q12 = p12 + ε, q21 = p21 + ε, q22 = p22 − ε, éuÙ{i, j 6= 1, 2§-qij = pij . ´q´©Ù§ ÚpkXÓ>S© Ù§,p 6= q. 9 Ó>S©Ù´éÜ©ÙØÓ-2 ~ b½F1ÚF2ݼê©Of1Úf2. ļê f(x1, x2) = f1(x1)f2(x2)[1 + ε(2F1(x1) − 1)(2F2(x2) − 1)], (x1, x2) ∈ R 2 , Ù¥ε?¿¢ê§ ÷v|ε| ≤ 1. ±wÑf´Ý¼ê§ §>SÝ¼ê© Of1Úf2§εÃ'§(½ >S©ÙÃ{(½éÜ©Ù. 10 Ó>S©Ù§´éÜ©ÙØÓ-3 ,§>S©Ù¼êdéÜ©Ù¼êû½§%ؤá. Ò´`§Ø Ó©Ù¼ê%±kÓ>S©Ù¼ê. e¡ÞÑ~. kü©Ù¼êF(x, y)9G(x, y)§©OkÝ¼êµ f(x, y) = ( x + y e0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 Ù¦, g(x, y) = ( (0.5 + x)(0.5 + y) e0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 Ù¦. ´F, GØð . , §üé>S©Ù¼ê% §Ï¦üéݼê . ¯ ¢þ Z ∞ −∞ f(x, y)dy = Z ∞ −∞ g(x, y)dy = 0.5 + x, Z ∞ −∞ f(x, y)dx = Z ∞ −∞ g(x, y)dx = 0.5 + y. 5
11二维概率密度函数连续,边际密度函数不一定连续 例令 f(x,y)=(2√2)-1exp(--32y2),(x,y)∈R (1) 容易验证∫是一个概率密度函数对于第一个边际密度函数 0, 0, f1()=fexp(-|x),x≠0 易知,虽然∫连续,但f1在x=0处不连续 注意到函数∫只有一点不连续.现在我们根据f构造一个新的连续的密度函数,使 它的边际密度函数有无穷多个不连续点 令{rk,k≥1}为一组已排序的有理数,令 g(x,y)=∑2f(x-rn,y) 易知(1)中f在R2中有界,(3)式中右端的级数在R2中一致收敛另外,g是 个处处连续的概率密度函数,它的边际密度函数为 91(a 2-f1(x-rn) 同理易知(4)式右端的级数一致收敛,但是在有理数点n1,r2,…上卯1都不连续.虽 然它在其他无理数点都是连续的 12数学期望不存在的离散型随机变量 在离散型随机变量的数学期望定义中(见《概率论基础》,p.172),要求级 数∑1kPk绝对收敛易知,若绝对收敛,则级数∑≥1xkPk收敛,反之不然 例设随机变量X取值为 k 相应的概率为 24,k=1,2
11 VÇݼêëY§>SݼêؽëY ~ - f(x, y) = (2√ 2π) −1 |x| exp(−|x| − 1 2 x 2 y 2 ), (x, y) ∈ R 2 . (1) N´yf´VÇݼê. éu1>Sݼê f1(x) = ( 0, x = 0, 1 2 exp(−|x|), x 6= 0. (2) ´§,fëY§f13x = 0?ØëY. 5¿¼êfk:ØëY. y3·âfE#ëYݼꧦ §>SݼêkáõØëY:. -{rk, k ≥ 1}|®üSknê§- g(x, y) = X∞ n=1 2 −n f(x − rn, y). (3) ´£1¤¥f3R 2¥k.§£3¤ª¥mà?ê3R 2¥Âñ. , §g´ ??ëYVÇݼꧧ>Sݼê g1(x) = X∞ n=1 2 −n f1(x − rn). (4) Ón´£4¤ªmà?êÂñ§´3knê:r1§r2§... þg1 ÑØëY. ,§3Ù¦Ãnê:Ñ´ëY. 12 êÆÏ"Ø3lÑ.ÅCþ 3lÑ.ÅCþêÆÏ"½Â¥£5VÇØÄ:6§p.172¤§¦? ê P∞ i=1 xkpkýéÂñ. ´§eýéÂñ§K?ê P∞ i=1 xkpkÂñ§Ø,. ~ ÅCþX xk = (−1)k 2 k k , k = 1, 2, ... AVÇ pk = 1 2 k , k = 1, 2, ... 6
