二、规则波导的导波场分析分析的出发点：无源形式的（频域）麦克斯韦方程组$ 3.1VxH=jOcE规则波导基础理论VxE=-jouHV.E=0V.H=0条件：规则波导的导体是理想的；波导内介质为均匀、无耗和各向同性的：远离场源（无电流和电荷）：稳态情况，电场和磁场皆为时谐场以上的第二式取旋度，并利用第一式得VxV×E=-jOVxH=ueE=kE由矢量恒等式A×(B×C)=B(A.C)-(A·B)C，可得V×VE=V(V.E)-V?E=-VEV?E+k?E=0以上两式相等可得VH+kH=0同理可得以上两个齐次方程称为矢量Helmholtz方程即波动方程
§3.1 规则波导基础理论 6
广义正交曲线坐标系(μ, v, の)坐标轴：μの;$ 3.1坐标增量：dμ dv do;规则波导基础理论长度微分单元：dl、dl,、dl3;度量系数（拉姆系数）：hi、h2、h3,以上三者的关系：dl,=hdu dl,=h2dv dl=h3do几种常用坐标系的度量系数：hih2h3坐标系111直角坐标系(xy,z)11圆柱坐标系(r,,z)r1球坐标系 (r,, )rsiner2-nE2-n1椭圆柱面系(,n,z)$2-11-n注：c=ya?+b2为椭圆半焦距
7 §3.1 规则波导基础理论
规则波导的坐标系选取$ 3.1根据规则波导的定义，其横截面规则波导基础理论形状和尺寸、结构材料、媒质分布等沿轴向不变，也就是与轴向无关。据此可以推断：电磁场在横截面上的分布特性应该和其所在的轴向位置无关满足：因此，可以建立如图所示的广义正交柱坐标系（丛Vz），ahah,=0、h,=1=0OzOzOh或者：0(hh)=0、h,=1oz (h)以上两种条件都表明z轴与另两个轴是无关的。9
8 §3.1 规则波导基础理论
在广义正交柱坐标系下，可将电场E和磁场H进行如下分解$ 3.1E(u,V,z)=E,(u,V,z) +i.E,(u,V,z)规则波导基础理论H(u,V,z)=H(u,V,z) +iH,(u,V,z)t表示横向（transverse）。同样，算符V和√?也可分解为：10aO/一V=V,+V,,其中V,:1OzOvhouhao2[品(会号)品(套品)?=?+?,其中?.2a7V?E-V?(E +iE.)=V?E, +iV'E.进而可得VH=V?(H,+i.H.)=VH, +iVH由此可将矢量Helmholtz方程分解为一个矢量方程和一个标量方程V?E, +k?E.=0V?E, +k?E, =0矢量方程标量方程V?H, +k?H, = 0V?H+kH=0
9 §3.1 规则波导基础理论
标量方程的分离变量法求解$ 3.1E. (u,V,z) = E.(t,z) = E.(0)Z(z)今代入标量电场公式可得H.(u,V,z) = H.(t,z) = H.(t)Z(z)规则波导基础理论V?E.(t)V?Z(2)=-k2Z(2)E.(t)此式成立的条件是左边两项应分别等于某常数。V'E.()V'Z(2)2=，可得-k?这里令Z(z)E.(0)1、色散关系式：k2 =k -y?=k?+β2（注意波数的分解=jβ2、轴向波动方程：V?Z(z) -yZ(z)= 0通解为Z(z)=Ae-"+A,e"=Ae-"，因规则波导无限长，所以A,=0该解描述了波导的传播特性，与传输线解是相似的。V,E.(t) +k?E.() =0k。称为横向（截止）波数3、本征值方程：k。是特定边界条件下的本征值，方程解包含了横向场的本征函数。10
10 §3.1 规则波导基础理论