注意: M=r×F (1):合外力力矩等于各力的力矩 的代数和; M (2):质点系内力的力矩和为零 (3):M>0,和力矩的方向沿OZ轴 正向;反之沿OZ轴负方向; F 大小:M= rF sin e=Fr M→方向:垂直于和F组成的平面, 服从右手螺旋法则
11 M = r F = = ⊥ 服从右手螺旋法则。 方向：垂直于 和 组成的平面， 大小： r F M rF F r M sin x y z m r F o ⊥ r M F⊥ 注意: (1):合外力力矩等于各力的力矩 的代数和; (2):质点系内力的力矩和为零; (3):M>0,和力矩的方向沿OZ轴 正向;反之沿OZ轴负方向;
[例]质量为m,长为L的细杆在水平粗糙桌面 上绕过其一端的竖直轴旋转,杆与桌面间的摩擦系 数为μ,求摩擦力矩。 1)杆的质量均匀分布 2)杆的密度与离轴距离成正比 解1)dm ar df= odmg dM=-rdf M=dM=-r ar uml 2 12 0
12 [例] 质量为 ，长为 的细杆在水平粗糙桌面 上绕过其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系 数为 ，求摩擦力矩。 1) 杆的质量均匀分布 2) 杆的密度与离轴距离成正比 m L o dm f d z r 解1） r L m dm = d df = dmg dM = −rdf g r mgL L m M M r L 2 1 d d 0 = = − = −
解2)设杆的线密度=kr dm=adr= krdr 由m=「dm=「krdr=kL2 2 0 2m 得k 2 df= dmg ang dM=-rdf M=dM=-=mrdr=-fuamgL 0 13
13 解2） dm = dr = krdr 设杆的线密度 = kr 2 2 0 2 2 1 d d L m k m m k r r k L L = = = = 得 由 r r L mg f mg d 2 d d 2 = = dM = −rdf r r mgL L mg M M L 3 2 d 2 d 0 2 2 = = − = − o dm f d z r
刚体的定轴转动定律 F:外力E:内力 将外力和内力分别投影到质点处的切向和 法向两个方向由于法向方向的分力通过了 Am O点故其力矩和为零在切向方向由牛顿第\刚体 二定律有: F:+F=△ △mFf 两边各乘万F+F1,=△mB定 对所有的质点求和有: ∑F+∑码=∑(△m2)B 内力的力矩和为零令:J=∑h2m J转动惯量
14 二、刚体的定轴转动定律 Fj :外力;Fi :内力 将外力和内力分别投影到质点处的切向和 法向两个方向,由于法向方向的分力通过了 O点,故其力矩和为零,在切向方向由牛顿第 二定律有: 刚体 定轴 • z Δmi ri Fi Fj O Fj + Fi = mi ai = mi ri 两边各乘 i r 2 j i i i i i F r + F r = m r 对所有的质点求和有: + =( ) 2 j i i i i i F r F r m r 内力的力矩和为零,令: = i i mi J r 2 J:转动惯量
M.=JB刚体定轴转动定律 转动定律:刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩 成正比,与刚体的转动惯量成反比 比较 mn是物体平动惯性的量度。 F J是物体转动惯性的量度 M.=JBF改变物体平动状态的原因 M.改变物体绕轴转动状态的原因 15
15 比较 = = M J F ma z J 是物体转动惯性的量度。 m 是物体平动惯性的量度。 改变物体平动状态的原因 M z F 改变物体绕轴转动状态的原因 转动定律:刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩 成正比,与刚体的转动惯量成反比. Mz = J 刚体定轴转动定律