上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义）第三章 多维随机变量及其分布

例3已知随机变量r和'的分布率分别为 X -101 Pe 0.250.250.5 L 01 P 0.50.5 而且P=0=1,求随机变量(X)的联合分布律。 解因为PY=0)=1,所以PY≠0)=0。由此知 Pr=-1,Y=1)=X=1,Y=1)=0 故有分布律 -101 P 0 P11P21P乃1 0.5 1 0 22 0 0.5 P 0.250.50.25 根据联合分布律与边缘分布律的关系，由 K=-)=B1+0=0.25,Y=1)=0+P2+0=0.5, Pr=0)=P21+P22=0.5,r=1)=P31+0=0.25, 得乃1=025，P2=0.5P21=0,P1=0.25。故(XY)的联合分布律为 '\r -10 1 0 0.2500.25 00.50 3.1.3二维连续型随机变量及其联合分布概率分布 1.连续型随机变量及其联合分布密度函数 定义3.3设二维随机变量(K,)的分布函数为凡x月。若存在非负函数x,,对任意实数 x,y有 Fx)=∫fu,)hdu, 则称(X,)为连续型二维随机变量，且称函数f(x,)为二维随机变量(r,)的联合密度函 数，简称为联合密度或概率密度。 由定义可知联合密度(x,具有以下性质：

例 例 3 3 已知随机变量 X 和 Y 的分布率分别为 而且 P(XY=0)=1，求随机变量（X,Y）的联合分布律。 解 解 因为 P(XY  0) 1，所以 P(XY  0) 0 。由此知 P(X  1,Y 1)  P(X 1,Y 1)  0 故有分布律 根据联合分布律与边缘分布律的关系，由 ( 0) 0.5, ( 1) 0 0.25, ( 1) 0 0.25, ( 1) 0 0 0.5, 21 22 31 11 22                   P X p p P X p P X p P Y p 得 p11  0.25; p22  0.5; p21  0; p31  0.25。故(X,Y)的联合分布律为 3.1.3 3.1.3 二维连续型随机变量及其联合分布概率分布 二维连续型随机变量及其联合分布概率分布 二维连续型随机变量及其联合分布概率分布 二维连续型随机变量及其联合分布概率分布 1 1 ． ． 连续型随机变量及其联合分布密度函数 连续型随机变量及其联合分布密度函数 连续型随机变量及其联合分布密度函数 连续型随机变量及其联合分布密度函数 定义 定义 3.3 3.3 设二维随机变量(X , Y )的分布函数为 F(x, y)。若存在非负函数 f (x , y),对任意实数 x , y 有   ，    x y F ( x, y) f (u, v)dvdu 则称(X , Y )为连续型二维随机变量，且称函数 f (x , y)为二维随机变量(X , Y )的联合密度函 数，简称为联合密度或概率密度。 由定义可知联合密度 f (x , y)具有以下性质： X 1 0 1 k p 0.25 0.25 0.5 Y 0 1 Pk 0.5 0.5 Y \ X -1 0 1 p.j 0 1 p11 p21 p31 0 p22 0 0.5 0.5 pi i . 0.25 0.5 0.25 Y \ X -1 0 1 0 1 0.25 0 0.25 0 0.5 0

(1)八x月≥0， /x,)r=F+o,-o)=1 可以证明，凡满足性质(1)的任意一个二元函数八x,),必可作为某个二维随机变量的联 合密度函数。 (2)若f(x,)在点(x,处连续，则 a2Fx,2=f八x,) OxOy 事实上，由定义知 n”-.（sn]-xw 》-8xn=九n (3)设G是Oy平面上的一个区域，则有 P(r,月eO=J∫f八x,a 在几何上：=(x,)表示空间的一张曲面。由性质(1)知，介于该曲面和xOy平面之间的 空间区域的体积是1。由性质(3)知，P(X,)∈O的值等于以G为底，以曲面：=八x,) 为顶的曲顶柱体的体积。 2.二维连续型随机变量的边缘密度函数 若(K,乃是二维连续型随机变量，其联合密度函数是(x,),此时X和P也是连续型随 机变量，分别称X和r的概率密度函数f(x)和f,()为(X,)关于r和'的边缘密度函 数，简称为边缘密度。且有 =云=云*w 同样有 ()=[f(x.y)dr 例4己知二维随机变量(K,)的联合密度函数为 e2r3y,x>0,y>0 f八x,月= 0, 试求(1)常数： (2)联合分布函数凡x: (3)边缘密度函数千(x),f(x): (4)概率PP+2Y≤1)

