Lω1ω（Q）中的Scott同构定理及Craig插值定理

D0I:10.13374/j.issnl001053x.1994.04.020 第16卷第4期 北京科技大学学报 Vol.16 No.4 1994年8月 Joumal of University of Science and Technology Beijing Ag.1994 Lo(Q)中的Scot同构定理及Craig插值定理 孙晓蓝 北京科技大学数学力学系，北京00083 摘要本文结合二阶逻辑公理系统和无穷逻辑公理系统两种思想，应用和谐性质方法，建立了无 穷逻辑中的二阶语言Lu(Q)公理系统及模型论，对L(Q)中的同构定理及Crig插值定理给 予了证明 关键词模型论完备理论，可数片断，和谐性质、理想模型 中图分类号0141.4 Scott's Isomorphism Theorem and Craig Interpolation Theorem for L(Q) Sun Xiaolan Department of Mathematics and Mechanics,USTB,Beijing 100083.PRC ABSTRACT Kim B Bruce gave a system of axioms for second order logic L(O).H J Keisler in 1977 published a book called"Model Theory for Infinitary Logic"to give a system of axioms for infinitary logic.This article combines the two ideas of the two system of axioms,applying the consistency property to give a system of axioms and model theory for infinitary second order logic L(Q).This part of the article is mainly the proofs of Scott's isomorphism theorem and Craig interpolation theorem for L(O). KEY WORDS model theory/complete theory,countable fragment,consistency property,ideal model 1La(Q)中的Scot同构定理 设L()是La,(⑨)的一个可数片断，(U,q),(B,r）是L(Q)中任意两个可数理想模型. 若对所有p(x,…,x)∈L(但)，即所有L,(Q)有限自由变元的公式，有(U,q)p[a,…,al, 当仅当(B,r非p[fa,…fa,l,这里f是U到B上的1-1映射，则称(U,9),(B,r)对L(②) 语法同构，记作(U,q)2LweB,r以. 定理5.！(L,(Q)的同构定理)令(U,q)是L(但)的一个可数理想模型.L,(Q)是L(Q) 1993-05-21收稿 第一作者男38岁副教授博士

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 优 魂 气仄 中的 同构定理及 插值定理 孙 晓蓝 北 京科 技 大 学 数学 力 学 系 ， 北 京 〕 沉 摘要 本文 结合二 阶逻 辑公理 系 统和 无穷 逻辑公理 系 统两种 思 想 ， 应 用 和 谐性 质方法 ， 建 立 了无 穷 逻 辑 中 的 二 阶 语 言 几 。 公 理 系 统 及 模 型 论 ， 对 几 ，。 中 的 同 构 定 理 及 插 值 定 理 给 予 了证 明 关键词 模 型 论 完 备理论 ， 可 数 片 断 ， 和 谐性 质 ， 理 想 模 型 中图分类号 ‘ 。 。 “ 块 祖 代 “ ， ， 兀幻 ， 助 以 以 “ 斗 浦 刁 助 元 ， ” 丁七 份 ， 理 助 ， 。 · ‘ 中 甲 ， 。 · ， 岭 ， ， 份 】刀 气 田但 中的 同构定理‘月 设与 是 。 。 的一 个可 数 片 断 ， ， ， ， 是 中任 意 两 个 可 数 理 想 模 型 若对所有 毋 ， … ， 劝 任与 ， 即所有 几 有 限 自由变元 的公 式 ， 有 队 ， 卜帆 ， … ， 久 当仅 当 ， 卜甲 ， … 。 ， 这 里 是 到 刀 上 的 一 映射 ， 则 称 ， ， 刀 ， 对 五 语法 同构 ， 记作 ， 叮 里 与 。 ， · 定 理 氏 ，。 的 同构定 理 令 ， 妇 是 以 的一 个 可 数理 想 模 型 与 是 几 。 卯 一 一 收 稿 第一 作 者 男 岁 副 教 授 博 士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1994．04．020

