2.3等差数列的前n项和(1) 学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程,体验从特殊 到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a,d,n,a,S 的关系,能够由其中三个求另外两个 问题导学 知识点一等差数列前n项和公式的推导 思考高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出 了等差数列前100项的和.但如果是求1+2+3+…+n,不知道共有奇数项还是偶数项怎么 答案不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问 设S=1+2+3+…+(m-1)+n 又S2=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1, ∴2S=(1+n)+[2+(m-1)]+… +[(m-1)+2]+(n+1) ∴2S=n(n+1), s-n n+- 梳理“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和,其方法如下: Sn=a1+a+a3+…+a-1+a a+(a+d+(a+2d+…+[a+(m-2)d+[a+(n-1)d S,=a,taa-1+aa-2+.+a2+a a+(a-d+(a-2d+…+[an-(n-2)d+[an-(m-1)d 两式相加,得2S=n(a+an) 由此可得等差数列{an}的前n项和公式S2= 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d, n n-1 代入上式可得S2=ma+ 知识点二等差数列前n项和公式的特征 思考1等差数列{a}中,若已知a=7,能求出前3项和S吗? 3a+ 答案S 思考2我们对等差数列的通项公式变形:an=a+(m-1)d=dm+(a-d,分析出通项公式
2.3 等差数列的前 n 项和（1） 学习目标 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊 到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量 a1，d，n，an，Sn 的关系，能够由其中三个求另外两个． 知识点一 等差数列前 n 项和公式的推导 思考 高斯用 1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50 迅速求出 了等差数列前 100 项的和．但如果是求 1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么 办？ 答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问 题： 设 Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， 又 Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1， ∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋… ＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)， ∴2Sn＝n(n＋1)， ∴Sn＝ n n＋1 2 . 梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前 n 项和，其方法如下： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]； Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1 ＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]． 两式相加，得 2Sn＝n(a1＋an)， 由此可得等差数列{an}的前 n 项和公式 Sn＝ n a1＋an 2 . 根据等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d， 代入上式可得 Sn＝na1＋ n n－1 2 d. 知识点二 等差数列前 n 项和公式的特征 思考 1 等差数列{an}中，若已知 a2＝7，能求出前 3 项和 S3 吗？ 答案 S3＝ 3 a1＋a3 2 ＝3× a1＋a3 2 ＝3a2＝21. 思考 2 我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式
与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下S=ma1+ d吗? 答案按n的降幂展开S=m+2d=元2+(a-)n是关于n的二次函数形式,且 常数项为0. 梳理等差数列{a}的前n项和S,有下面几种常见变形: an+ (1)S (35=2n+(a-5(S是公差为的等差数列 知识点三等差数列前n项和公式的性质 思考如果{an}是等差数列,那么a+a+…+通0,ah1+a2+…十,a+2+…+a0是等 差数列吗? 答案(a1+a2+…+a0)-(a1+a2+…+a) 10d+10d+…+10d=100d,类似可得 0个 (a1+a2+…+a3)=100d ∴a+a+…+ +a0是等差数列 梳理(1)S,Sn,Sn分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则S,S-S, S-S2n也成等差数列,公差为md (2)若等差数列的项数为2n(n∈N),则S2=D(a+ax),且S偶-Sa=d, (3)若等差数列的项数为2m-1(n∈N), 则S-1=(2m=1)a,且S含-S=a,Sa=Bn,Sg=(n-1)·么,S= 2题型探究 类型一等差数列前n项和公式的应用 命题角度1方程思想 例1已知一个等差数列{a}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗?
