实现多变量自校正调节的一种方法

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1982.01.005 北京钢铁学院学报 1982年第4期 实现多变量自校正调节的一种方法 自动控制教研室舒迪前刘立 摘 要 本文从建模方法出发，讨论了实现多变量自校正调节的一种方法。采用适当的 模型类型，可以直接用解析法计算最小方差控制律，并在自校正调节时，使需要在 线辨识的参数个数减少，便于在小型机上实现实时控制。用此法对电加热炉进行控 制的结果表明：其控制精度较PID和LQG法为高。 一、引 言 受随机干扰的生产过程的控制问题，已提出过多种方法，常用的有经典的PID调节器， 应用现代控制理论的基于二次型高斯问题(LQG问题)的设计的最优控制器等，但所有这 些方法的共同问题是当模型的参数随着时间的推移而缓慢变化时，控制器的参数不能作相应 的修改，从而影响了控制效果。此外应用LQG方法设计控制器时，需要解非线性Riccati方 程，算法复杂。 Peferka,v(1970)【1和Astro m,K.J.(1973)【21提出的自校正调节器，Clarke, D.W.【)提出的自校正控制器为解决线性系统在随机干扰下的控制问题，提供了一种简单 可行的方法，它不要求对系统噪声的准确估值，采用递推算法在线辨识参数，即可直接得到 能适应过程模型参数缓慢变化的调节器参数，使被控系统输出方差为最小。此法近年来在一 些单变量系统中已有应用，如造纸机、矿石粉碎机、三十多万吨超级油轮的自动驾驶仪、醋 酸蒸发器等。 对于多变量系统的自校正调节器，则讨论得较少一些，Astro m只推导了单变量系统 自校正调节器最小方差控制律的算法I),Keviczky,L.(1977))和Borison,ULF, (1979)【6]将其推广到多变量系统，但多变量自校正调节器在工业上的应用，则尚不多 见【11。本文从适当选择模型类型，离线拟合一便于分解成多个系统的模型出发，讨论多变 蓝最小方差控制律的计算及自校正调节器在电加热炉上的一种实现方法。 二、多变量系统的最方蓉控制 自校正调节器推算到多变量系统时，要求仍然保持单变量系统中的算法简单，便于在线 辨识控制的特点，基于这-想法，就要求我们选择适当的模型类型(TyP)找到一种能将 所研究的多变继系统分解为多个单变量子系统，面山每个子系统所要辨识的参数个数较少， 36

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 期 实现多变量 自校正调节的一种方法 自动控制教研 室 舒 遭前 刘 立 摘 要 本 文从建 模方 法 出发 ， 讨 论 了实 现 多变量 自校正 调 节的一 种方 法 。 采 用适 当的 模型 类型 ， 可 以直接用 解 析法计算 最小方差 控制律 ， 并在 自校正 调 节时 ， 使铸要在 线 辨识 的参数个 数减少 ， 便 于在 小 型机上 实现实 时控制 。 用 此法对 电加 热炉进 行控 制的结果 表明 其 控制精度较 和 法 为高 。 一 、 引 言 受 随机干扰 的生产 过 程 的控 制 问题 ， 已提 出过 多种方 法 ， 常用 的 有经典的 调 节器 ， 应用 现代控 制理 论的 荃 于二 次 型 高 斯 问题 问题 的 设 计 的 最 优控 制 器等 ， 但所 有这 些方 法的共同 问题是 当模型 的 参数随 着时 间的推 移而缓 慢变 化时 ， 控 制器 的 参数不能作相 应 的 修改 ， 从而影响 了控 制 效果 。 此 外应 用 方 法 设计控 制 器 时 ， 需 要解非线性 方 程 ， 算法 复杂 。 ， 一 工“ 和 ， “ 提 出的 自校正调节 器 ， ， 〔 〕 提 出的 自校 正控 制 器为 解决线性 系统 在随机 干扰 下的控 制 问题 ， 提供 了一种简单 可 行的方 法 ， 它 不 要求对系统噪声 的 准确估值 ， 采 用递推 算法在线辨识 参数 ， 即可直接得 到 能适应 过 程 模型 参数缓 慢 变化的 调节器 参数 ， 使被控 系统输出方差为最小 。 