（ （ 1 1 ） ） f ( x, y)  0;       f (x, y)dydx F(,) 1 可以证明，凡满足性质（1）的任意一个二元函数 f (x , y)，必可作为某个二维随机变量的联 合密度函数。 （ （ 2 2 ） ） 若 f (x , y)在点(x , y)处连续，则 ( , ) ( , ) 2 f x y x y F x y     事实上，由定义知 ( ( , ) ) ( , ). ( , ) ( ; ) ( , ) ( , ) 2 f x v dv f x y x y y F x y f u v dv du f x v dv x x F x y y x y y                                  （ （ 3 3 ） ） 设 G 是 xOy 平面上的一个区域，则有 (( , ) ) ( , ) .   P X Y  G  f x y dxdy G 在几何上 z = f (x , y)表示空间的一张曲面。由性质（1）知，介于该曲面和 xOy 平面之间的 空间区域的体积是 1。由性质(3)知, P((X ,Y )G) 的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y) 为顶的曲顶柱体的体积。 2. 2. 二维连续型随机变量的边缘密度函数 二维连续型随机变量的边缘密度函数 二维连续型随机变量的边缘密度函数 二维连续型随机变量的边缘密度函数 若(X , Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数是 f (x , y)，此时 X 和 Y 也是连续型随 机变量，分别称 X 和 Y 的概率密度函数 和 为(X , Y)关于 X 和 Y 的边缘密度函 边缘密度函 f (x) X f (y) Y 数 数 , 简称为边缘密度 边缘密度 。且有 f t y dy dt f x y dy dx d F x dx d F x dx d f x x X X                      ( )  ( )  ( ,)  ( , ) ( , ) 同样有 ( ) ( , ) .    f y  f x y dx Y 例 例 4 4 已知二维随机变量(X，Y) 的联合密度函数为         0, , 0, 0 ( , ) 2 3 ke x y f x y x y 试求:(1) 常数 k； (2) 联合分布函数 F(x, y)； (3) 边缘密度函数 f X (x), f Y (x)； (4) 概率 P(X  2Y 1)

解()利用联合密度函数的性质， 1=几xd=ke2-=ke2re=6 得k=6且 x四= 6e2r-3J,x>0,y>0 0, (2)由定义 xn=了/uhdh=6er>0,八0 0, 0-e1-oa>0n0 0 3)由 ==e00 0,x≤0 得 a-8 同理可得 3e3y,y>0 0,y≤0. (④(r,)的取值区域如图3-5所示，故 ☒1 ×x+2y=1 图3-5 r+r≤=nh=-aae=-4ee5-h 0 =2e-eheoe+0-cn55 下面介绍两个常用的分布 均匀分布

解 解 (1) (1) 利用联合密度函数的性质， 1 ( , ) 6. 0 3 0 2 0 0 2 3 f x y dxdy ke dxdy k e dx e dy k x y x y                       得 k = 6 且         0, 6 , 0, 0 ( , ) 2 3 e x y f x y x y (2) (2) 由定义                            0 (1 )(1 ), 0, 0; 0, 6 , 0, 0; ( , ) ( , ) 2 3 0 0 2 3 e e x y e dydx x y F x y f u v dvdu x y x y x y x y (3) (3) 由                  0, 0 6 , 0 ( ) ( , ) 0 2 3 x e x f x f x y dy x y X 得        0, 0. 2 , 0; ( ) 2 x e x f x x X 同理可得        0, 0. 3 , 0; ( ) 3 y e y f y y Y (4) (4) (X , Y)的取值区域如图 3-5 所示，故 1 3 4 0.5135 0 1 4 0 1 2 ( ) 0 (1 ) 2 1 ( 2 1) ( , ) 6 2 2 3 2 2 1 2 3 2 1 0 2 1 2 3 2 1 0 2 3 (1 ) 2 1 0 2 3 1 0 2 1                                       e e e dx e e e e e dx x P X Y f x y dydx dx e dy e e x x x x x y x x y x y 下面介绍两个常用的分布. 均匀分布 均匀分布 图 3-5 1 2 1 x  2 y  1

设G为Oy平面上的有界区域，G的面积为A。若二维随机变量(K,)的联合密度函数 为 0, 则称二维随机变量(X,)在G上服从均匀分布 若G是G内面积为4的子区域，则 AneG)-打=子 此概率仅与G的面积有关（成正比），而与G在G内的位置无关，这正是均匀分布的"均匀" 含义。 正态分布 若二维随机变量(X,)联合密度函数为 1 142p4-,4 几x,月= 21-p22 010202 ·e ,-00<x<+0-00<y<十00， 2πoo2W1-p 其中o1>0,02>0,p<1,则称(K,门服从参数为山1,01,42,02，P的二维正态分布，记为 (X,)）~W(41o242,o22;p) 下面，我们来求二维正态随机变量的边缘密度函数。 因为x,的指数部分可表示为 C-4Y-2px-0-2+0-y -- -1 所以f,（)=fx,月=2gg,-。3e1-p6p) 令 ='--p-出， u--p 1e7M=2πGea,-0<r<t+ 则有f()=2πo1

设 G 为 xOy 平面上的有界区域，G 的面积为 A。若二维随机变量(X , Y )的联合密度函数 为        0, ,( , ) 1 ( , ) x y G f x y A 则称二维随机变量(X , Y )在 G 上服从均匀分布. 若 G1是 G 内面积为 A1的子区域，则 . 1 (( , ) ) 1 1 1 A A dxdy A P X Y G G     此概率仅与 G1的面积有关(成正比)，而与 G1 在 G 内的位置无关，这正是均匀分布的"均匀" 含义。 正态分布 正态分布 若二维随机变量(X , Y ) 联合密度函数为        , , , 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2(1 ) 1 2 1 2                       f x y e x y x x y y                其中1  0, 2  0,  1，则称(X , Y )服从参数为  , , , ,  的二维正态分布，记为 2 2 2 2 1 1  ,  ~ ( , ; , ; ). 2 2 2 2 X Y N 1  1    下面，我们来求二维正态随机变量的边缘密度函数。 因为 f (x , y)的指数部分可表示为          (1 ) , 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1                                       x y x x x y y 所以                      , 2 1 ( ) ( , ) ( ) 2 (1 ) 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 e dy e f x f x y dy y x x X            令 ( ), 1 1 1 1 2 2 2            y x u 则有   f x e e du u x X        2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( )      , . 2 1 2 1 2 1 2 1        e x x   