与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下 Sn＝na1＋ n n－1 2 d 吗？ 答案 按 n 的降幂展开 Sn＝na1＋ n n－1 2 d ＝ d 2 n 2＋(a1－ d 2 )n 是关于 n 的二次函数形式，且 常数项为 0. 梳理 等差数列{an}的前 n 项和 Sn，有下面几种常见变形： (1)Sn＝n· a1＋an 2 ； (2)Sn＝ d 2 n 2＋(a1－ d 2 )n； (3)Sn n ＝ d 2 n＋(a1－ d 2 )({Sn n }是公差为d 2 的等差数列)． 知识点三 等差数列前 n 项和公式的性质 思考 如果{an}是等差数列，那么 a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30 是等 差数列吗？ 答案 (a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10) ＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10) ＝10 10 10 0 ＋ ＋…＋ 1 个 d d d ＝100d，类似可得 (a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d. ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋… ＋a30 是等差数列． 梳理 (1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则 Sm，S2m－Sm， S3m－S2m也成等差数列，公差为 m 2 d. (2)若等差数列的项数为 2n(n∈N * )，则 S2n＝n(an＋an＋1)，且 S 偶－S 奇＝nd， S奇 S偶 ＝ an an＋1 . (3)若等差数列的项数为 2n－1(n∈N * )， 则 S2n－1＝(2n－1)an，且 S 奇－S 偶＝an，S 奇＝nan，S 偶＝(n－1)·an， S奇 S偶 ＝ n n－1 . 类型一 等差数列前 n 项和公式的应用 命题角度 1 方程思想 例 1 已知一个等差数列{an}的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1 220，由这些条件能确 定这个等差数列的前 n 项和的公式吗？
解方法一由题意知S0=310,S0=1220, 将它们代入公式S=ma+201 10ah+45d=310, 得到 20a1+190d=1220 =4 解方程组得 Sn=n×4 ×6=3n+n 2 方法二S0 310→a+a0=62, 1220→a+a20=122 ②一①得a0-a0=60 ∴10d=60, ∴d=6,a=4. n n-1 SR d=3n2+n. 反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时,要注意方程思想和整体思想的运 用 (2)构成等差数列前n项和公式的元素有a,d,D,a,S,知其三能求其二 跟踪训练1在等差数列{a》}中,已知d=2,a=11,Sn=35,求函和n 2×2=35, n=5, 7=7 解方程组得 命题角度2实际应用 例2某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1150元,购买当天先付150元,以后 每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算 分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电 实际花费多少钱?
解 方法一 由题意知 S10＝310，S20＝1 220， 将它们代入公式 Sn＝na1＋ n n－1 2 d， 得到 10a1＋45d＝310， 20a1＋190d＝1 220， 解方程组得 a1＝4， d＝6. ∴Sn＝n×4＋ n n－1 2 ×6＝3n 2＋n. 方法二 S10＝ 10 a1＋a10 2 ＝310⇒a1＋a10＝62， ① S20＝ 20 a1＋a20 2 ＝1 220⇒a1＋a20＝122， ② ②－①得 a20－a10＝60， ∴10d＝60， ∴d＝6，a1＝4. ∴Sn＝na1＋ n n－1 2 d＝3n 2＋n. 反思与感悟 (1)在解决与等差数列前 n 项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运 用； (2)构成等差数列前 n 项和公式的元素有 a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二． 跟踪训练 1 在等差数列{an}中，已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1 和 n. 解 由 an＝a1＋ n－1 d， Sn＝na1＋ n n－1 2 d， 得 a1＋2 n－1 ＝11， na1＋ n n－1 2 ×2＝35， 解方程组得 n＝5， a1＝3 或 n＝7， a1＝－1. 命题角度 2 实际应用 例 2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为 1 150 元，购买当天先付 150 元，以后 每月的这一天都交付 50 元，并加付欠款利息，月利率为 1%.若交付 150 元后的一个月开始算 分期付款的第一个月，则分期付款的第 10 个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电 实际花费多少钱？