此 法近 年来 在一 些 单变量 系统中已有应 用 ， 如造纸机 、 矿石 粉碎机 、 三 十多万 吨超级 油轮的 自动 驾驶仪 、 醋 酸蒸发 器等 。 对于 多变量 系统 的 自 校 正 调节 器 ， 则讨 论得 较 少一 些 ， 只推导 了单变量 系统 自校正 调节器 最小方差控 制律 的算法 ‘ ， ， 毛 和 ， ， “ 将其推 广 到 多变量 系 统 ， 但多 变 量 自 校正调 节器 在工 业 上的应用 ， 则尚不多 见 ‘ “ 。 本 文从适 当选 择模型 类型 ， 离线拟 合一便 于 分解成多个系统 的 模型出发 ， 讨论多变 虽 最 小方 差控 制律的计 算及 自校 正调 节 器 在 电加 热炉 上的一种 实现方 法 。 二 、 多变 量 系统的最 、 方 左 控 制 自校正调 节器推 算到多变量 系统 时 ， 要求仍然保持单变量 系统 中的 算法简单 ， 便 于 在线 辨识控 制 的特点 ， 摧 于这 一 想 法 ， 就 要求我 们选 择适 当的 模型 类型 找到一种 能将 听研 究 的 多 变 量 系统 分解为 多个 单变量 子 系统 ， 而且每 个子系 统所 要辨 识 的 参数 个数较 少 ， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1982．04．005

计算最小方差控制律简单的数学模型。SinHa,H.K.(1977)1]曾提出过应用Rosen- brock,H.H.的反乃氏阵(In verse Ny quist Arrag)法7I,将系统变换为主对 角线占优、偶合为最小的多个子系统，然后再应用Astro m所提出的求单变量系统最小方 差控制律的算法计算各子系统的最小方差控制律，应用这一方法的缺点是需要将已拟合的多 维模型进行变换，增加了计算工作量，对实际应用不便。如能通过离线辨识直接建立一偶 合较少又便于计算最小方差控制律的模型，则对工程上的实际应用是有利的。实际上由于多 变量系统中参数的个数较多，参数之间的偶合关系比单变量系统的要灵活些，因此完全可以 先固定一部份参数，再去拟合另一部分参数，这从应用的角度来看是可行的。为此我们选择 一个输出向量y(k)的系数阵为对角阵的CARMA模型来作为被控对象的数学模型。即， a1(1) a(2) 0 +(n）yk-+( y(k-2)+…+ a。(1) a。2) a1(a) b…bg +(、)yk-)=（ gn0tg u(k-1-1)+…+ 0 ap (a) b…b9) ba…be) c,1 )uk--n-D+e)+（ e(k-1)+… bsi)...bsg) cfa) 0 e(k-n) (1) 0 cfa) 简写成： A(Z-1)y(k)=Z-IB(Z1)u(k-1)+C(Z1)e(k) (2) 式中y(k)为P维输出向量，u(k)为P维输入控制向量，{(k)}为一随机干扰，为一均值为 零，方差为R,相互独立的高斯白燥声序列，为系统的滞后时间，乙~1为向后移算子， A(Z)=I+AiZ.+AnZ B(Z-1)=B。+B:Z-1+…+BnZ-n C(Z-I)=I+CZ+.+CnZ- (3) 这里A1…An,CCn为对角阵。 为了保证当系统的参数波动时，闭环系统仍能稳定的工作，要求detB(Z-1),detC(Z) 的所有零点均在Z平面的单位园内。 这类拟合模型的最小方差控制律，可以仿照单变量系统的最小方差控制律计算，将原系 统(1)式分解为P个子系统有： a,(Z-1)y,(k)=Z-1B)(Z-1)u(k-1)+C,(Z-1)心，(k) (i=1,2…p) (4) 式中 a:(Z-1)=1+af1Z-1+…+afnZ-a C:(Z-1)=1+C1Z-1+C4nZ-n B(1)(Z-1)为B(Z-1)中相应的第i个行向量 计算最小方差控制律的性能指标为使下列损失函数为最小，即 V=minE{(y(k+1+1)-y,(k+1+1))〔y(k+1+1)-y,(k+I+1) u(k) (5) 37