这是一个离散型的随机变量.由于 k=1 从而EX不存在.然而 ∑kD=∑(-1=-m2 k=1 k=1 13数学期望不存在的连续型随机变量 在数学期望的定义中,要求积分绝对收敛.我们知道,若一个积分绝对收敛则该积 分一定收敛,反之则不一定成立 例设随机变量X的密度函数为 f(x)=1.1 +x2x∈R. 由于f(x)≥0,且 f(e).c=1 故f(x)确实是一个密度函数.但是,因为 11 1/ad( /1+x2=元l(+a), 当a→∞时,ln(1+a2)→∞.故EX不存在 14数学期望存在但方差不存在的随机变量 密度函数为 f(a) /r()(1+2)3 的随机变量X,其数学期望为0,方差不存在 155与n不独立但E(5n)=E5.Em 设5,m为两个随机变量.若和独立,且各自数学期望存在,则 E(m)=E·En
ù´lÑ.ÅCþ. du X∞ k=1 |xk|pk = X∞ k=1 1 k = ∞, l EXØ3. , X∞ k=1 xkpk = X∞ k=1 (−1)k 1 k = − ln 2. 13 êÆÏ"Ø3ëY.ÅCþ 3êÆÏ"½Â¥§¦È©ýéÂñ. ·§eÈ©ýéÂñKTÈ ©½Âñ§Kؽ¤á. ~ ÅCþXݼê f(x) = 1 π · 1 1 + x 2 , x ∈ R. duf(x) ≥ 0§ Z ∞ −∞ f(x)dx = 1. f(x)(¢´Ý¼ê. ´§Ï Z a −a |x| 1 π · 1 1 + x 2 dx = 1 π Z a 0 d(1 + x 2 ) 1 + x 2 = 1 π ln(1 + a 2 ), a → ∞§1 π ln(1 + a 2 ) → ∞. EXØ3. 14 êÆÏ"3 Ø3ÅCþ ݼê f(x) = Γ( 3 2 ) √ πΓ( 1 2 ) · 1 (1 + x 2) 3/2 ÅCþX§ÙêÆÏ"0§ Ø3. 15 ξηØÕáE(ξη) = Eξ · Eη ξ§ηüÅCþ. eξÚηÕ᧠gêÆÏ"3§K E(ξη) = Eξ · Eη. 7
反之则不然 例取Ω=[0,1,S为Ω的博雷尔集,P为通常的勒贝格测度.考虑如下两个随机 变量 E(a)=sin 2a, n(a)=cos 2T 不难得到 e(En)= ES= En=0 取ε足够,使得 As=far: Isin 2T -1<e, An=fa: cos 2T-1<ej 不相交,即P(AAn)=0.另一方面, P(Ak)≠0≠P(An) 故5,不独立 16各阶矩存在也不足以确定分布律 从随机变量的分布函数,可以确定它的各阶矩,但反之不然.实际上,存在着不同 的分布函数,其各阶矩都是一样的 例设随机变量ξ,n分别具有如下密度函数e(x)和fn(x) fe(a) Cexp(-a cos u), 2 >0, x≤0, C[1+sin("cos uT)]exp(a cos u), 2>0, 其中0<u<,C= u(Cos u)/u 显然,fe(x)≠fn(x),故易证两随机变量分布函数不同.但是它们却有相同的各阶 矩 I JE(a)dx= T(*ly T((cos ur)-n/u=/mfn(a)dr 8
KØ,. ~ Ω = [0, 1]§SΩÆX8§PÏ~VÿÝ. ÄXeüÅ Cþ ξ(x) = sin 2πx, η(x) = cos 2πx. ØJ E(ξη) = Eξ = Eη = 0. εv §¦ Aξ = {x : |sin 2πx − 1| < ε}, Aη = {x : | cos 2πx − 1| < ε} ا=P(AξAη) = 0. ,¡, P(Aξ) 6= 0 6= P(Aη). ξ§ηØÕá. 16 Ý3Øv±(½©ÙÆ lÅCþ©Ù¼ê§±(½§ ݧØ,. ¢Sþ§3XØÓ ©Ù¼ê§Ù ÝÑ´. ~ ÅCþξ§η©OäkXeݼêfξ(x)Úfη(x)µ fξ(x) = ( C exp(−x u cos uπ), x > 0, 0, x ≤ 0, fη(x) = ( C[1 + sin(x u cos uπ)] exp(−x u cos uπ), x > 0, 0, x ≤ 0, Ù¥0 < u < 1 2§C = u(cos uπ) 1/u Γ(1/u) . w,§fξ(x) 6= fη(x)§´yüÅCþ©Ù¼êØÓ. ´§%kÓ Ýµ Z ∞ 0 x n fξ(x)dx = Γ(n+1 u ) Γ( 1 u ) (cos uπ) −n/u = Z ∞ 0 x n fη(x)dx. 8