·14· 简明结构化学学习指导第二版 d层n要到=-os严=ar-jo) -(品ng川[（号-）品（血] =子+2in受 o（m警到'ar=r贤=-云-专 【1-14】试用一维势能箱（势阱）中，中与E的表达式，验证式H=E中成立 解：已知 (x)=√sn (1) E-禁 (2) 维势能箱薛定谓方程 然-时 (3) 分别对式(1)求一级与二级导数 能-野√os學 =-()√in受 代人式(3)，得 织盟-器 -器 同式(2)比较，完全一致，即H中=E 【1-15】若在一维宽度为α的势阱中，电子遵循德布罗意关系式，求基态波长为多少？ 解法1：已知一维宽度为a的势际能量E,一矿，基态a=1,势阱中V=0, 求得 p=会合=2a 根据德布罗意关系式 A-2a 解法2：微观粒子的能量E=，一维宽度为口的势际能量E,一品 所以，有 A,一器 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第一章量子力学基础知识 ·15· 胎 已知波长入为 A出 u=20 式中，“为德布罗意波的传播速度，又称相速度；v为粒子的运动速度。 代人上式，有 (1) 粒子的动能 Emgma 求得 品 代入式(1) h X=2m=2a 2 8ma 【110】在长度为1的一维势能箱中，拉子的能量￡-器，若在长度为1=1m的共 轭分子中有一个电子，问n=2和n=1之能级间隔是多少？分别以J,kJ·mol1,eV, cm'表示。 解：已知两相邻能级间隔 △E.=E1-E,=g(2m+1) 对于n=1,l=1nm=109m (6.626×10-4J·s)2 △E,-8x9.0989gx0m×3=1.81×10J △E,=1.81×10-1J×6.022×10mol-1=108.8kJ/mol 108.8kI/mol aE,=96.49Rim01mV==1.13ev aE-i9620.m-9.1ox10cm 【1-17】在某一维势能箱中的电子，观察到最低跃迁频率为2.0×10“s1,求箱子的 长度 解： aE-8点2a+ID 当n=1,有 AE=点X3- 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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·16· 简明结构化学学习指导第二版 -()产-(6x没88-2i8）广-17X10m=1.1nm 3×6.626×10J·8 【1-18】画出一维势能箱中粒子在n=2,n=5时波的中和|中2示意图。 解：一维势能箱的波函数 n=2 %√凭如务 %=号sin22 节点数目n-1=2-1=1 能量 E.aug n=5 4=√sim 片=2sin25平x 节点数目m-1=5-1=4 能量 E.-g5 由4，4，分别对x从0到1作图，得图11。 a 图11一维势能箱图形 五、补充习题解答 1.填空题 (1)一维无限深势阱中的粒子，已知处于基态时，在 处概率密度最大 (2)实物粒子波动性假设由 首先提出来的，实物粒子的波是 波。 (3)德布罗意假设首先由 用 实验证实的。 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除， 不要传播
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第一竟量子力学基础知识 ·17· (4)在一维无限深势阱中，粒子的活动范围宽度增大，能引起体系的能量 (5)Planck提出 ,标志着量子理论的诞生 (6)自由粒子定义为 ，其波函数 答案：(1)；(2)德布罗意，概率；(3)戴维逊和革末，电子衍射；(4)降低(5) 能量量子化：(6)势能为零的粒子，=Aexp[一方(El-rp)] 2.选择题 (1)普通阴极管管径为102m数量级，假如电子的速度为105m·s↓，此时电子的速 度不确定度10‘，可用经典力学处理。若以上其他条件不变，阴极管的管径在哪个数量级 时必须用量子力学处理？ A.约10-7m B.约10-5m C.约10‘m D.约10-2m (2)波恩对波函数提出统计解释：在某一时刻：在空间某处发现粒子的概率与下面哪种 形式的波函数成正比。 A. B.1l2 C.1s D.rylol (3)指出下列条件，哪一个不是波函数的标准化条件？ A.单值 B.连续 C.有限 D.正交归一 (4)微观粒子的不确定关系，如下哪种表述正确？ A.坐标和能量无确定值 B。坐标和能量不可能同时有确定值 C.若坐标准确量很小，则动量有确定值D.动量值越不准确，坐标值也越不准确 (5)波长为662.6pm的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值？ A.105:4515B.273:1 C.135 D.546:1 答案：(1)A;(2)B:(3)D:(4)B:(5)D 3.问答题 ()对光而言，能量m=会，波长入=二，这两公式对实物粒子是否适用，若不适用， 应作何修正？ 答：公式mc=久，A=二，只适用光，因为式中c为光速。不适用于实物粒子。对于光 来说，光子的运动速度等于波的传播速度，都等于光速c。对于实物粒子而言，粒子的运动 速度v不等于德布罗意波的传播速度“，可以证明v=2u。由此可以看出，凡涉及粒子运动 速度有关的物理量如动量p,动能E都选用速度v p=mu E=2m=易 凡涉及与波动速度有关物理量，如入，都选用速度“ 以上是对动量力、波长入公式的修正。 (2)解释原子核外运动的电子为什么不能落到核上？ 答：假设原子核外的电子离核的距离为，随着电子离核越来越近，即？越来越小，它 将从原子的线度10°m,逐渐变到原子核的线度1015m,依不确定关系式(1-2) 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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·18· 筒明结构化学学习指导第二版 △p:≥4xA h 分别代入△x=10°m,△x'=1015m,则有 40,≥gX7-0.53X10"Ns △n≥g2X设0信a53X10-N 可见力，与p的数量级分别为104与101”。 电子的动能为 工=品 式中，m为电子的质量，m=9.11×10"kg,动能数量级分别为 -袋90-14X10 T-g2X000-15x10 从上式计算可知，电子要落到核上，其动能数量级增加10倍，电子没有这样大的能量 来源。因此，电子不能落到核上。 4.计算题 (1)一维无限深势阱中运动粒子的波函数为√气s血”，试计算动量值。 解：已知 4-凭n学 动量算符 五=一h Ay(x)=-h品√气sin"'=-流√"7cos”≠a.(x 上式表明，√s血”严不是算符6，的本征函数，因此不能求得动量P,的确定值，可求平 均值： .=giw=八√in"(h品√号sin"严） =-h2∫sin”严dsin"=-sin"2,=0 (2)解出一维自由粒子在一二~区间的波函数与粒子的能量。 解： +I 维自由粒子的运动如上所示，粒子沿x轴方向运动，坐标点选取一气与气的中点。由于 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除， 不要传播
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