计算最小方差 控 制 律 简单的数学模 型 。 ， “ ’ 曾提 出过应用 。 ， 的 反 乃 氏 阵 法 ’ ， 将 系统 变换 为主对 角线 占优 、 偶 合为最 小 的 多个子 系统 ， 然后 再应用 所提 出的求单变最 系统最 小方 差控 制律的 算法计 算 各子 系统 的 最 小方 差 控 制 律 ， 应用 这一方 法的缺点是 需要将 巳拟 合的 多 维模型进 行 变换 ， 增加 了计 算工 作量 ， 对实 际应用 不便 。 如能通 过 离 线 辨识 直 接建立一偶 合较少又便 于计 算最 小方 差控 制律的模 型 ， 则对工 程 上的 实际应用 是 有利 的 。 实际 上 由于 多 变量 系统 中参数 的 个数较 多 ， 参数之 间 的偶 合关系 比 单变量 系统 的要 灵 活些 ， 因此 完 全可 以 先 固定一部份 参数 ， 再去拟合 另一部分 参数 ， 这从 应 用 的角度来看是可 行的 。 为此 我们选 择 一个输 出 向量 的系数 阵为对角 阵的 模 型来 作为被 控 对 象的数学 模型 。 即 ， 卜 ，’ 一 … … 一 二 、 一 叹 ’ 圣 忿 … 、 ， 、 一 “ 一 一 十 … … ， 乏全 … 竺’ … 若君 ’ … … … … · 一 ‘一 二 ‘ ，· 之 ’ ‘ ， 、 · ‘ 一 · … ‘ 卜 一 ’ 、、、 荟 “ 一 一 。 、 奋 一 ‘ 简写 成 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 一 ， 式 中 为 维输 出向量 ， 为 维 输入 控 制 向量 ， 仕 为一 随机干扰 ， 为一均值为 零 ， 方差 为 ， 相 互 独立的 高斯 白燥 声 序 列 ， 为系统的 滞后 时间 ， 一 ‘ 为 向后 移算子 ， 一 ’ 一 ， … 。 一 一 ‘ 一 ’ … 。 一 一 ‘ 一 ， … 一 这里 … 。 ， … 为 对角 阵 。 为 了保证 当系统 的 参数 波动 时 ， 闭环 系统仍能稳 定 的工 作 ， 要 求 。 一 ‘ ， 一 ’ 的 所有零点 均 在 平面 的 单位 园 内 。 这 类拟合模 型 的 最 小方 差 控 制律 ， 可 以 仿照 单变量 系统 的 最 小方 差 控 制律 计 算 ， 将原 系 统 又 式 分 解为 个子 系 统 有 ‘ 一 ‘ ‘ 二 一 乞》 一 ‘ 一 ‘ 一 ， 。 ‘ ， … 式 中 ‘ 一 ， ‘ ， 一 ‘ … ‘ 。 一 ‘ 一 ‘ ‘ 一 二 … ， 。 一 ‘ ， ’ 一 ‘ 为 一 ’ 中相 应 的 第 个 行 向量 计算最 小方差 控 制律 的性 能指标为使下 列 损 失 函数为最 小 ， 即 〔 一 ， 〕 ， 〔 一 ， 〕

式中 y,(k+1+1)为k+1+1时刻的输出参数向量 引入下列恒等关系式 C,(Z-1)=a,(Z-1)f:(Z-1)+Z-1-1g:(Z-1) i=1,2…P（6) f,(Z1)=1+f,1Z-1+…+f,Z1 g1(Z-1)=g:0+g1Z-1+…+g1,-1Z-n+1 将原子系统(4)式改写为 1+w=B+径号k+1+ (7) 将(6)式代入(7)式消去C(Z1),并经简单运算后有 yk+1+1D=f.(2e,k+1+1+&y:)+f2C2"Z-u(k) C,(Z-) (8) 将上式代入(5)式，取损失函数的极小值，并考虑到随机燥声，(k+1),e,(k+2),… ei(k+】+1)与y,(k),y:(k-1),…u(k-1)…相互独立，则系统的最小方差控制律便可 求出为： (Zu(k)= k+1+w-y.] i=1,2,…P (9) 改写成 uk=B,{aag(号，） [y.k+1+w-diag(…是经)] (10) 当输出参考电压y,(k+【+1)=0时，最小方差控制律为： u(k)=-B。 