$103最大流最小制定理的推广 11 这个运输网络的最大流量为： v(f")=fo.m+f=fut+fta+fts=46. 有K(,7)-{(s1,t),(s1,),(2,),(2,t,(2,t).(s2,t》是该网络的最小割， 它的容量c(,7)=46 例4.某油田S通过输油管道向港口t输送原油，中间有m,2,和四个泵站，管 道的输送能力和各泵站的能力如图10-11所示，求这个系统的最大输送能力.边旁数字是 管道的输送能力，圆圈“口”内的数字是泵站的能力。 图10-11 解这是一个顶点有容量约束的网络。为了能够用第二节中介绍的方法，必须把它化 成只有边有容量限制的网络。按本节所介绍的方法做，得到新的网络如图10-12所示.图 10-12中只有边具有容量而顶点不再有容量.求解的结果也标在图10-12上，边旁的数 字是(，f) 图10-12 系统的最大输送能力为： v(f")=fav +favg=furt +fogt+fuit =24 例5.现有四个人和四项工作，每个人对工作可胜任的情况见表10-2，限定每人只能 做一项工作，每项工作也只需要一人来完成.问最多能安排几个人工作？如何安排
§10.3 ➬✁➮✁①✁➬✁➱❅✃❇❐✁❒❅✇❇❮✁❰ 11 Û ✫✁ô✁õ ❍❇■★✁❨✁❩✴✾♦ : v(f ∗ ) = fs,s1 + fs,s2 = ft1,t + ft2,t + ft3,t = 46. ⑨ K(V1, V 1) = {(s1,t1),(s1, v1),(v2, v1),(v2,t2),(v2,t3),(s2,t3)} ❃➜ ❍✰■★✣❨✣❭✣❪, ✘✁★✁➡✾ c(V1, V 1) = 46✺ P 4. ❊✁❭❫❪ S ❴ ◆✁õ❭✁❵✁❛ ✮✺❜❫❝ t õ✁ý✆✁❭, ♣❀⑨ v1,v2,v3 ÷ v4 ❞✫✁❡✁▼, ❵ ❛ ★✁õ✁ý❻✁➭✁÷➈✁❡✁▼✁★❻✁➭➇ ❚ 10–11 ❯✁❱, ❙Û ✫✁❢✁❣✁★✁❨✁❩✁õ✁ý❻✁➭✺ ❆✁❫✁❴✁❵❃ ❵✁❛★✁õ✁ý❻✁➭, ❤✺✐ “ ” ❥★✁❴✁❵❃ ❡✁▼✁★❻✁➭✺ ❚ 10–11 ❛ : Û✁❃✪✁✫✁❦✁✧⑨ ➡✾ ❁➙✁★ ❍❇■✁✺ ♦✁ÿ❻✁✶✩✁❁✁Ü❅♣à✁á★✁❧✁❘, ➻✁➼✁☎✘✁❯ ②✁♠✁⑨❆ ⑨ ➡✾✱✁✲✁★ ❍❇■✁✺ ❉ ◗ Ü❯✁à✁á★✁❧✁❘✼, ❧✁♥❊★ ❍❇■✁➇❚ 10–12 ❯✁❱✁✺ ❚ 10–12 ♣♠✣⑨❆ ☛✣⑨➡✾ , ⑤✟❦✣✧♠✟♥⑨ ➡✾ ✺ ❙✟✄✣★✣↕➚❺ ✬ ⑦ ❚ 10–12 ❢ , ❆✣❫✣★✣❴ ❵ ❃ (cij , fij )✺ ❚ 10–12 ❢✁❣✁★✁❨✁❩✁õ✁ý❻✁➭♦ : v(f ∗ ) = fsv0 1 + fsv0 2 = fv 00 1 t + fv 00 3 t + fv 00 4 t = 24. P 5. ➝⑨❞✫✁♦÷✁❞✁♣✁q❳, r ✫✁♦❏q❳❋✁s✁t✁★✁✉✁✈✁➥✁✇ 10–2✺ ✱✁âr ♦ ♠❻ ✼ ✪ ♣✁q❳, r♣✁q❳❺♠✁❙✁❚✪✁♦✁➾✁①②✁✺⑩ú❨ ö❻✁②✁③✁④✫✁♦ q❳? ➇✁⑤②✁③?
