第一章量子力学基础知识 。9。 (c)以10om/s运动的质量为1g的蜗牛。 解：(a)根据德布罗意关系式 (1) 动量力与动能E的关系为 E六p-V成 (2) 式中，m为电子质量，已知电子动能E与电压V、电子电量q的关系为 E=qV 代人式(2) p=√2mgV 所以，有 h 已知电子电量q=1.602×10-C,V=1000kV=10V,将有关数据代人上式，得 = 6.626×10J·s V2X9.109X10-"kgX1.602×10CX10V =1.227×10-12m =1.23pm (b)由式(1)，知 (3) 已知v=1.0m·s1,氢的相对原子质量为1.008，所以氢原子质量 m=1.08X10kg=1.674×10-”kg 6.02×10▣ 因此，可求入 6.626×10-J·s 1=1.674X10kg×1.0m·s7 =3.96×10-7m (c)同(b)的求法相同：已知速度v=10-°m·s1,质量m=1×103kg,代入式 (3),得 =6.626×10-1m =6.63×10-1m 【1-5】试将下面的一些波函数归一化： (a)sin”在0<x<l范围： (b)cx知[-]在三维空间： (o）rexp[-2]在三维空间. 注：在三维空间积分体积元dr=drsinddad邮，0≤r≤∞，0≤≤r,0≤≤2π范围应用 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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·10· 简明结构化学学习指导第二版 exp(-ar)dk=。 解：(a)sin”产在0<x<l范围 已知三角函数sin'a=号(1-cos2a) 根据波函数归一化定义，有 ∫A(sin")'az=a2(1-cos2m平) =含dr-cos2n=(e-2im2n）)儿-=1 因此，系数A为 A=√月 则 √月如学为白-化被面数。 (b)根据波函数归一化定义，有 ∫Aexp[2g]d=1dr=nd,0≤r≤eo,0≤0≤，0≤≤2x)= xfen-]产啡=sinde[-]u 据公式xexp-ar]dr=品，积分上式，得 21 Aix2X2x72 FF-A'xal-1 a 因此，系数A为 A-√a 则√石即[-]为归一化被函数. 1 (c)同(b)的解法 expd sinodoep r 4-A:96xa-1 1 因此，系数A为 /96aexp[一云]为归-化波函数。 【1-6】找出下列各式的绝对值：(a)一2；(b)3-2i;(c)cos0+isin0;(d)xexp[iax]。 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第一章量子力学基础知识 ·11 解：(a)|-21=2 (b)13-2i=[(3-2i)(3+2)]=[(3)2-(2)2]克=√13 (c)[(cos0+isin0)(cos0-isin0)=(cos'0+sin'0)=1 (d)[xexp(iax).xexp(-iax)=(x')= 【1-7】写出下列力学量算符：(a)}；(b)角动量z方向分量L,=x中，一y:· 解：@就=（品）-成影 (b)L.=x币，一p: 已知五.=-hzA,=一hy=x少=y,代人上式 上，=（品）-品）=(x品+y品) 【1-8】下列各函数中何者为算符品及品的本征函数： (a)cosKz;(b)exp [-Kz];(c)exp [iKz];(d)exp[-Kx] 解：(a)根据本征方程的定义 Ap=a吨 式中，a为常数 则 整-4- 式中，b为常数 dcosKx-KsinK dx cosKz≠sinKz 所以不是正的本征函数。 d'cosK=-KcosKx dx 是丧的本征函数。 (b) dexp[-Kz]-Kexp[-Kz] dr 是是的本征函数。 dexp[-Kz]-K'exp[-Kz] 是恶的本征函数 (c) dexp[iKr]-iKexp[iKz] dx 由于K不是常数，所以不是的本征函数。 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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·12· 简明结构化学学习指导第二版 dexgK:-K'expliK] 是是的本征函数。 (d) dexp[-Kz']-2Kzexp[-K:] exp[-Kx2]#xexp[-Kx2] 所以不是的本征函数。 eKexp-K 所以不是是的本征函数。 【1-9】证明一维势阱波函数式[教材式(1-60)门不是动量算符币，的本征函数。 解：已知，=一h品4-√侣如受 由本征函数的定义，则得p:中.=ag,式中，a为常数。 p-h√月n受-=-h咒√月o √os受≠√月如吧 √侣学 所以√气sin”严不是币.的本征函数。 【1-10】已知谐振子势能V=2kx2,写出谐振子稳态薛定谔方程表示式，并说明、中、 E的物理意义。 解： （人-嘉器+r)p- 式中，：为洁振子的折合质量，：%中为谐银子藏函数：E为请报子的能量。 【山】谐振子多态孩函数一（倍）em[-。]。=(学)，试证明为清报子摩定得 方程（题1-10）的解并计算基态能量。 解：由题1-10，得谐振子薛定谓方程 影+r4 (1) 已知谐振子基态波函数 中=()exp[-a'r] (2) 。(学) (3) 仅限读 18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第一章量子力学基础知识 ·13· 张-()(-2az)exp[-a2x] 器-()产[(-2a2)exn[-&r]+4拉rexpl-er] -2o(1-2o'+)(G)exp[-d'z'] 据式(2)简化 =-2a2(1-2a2x2)4 影-2a1-2r3-(层-22x) -[()理] 将式(3)代入 -[(货)-如]中 代入式(1)，得 多（哈）片=4 证明了式(2)是式(1)的解。基态能量为 5=含)-含(a月)=如 式中 w=x图 【1-12】当一质量为1×100kg的粒子处在3×10-°m的一维势阱中，从n=2跃迁到 n=1能级时，求发射光的波长。 解：据相邻能级间隔 E-E.-E.(1) (1) 由于从高能级向低能级跃迁，发射光的能量与从低能级向高能级跃迁吸收光的能量相 等，故也可以按式()计算。取n=1,代人有关数据 (6.626×10-3J·s)2×3 △E,=8x1x10gX3x10m=1.829X10J AE,=hy=hf A=整-626X107898X10m-1.1x10n 1.829X10J 【1-13】(a)一个粒子处在长度为a的一维势能箱（势阱）中，求该粒子基态位于号士 0.001α范围内的概率；(b)对一个具有量子数为n的箱中粒子的定态，写出（不必计算）该粒 子在4一乞之间的概率表达式：()对一箱中粒子的定态，粒子出现在左边的概率是多少？ 解：(a)对于4-0.001a≤x≤：+0.001a范围几乎为无穷小，并取6z=0.002a进行 计算，已知一维势能箱波函数为√气sn学，因为基态m=1,对于本题1=a,所以 Ψx=(W月sin-)/6x=[2sim(×号)]×0.02a=2×号×0.02a=0.002 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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