ia径号影径号)y)+2Buc] 损失函数的极小值便为 (11) V=1+f,+2++f,) (12) 1=1 可以看出：将被控对象模型拟合成A(Z1)为对角阵的CARMA模型时，可以仿照单变 量方法求解最小方差控制律，进行自校正调节时，需要辨识的参数个数也可减少，对在小型 机上实现在线控制有利。 三、自校正调节器 当系统模型的参数已知时，自校正调节器直接进行最小方差控制，当模型参数未知或缓 慢变化时，自校正调节器则把参数辨识与最小方差控制两者结合起来，根据对象输入输出数 38

式 中 ， 为 时 刻的输出参数 向量 引入 下列 恒等关系式 ‘ 一 ‘ ‘ 一 ’ ‘ 一 ‘ ‘ 一 ’ 一 一 ’ ‘ 一 ‘ ‘ 一 ‘ … 门 一 ’ ， 二 ‘ 一 ’ ‘ 。 ‘ 一 ‘ … ‘ ， 。 一 ‘ 将原 子系统 式 改写为 ‘ 二 一 ‘ ‘ 一 ‘ ‘ 一 ‘ 气‘ 声 十 一一一丁二二二二二， 八 十 八 乙 ‘ 将 式 代入 式 消去 ‘ 一 ‘ ， 并经简 单运 算后 有 “ ， ‘ ， “ ‘ 一 ，一 ‘ ， ‘ ， 彭罕告 “ ， ‘ 一 ‘ 一 ， ‘ 一 ’ 将上式 代入 式 ， 取 损失函数的 极小 值 ， 并考虑 到随机燥声 、 ， ‘ ， … ‘ 与 ‘ ， ‘ 一 ， 一 一 … 相 互 独立 ， 则 系 统 的最 小方差 控 制律便 可 求出为 一 ， 一 了、 怪 、了 ‘ 补粼〔 、 ‘ · ‘ · ‘ ，一 台丹 ， ， … 改写成 ” 。 一 ’ ‘ · 一 ‘ 一 ‘ 几 兰 二兰、 一 ‘ 〔 ‘ · ‘ · 卜 一 熟冬告 一 刁 一 ，· 熟令加 〕 当输 出参考 电压 二 时 ， 最 小方 差控 制律为 · ‘ ， 一 。 一 〔 ‘ 一 一 ‘ 贫灭艺二万 … …’ 红些二生一 ‘ 卜 乞 一 ，· 〕 损失函数 的极小值便为 二 ‘ 刀 卜 ‘ ‘ … ‘ ，， 可 以看出 将被控 对象模型拟合成 一 ‘ 为对角阵的 模 型 时 ， 可 以仿照 单变 最 方 法求解最 小方 差控 制律 ， 进 行 自校正 调节 时 ， 需要 辨 识 的 参数 个数也可减 少 ， 对在小型 机 上实现在线 控 制 有利 。 三 、 自校正 调 节器 当系统模型 的 参数 已知 时 ， 自校 正调 节器直 接进 行最 小方差 控 制 ， 当模型 参数未知 或 缓 慢 变化时 ， 自校 正 调节器 则把 参数辨 识 与最 小方差 控 制 两者 结合起来 ， 根据 对象输入 输 出数

据按递推最小二乘法直接为控制器在线辨识参数，然后按一定等价原理用估计参数代替系统 真实参数，按使输出方差为最小的控制律进行闭环控制。 为了直接通过辨识获得自校正调节器的参数，而不需再反复应用(6)式演算起见，一 般把原系统模型(3)式写成类似于(11)式的予报模型形式： y(k+1+1)+A*(Z)y(k)=B◆(Z-1)u(k)+e(k+1+1) (13) 直接对上述模型应用递推最小二乘法在线辨识参数，即可获得实现最小方差控制的控制器参 数，式中{e(k+I+1)}即最小二乘估计的残莹。显然可以看出：由于y(k)的系数多项式矩 阵A◆(Zˉ)是对角阵，故所需要辨识参数的个数比非对角阵的要少些，减少辨识参数的个数 为n×P(p-1),例如付一个四阶3维系统此数为4×6×(5-1)=120。 最小方程控制律可以仿照(9)式直接写出： B◆(Z-1)u(k)=A◆(Z1)y(k) u(k)=B。1〔A◆(Z1)y(k)-B,◆u(k-1)… -Bm◆u(k-m)) (14) 用估计参数A,·…,A·B,,合。代替系统真实参数A。