12 第十章网络的流 表10-2 工作 A BCD 甲 7 丙 解我们构造网络模型，用最大流算法求该问题的最佳方案， 用顶点1,52,3和84表示4个人，再用顶点1,2，起和t4表示4项工作.若s,可做 t,则给出有向边(s,)。这样就得到了一个图G=(VE),如图10-13所示。 图10-13 例5是一个最大匹配问题.设图G=(V,E),如果巧CV,E中所有的边都是一个端 点在中，另一个端点在下1中，那么图G称为二分图，记作G-(4,71,E),图10-13 是一个二分图.先取一条边可表示让某人去做某项工作，如(,)表示让甲去做A而 E的一个子集M可表示一个工作分配方案.根据题意M的任意两条边都没有共同的端 点.如果M二E并且M中的任意两条边都不相邻，则称M是二分图G的一个匹配 G中M川最大的匹配称为G的最大匹配(M川表示集合M中元素的个数).我们的问题 就是要找这样一个最大的M.所以这个问题可化为求图10-14所示的网络的最大流 在这个网络中边的容量皆为1。在图10-14中给出了该网络的最大流，边旁数字(c,f): 对应的工作分配方案M在图10-13中用双线标出.最多能安排3个人工作，例如甲做A, 丙做C,丁做B
12 q❅r❇s✉t❇✈❅✇❇① ✇ 10–2 q❳ A B C D ♦ ⑥ √ √ ⑦ √ ⑧ √ √ ⑨ √ √ √ ❛ :Þ✁ß✁⑩✁❶❅❍❇■✁❷✛ , ✶❨✁❩✴✁↔❘✁❙✁➜ú✁ü★✁❨✁❸✁❧✁❹✺ ✶❦✁✧ s1,s2,s3 ÷ s4 ✇ ❱ 4 ✫✁♦, ♥✶❦✁✧ t1,t2,t3 ÷ t4 ✇ ❱ 4 ♣✁q❳✁✺P❺ si ❋ ✼ tj , ❻✁❞✁✲✁⑨ ✮❇❆ (si ,tj )✺⑩Û✁✙✁➘❧✁♥ÿ✁✪✁✫✁❚ G = (V, E), ➇ ❚ 10–13 ❯✁❱✁✺ ❚ 10–13 ❼ 5 ❃ ✪✁✫✁❨✁❩✁❽✁❾ú✁ü✁✺ ✒✁❚ G = (V, E), ➇✁➚ V1 ⊂ V , E ♣❯✁⑨★✁❆ø❃ ✪✁✫✁❿ ✧⑦ V1 ♣ , ➀✪✁✫✁❿✁✧⑦ V 1 ♣ , ➳✁➁✁❚ G ➂ ♦✁❁✽ ❚ , ✭ ❳ G = (V1, V 1, E)✺ ❚ 10–13 ❃ ✪✣✫✣❁✽ ❚ ✺⑩❝✣④✪✣❸✣❆✣❋✟✇❱✟➃✟❊♦✟➄✼✟❊♣✟q❳, ➇ (s1,t1) ✇ ❱✟➃ ⑥ ➄✼ A✺ ⑤ E ★✁✪✁✫✁➅✁➠ M ❋✁✇❱✪✁✫q❳✽ ❾✁❧✁❹✺➇➆✁➈✁ü✁➉ M ★✁t➉✾✁❸✁❆ø✁➊⑨✁➋✁✕★✁❿ ➌ ✺⑩➇✁➚ M ⊆ E ❬✁⑧ M ♣❇★✁t➉✾✁❸✁❆ø✁♠✁➍✁➎, ❻✁➂ M ❃ ❁✽ ❚ G ★✁✪✁✫✁❽✁❾✺ G ♣ |M| ❨✁❩✁★✁❽✁❾➂ ♦ G ★✁❨✁❩✁❽✁❾ (|M| ✇ ❱➠ ➔ M ♣✺➏✁➐✁★✁✫✁❴)✺⑩Þ✁ß★ ú✁ü ➘➦❃❩❚➦✱➦Û❩✙✪➦✫ |M| ❨➦❩➦★ M ✺ ❯❩❄➦Û✫ ú➦ü❋❩❯➦♦➦❙➦❚ 10–14 ❯➦❱★ ❍✄■★➦❨➦❩✴, ⑦✁Û✫ ❍❇■ ♣❇❆✁★✁➡✾❫➑♦ 1✺⑩⑦❚ 10-14 ♣❞✁✲ ÿ✁➜❍❇■★✁❨✁❩✴, ❆✁❫✁❴✁❵ (cij , fij ), ❏❩➒★q❳✽ ❾❩❧❩❹ M ⑦ ❚ 10–13 ♣✶➦✷➦✸✬ ✲➦✺ ❨ ö❻❩②❩③ 3 ✫❩♦ q❳➦✺ ❼➇ ⑥✼ A, ⑧✼ C, ⑨✼ B ✺