解设每次交款数额依次为a,a2,…,a0, 则a1=50+1000×1%=60(元) a2=50+(1000-50)×1%=59.5(元), ao=50+(1000-9×50)×1%=55.5(元), 即第10个月应付款55.5元 由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列 所以有易60+60-19×0.5×20=105(元) 即全部付清后实际付款1105+150=1255(元) 反思与感悟建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和 项数.本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解. 跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2m,以后 每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟 走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 解(1)设n分钟后第1次相遇,依题意 有2n+2m1+5m=70,整理得+13n-140=0 解之得n=7 20(舍去) 所以第1次相遇是在开始运动后7分钟 (2)设n分钟后第2次相遇,依题意, 有2n+ 2+5n=3×70, 整理得n+13n-420=0. 解之得n=15,n=-28(舍去) 所以第2次相遇是在开始运动后15分钟 类型二等差数列前n项和的性质的应用 例3(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{a}的前3m项的和Sn (2)两个等差数列{an},{b}的前n项和分别为S和,已知 S._7n+2,求的值 Tnn+3,小b 解(1)方法一在等差数列中, S,Sa-S,S。-S成等差数列 0,70,Sn-100成等差数列
解 设每次交款数额依次为 a1，a2，…，a20， 则 a1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第 10 个月应付款 55.5 元． 由于{an}是以 60 为首项，以－0.5 为公差的等差数列， 所以有 S20＝ 60＋ 60－19×0.5 2 ×20＝1 105(元)， 即全部付清后实际付款 1 105＋150＝1 255(元)． 反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和 项数．本题是根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解． 跟踪训练 2 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第 1 分钟走 2 m，以后 每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙继续每分钟 走 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意， 有 2n＋ n n－1 2 ＋5n＝70，整理得 n 2＋13n－140＝0. 解之得 n＝7，n＝－20(舍去)． 所以第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟． (2)设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意， 有 2n＋ n n－1 2 ＋5n＝3×70， 整理得 n 2＋13n－420＝0. 解之得 n＝15，n＝－28(舍去)． 所以第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟． 类型二 等差数列前 n 项和的性质的应用 例 3 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列{an}的前 3m 项的和 S3m； (2)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知Sn Tn ＝ 7n＋2 n＋3 ，求a5 b5 的值． 解 (1)方法一 在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30,70，S3m－100 成等差数列．
2×70=30+(S-100), S8=210. 方法二在等差数列中, 成等差数列, S⊥S 即S=3(S-S2)=3×(100-30)=210 1 b+a S7×9+2 反思与感悟等差数列前n项和S的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为 简、化难为易、事半功倍的效果 跟踪训练3设{an}为等差数列,S为数列{a}的前n项和,已知S=7,S5=75,T为数 的前n项和,求T 解设等差数列{an}的公差为d, 则S2=ma+n(m-1)d, ∵S=7,S5=75, 「7a1+21d=7 u1a+105d=75 +3d=1, +7d=5 解得 d=1 (n-1)d=n-5 +1n
∴2×70＝30＋(S3m－100)， ∴S3m＝210. 方法二 在等差数列中，Sm m ， S2m 2m ， S3m 3m 成等差数列， ∴ 2S2m 2m ＝ Sm m ＋ S3m 3m . 即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)a5 b5 ＝ 1 2 a1＋a9 1 2 b1＋b9 ＝ 9 a1＋a9 2 9 b1＋b9 2 ＝ S9 T9 ＝ 7×9＋2 9＋3 ＝ 65 12. 反思与感悟 等差数列前 n 项和 Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为 简、化难为易、事半功倍的效果． 跟踪训练 3 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn为数列 Sn n 的前 n 项和，求 Tn. 解 设等差数列{an}的公差为 d， 则 Sn＝na1＋ 1 2 n(n－1)d， ∵S7＝7，S15＝75， ∴ 7a1＋21d＝7， 15a1＋105d＝75， 即 a1＋3d＝1， a1＋7d＝5， 解得 a1＝－2， d＝1. ∴ Sn n ＝a1＋ 1 2 (n－1)d＝ 1 2 n－ 5 2 ， ∴ Sn＋1 n＋1 － Sn n ＝ 1 2