,…A,B,,…B。,即 可求得最小方差控制器的参数了。 利用递推最小二乘法对多变量系统进行参数估计时，将系统分解为P个子系统进行，估 计每个子系统参数，的递推最小二乘算法如下： 合，(k)=,(k-1)+K:(k)〔y:(k)-p,T(k-1-1)6:(k-1) -uT(k-1-1)B。i)T(k-1) P:(k-1)p:(k-I-1) K.(k)=a+o(k--D)P.(k-1)o(k-1-1) P(k)=& P,(k-1)-Pk-19(k-1-1)pTk-1-0P,(k-1-1) a+p:T(k-1-1)P,(k-1)p:(k-1-1) 式中 0,a(ao),…a),b,…,bg,…bm,…bg)T p,T(k+1+1)e〔-y,(k-1-1),…,-y,(k-1-1-n), uT(k-1-2),…,uT(k-l-1-m) 由于闭环系统的可辨识性要求，一般令B。不参加辨识，.事先给定，α为渐消记忆因子。 四、多变量自校正调节器实现的实例 我们将上述方法应用在电加热炉的控制上，仿真与实时控制均较好。 1.电加热炉原理图如图1所示，为一双 输入双输出系统，用伪随机码通过相关分析法 离线建立数学模型，采样间隔T。取为5分钟。 为了便于对比，曾建立了A(Z1)为对角阵和 非对角阵的两种模型。 (1)A(Z-1)为对角阵模型 。y2 为了获得模型的阶和时延，分别离线拟合 了一阶、二阶、三阶等几种模型，用损失函数 图1 39

据按递推 最小二 乘法直接为控制器 在线辨 识 参数 ， 然后 按一定等价原 理 用估计 参数 代替系统 真实参数 ， 按 使输 出方 差 为最 小的 控 制律 进 行闭环 控 制 。 为 了直 接通 过 辨 识 获得 自校 正调 节 器 的 参数 ， 而 不需再反 复应 用 式 演算起 见 ， 一 般把原 系统 模型 式 写 成 类似 于 式 的 予报模 型形式 一 ‘ 一 ‘ 直 接 对 上述模 型 应 用递推 最 小二 乘 法 在线辨 识 参数 ， 即可 获得 实现最 小方差控 制的 控制 器 参 数 ， 式 中杠 即 最 ，二 乘 沽计的残 荃 。 显 然可 以 看 出 由于 的 系数多项式矩 阵 一 ‘ 是 对角 阵 ， 故所 需要辨 识 参 数 的 个数 比 非对角 阵的 要少些 ， 减 少辨 识 参数的个数 为 一 ， 例 姐 讨一 个四 阶 维 系统 比 数为 一 。 最 小方 程 控 制律可 以仿 照 式直 接写 出 一 ‘ 一 ‘ 。 ‘ 〔 一 ‘ 一 一 一 一 〕 用估计 参数 尤 。 … ， 完 ， 仓 ，气 宜 。 代替系统真实 参数 。 ， … 。 ， … 二 ， 即 可 求得 最 小方 差 控 制 器 的 参数 了 。 利用 递推 最 小二乘法对多变量 系统进 行 参数估计 时 ， 将 系统分 解为 个 子 系统进 行 ， 估 计每 个子 系统 参数 ‘ 的递 推 最 小二 乘算法如下 言 ‘ 矿 ‘ 一 ‘ 〔 ‘ 一 甲 ‘ 一 一 言 ‘ 一 ， 一 一 一 日 。 ‘ ’ 一 〕 ‘ 一 甲 ‘ 一 一 印 ‘ 一 一 ‘ 一 甲 ‘ 一 一 一，‘ ‘ ‘ 十〔 “ 卜 ‘ ， ‘ 一 甲 ‘ 一 甲 ‘ 一 一 甲 ‘ 一 一 ‘ 一 一 一 ‘ 一 甲 ‘ 一 一 〕 式 中 ‘鑫 乒 。 ， … ” ’ ， 【 ’ ， … ， 矛右 ， … 乒 ， … 矛 甲 ‘ 丁 鑫 〔 一 ‘ 一 一 ， … ， 一 ， 一 一 一 ， 一 一 ， … ， 一 一 一 〕 由于 闭环 系统 的可 辨 识 性 要求 ， 一 般令 日 。 不 参加辨 识 ， 事先给定 ， 为渐 消记忆 因子 。 四 、 多变量 自校正 调 节器 实现 的实例 我们将上述方 法应 用在 电加热炉的控 制 上 ， 仿真 与 实时控 制均较 好 。 电加热炉原理 图如 图 所示 ， 为一双 输入 双 输出系统 ， 用伪 随机 码通过 相关分析 法 离线建立数学 模型 ， 采样 间隔 。 取 为 分 钟 。 为 了便 于 对 比 ， 曾建立 了 一 ‘ 为对 角阵 和 非对角 阵的 两种模型 。 一 ‘ 为对角 阵模型 为 了获得模 型 的 阶和 时延 ， 分 别 离线 拟 合 了一 阶 、 二 阶 、 三 阶等 几 种模型 ， 用 损失 函 数 图 汤古叱二人

和残差相关检验等两种方法 N r.(t)= N (t)8(t+T) t=l N e(T)= e(t)u(t+7) t=1 对模型进行了阶的检验，确定为二阶离散差分方程模型，检验了残差的相关性，故选 C(Z-1)=1,即： (I+A,Z-1+A2Z-2)y(k)=Z-1(B。+B,Z1)u(k-1)+e(k) 延迟时间1的选取，则既要考虑到损失函数小，又要看是否为最小相位系统，当1！=0时， 所建模型经检验为非最小相位系统，因此取1=1，此时损失函数稍有增加，当1=1时的模型 参数如下： -0.3345 0 -0.4143 0 A1= A= 0 -0.3490 0 -0.4258 0.3056 0.1996 0.0362 0.0973 B。= 1= 0.2512 0.2337 0.0480 0.0998 其损失函数： 120 eT(k)e(k)=1817339 k=1 （2)A(Z1)为非对角阵模型 用同样的方法拟合得二阶模型如下： (I+A:Z-1+A2Z-2)y(k)=Z-1(B。+B,Z-1)u(k-1)+c(k) 其中 -0.06930 -0.13517 -0.17917 -0.37926 A1= A2=（ 0.08242 -0.12255, -0.17921 -0.37889 0.35845 0.20995 0.09168 0.09971 0.35626 0.21110/, 0.08967 0.10109 其损失函数 120 VN= >1eT(k)e(k)=1481645 k=1 上述结果表明：将A(Z)拟合为对角阵模型，其残差平方稍有增加，但为便于工程 应用，仍选A(Z1)为对角阵模型。 2.最小方差控制律的计算 由于1=1，n=2,m=1,有 a,(Z-1)=1+a11Z-1+1,272 C,(Z)=1 由恒等式(6)：C,(Z-1)=a,(2-1)f,(Z-1)+7-1+g:(Z-1) 其中 f,(2-1)=1+f1Z-1,g:(Z)=g0+g:Z1 40

和 残差相关检验等两种方 法 二 · 诵 一 刀 · ， · “ · 二 · 卜 一 祷 一 刀 · ‘ · ‘ · 对模型 进 行 了阶 的检验 ， 确定 为二阶 离 散 差 分 方 程 模 型 ， 检 验 了 残 差 的相关性 ， 故选 一 ， ， 即 一 ‘ 一 么 一 ， 。 ， 一 ‘ 一 延迟时 间 的选取 ， 则 既要考虑到损失 函数小 ， 又要 看是 否为最小相位 系统 ， 当 时 ， 所建模型 经检验为非最 小相 位系统 ， 因此 取 ， 此 时损失 函数稍有增 加 ， 当 时 的模型 参数如下 、矛、 妞叮 一 于 、飞， 一 一 一 一 了、、产 一 、 二 一 ， 、 ‘、 、 、 目” 一 其 损失函数 一 刀 二 。 一 ‘ 为非 对角 阵模 型 川 同样 的方法 拟合得二阶模型 如下 一 一 ， 一 一 ‘ 。 一 ‘ 一 了龟、 一 其 中 一 一 一 一 一 · 苦、、 一 ， 、了、 一 一 一 、 、 一 、、 其 损失函数 刀 上述结 果 表 明 将 一 ’ 拟 合为对角 阵模型 ， 其残差 平方 札 稍有增加 ， 但为便 于工 程 应 用 ， 仍选 一 ’ 为对角阵模型 。 最 小方 差 控制律的计 算 由于 ， ， ， 有 ， 一 ‘ 门 一 ’ 。 一 ‘ 一 ， 由恒等式 ‘ 一 ‘ 二 ‘ 一 ， ‘ 一 ’ 一 ’ 一 ， 一 ‘ ‘ 一 ， 门 一 ‘ ， ‘ 一 ， 二 ‘ 。 ‘ 一 ‘