Vol.16 No.4 孙晓蓝：L(g)中的Scot同构定理及Craig插值定理 397. 的一个可数片段，那么存在(Q)中的一个命题9：对任意可数理想模型(B,r),若(B, r)非p则有(U,q)2LoB.r 证明：对所有a,…,a∈A.B<0,归纳定义公式p-a如下：p-a=个{(x,…x) (U,q)非[a,…,al,6是L(Q)中自由变元在{x,…x}中的公式}. 如果B是极限序数。=个财-8·p、=0-八《目x1gAx…。 pg…4·从定义中可看出对所有a,…a.∈A,B<ω，pa仅有x,X,为自由变元且(U,q)非 pa[a,,al,而且可看出，当r<B<o时，有(U,q)非xx(p→9a). 因为U是可数的，对每一a,…,a∈A,存在x<o,使对所有B≥x,B<ω，(U,q)非廿x x(p。一)又由U中只有可数多个有限n元组a,…,an,所以存在x<,使对所 有a,a.eA和所有B2x(U.非xx(g。一人(I)令p是命题入公名 x,(o%&→p).由(U,q)非6及(U.9)非廿xx(9%。→p).即(1)知(U,q非p· 设(B,）可数且(B,r)非p,下证（U,q)≌L,e(B,r我们用往返方法证明这一点， 先需证明如下两结论：对任何a,…,a∈A及b.,b,eB之适合（B,r)非paa[bb】 者有(I)a+eA3b+eBB,r）非p24Ibb小(2)(b+eB)(3a+eA)(B,r)非p44 [b,…,bn+l(I)的证明：因(B,r）非p,∴(B,r）非pa[b,…bn+小，因此(B,r)非彐x+pa.b… b,(1)成立. (2)的证明，因(8，)非0b,…b小有(B,)非x+10ab,b小因此对某 a+1eA有(B,）非p%4[b,…b+小（②）成立. 这样我们可用往返方法在A、B之间建立一个1一1对应a,→∫(a)=b.且有(U,q)非 pa-a[a,a]=(B,r）非p[b,…,b小.对Vn<w.对L(Q)中任意公式p'(xx上若(U,q)非 p'[aa.小由卜p→p'知(Br）卡p【b,b.】→(B,)Fp[bb.1若(U,q)卡 p'[aa」，则(U,q)非1p[aa.,仿上有(B,r）卡p'[bb,.J从而有(B,r）大p'[bb., 由定义知(U,q)2L@B,r). 推论：设(U,q),(B,r是L(Q)的任意两个可数模型，且(U,q)三LeB,r八，那么对L。(Q) 的任何可数片段L(Q)有：(U,q)2Lwe(B,r) 2Le(Q)中的Craig插值定理 定理6.l(L,(Q)中的Crig插值定理)、令p,业是L,(Q)中的命题且卡p→少，那么有一 L,(Q)中的命题使p→6，卡0→中并且L的每一关系、函数、常量符号若在0中出现，则在 φ、少中都出现.(“非”表示在一切理想模型上都真). 证明：令X,是M(Q)(M=LUC)中所有命题p'的集合，每一个p'中出现的L的函数、 关系、常量符号在p中出现并且p中仅有C,的有限多元素出现，95定义见完全性定理证明明中 的定义，类似地对中定义xw令S是M以Q)的所有适合下列条件的句子集S,的集合，S中仅贿C,中有限多 元素出现并且S=S,USx。Ux,S,中每个句子p仅有C中有限多个元素.S为至多可数集. (1)S=SU{Qxφ，(x,…,2xφ(x,2xpn+x,,2xp+m(x}U{p,(Cc∈}U{p,(c)

孙 晓蓝 气 。 中的 同构定 理及 插 值 定 理 的 一 个 可 数 片 段 ， 那 么 存 在 。 仄 中 的 一 个 命 题 解 对 任意 可 数 理 想 模 型 ， ， 若 ， 卜 甲 则有 ， 叮 里 姗 ， · 证明 对所有 ， … ， 份 ， 吞 叭 ， 归 纳 定 义 公 式 代 … 、 如下 试 … 、 一 八 口 ， … 戈 ， 卜 口 ， … ， ， ， 是 与 中 自由变 元 在 ， … 戈 中的公 式 如 果 隆 极 限 序 数 蛤 、 一 念呱 一 、 ， 嵘 、 一 叽 一 粼 涂月乱 试一厂 八 物一 、丫 ， 代 … 、 从定 义 中可 看 出对所 有 。 ， … 气 ， 口 叭 ， 代 、 仅有 ，… ，戈 为 自由变元且 ， 妇 片 代 ，… ，叼 ， 而且 可 看 出 ， 当 吞 。 时 ， 有 ， 卜丫 …戈 甲且产呱 沙 因 为 是 可数 的 ， 对每 一 ， · ‘ · ， ，任 ， 存 在 叭 ， 使对所有 刀里 ， 口 叭 ， ， 片丫 二 ， 代 、 － 叱 沙 又 由 中只 有 可 数多个有 限 。 元 组 ，… ，气 ， 所 以 存在 叭 ， 使对所 有 ，… ，气任 和 所有 刀墓二 ， 、 丫 ‘ ’ ‘ 戈 代 、 一 可协 令 ， 是命题 端 八 忿 丫 二 ， 呱 、 忧广协 由 ， 片 端 及 ， 卜丫 ‘ …戈 呱 、 一 弓 沙 · 即 知 ， 卜切。 · 设 ， 可 数 且 ， 卜 甲 ， 下 证 ， 。 里 二 旧 ， · 我 们 用 往 返 方 法 证 明 这 一 点 ， 先 需 证 明 如 下 两 结 论 对 任 何 。 ， … ， 气 及 坛 ， … ， 氛 之 适 合 ， 卜 代 、 ’ “ 气 者 有 丫 。 任 日 。 ‘ ， 卜忧 、 十 … 。 、 丫 。 十 任 日 。 任 ， 卜价二 、 十 ，… ， ， 十 的证 明 因 ， 卜 甲 ， · ‘ · ， 卜切犷认 ，… ， 。 ， 因此 ， 卜日戈 甲二 。 、 “ ’ 划 ， … 成 立 的证 明 ， 因 ， 卜甲犷认” ， ‘ ” ， 二 小 有 ， 片丫 。 · 。 黑夕 一 ” ，“ ‘ 一 ， 因此 对某 气 十 ，‘ 有 ， 卜忧 ， 、 十 ，… 。 ， · ‘ · 成 立 这 样 我 们 可 用 往 返 方 法 在 、 之 间建 立 一 个 一 对 应 ， 瓦 且 有 ， 妇片 呱 求 ，…划 ， 片武 、 ， … ， 」 对 丫 。 。 对 热 中任 意 公 式 训 …戈 若 ， 卜 叭气 二 民 、 ， 由 卜代 。 。 训 知 ， 片呱 。 … ，， ” ， 卜训 ‘ …瓦 ， 若 ， 权 川 久 ” ’ 久 ， 则 ， 卜 训【 “ ， ‘ ’ ‘ ， 】 ， 仿 上 有 ， 卜门 训 ‘ · 。 从 而 有 ， 长 训 ， … 。 ， 由定 义 知 ， 妇里 二， 田 ， 」 推论 设 ， 妇 ， ， 是 以 的任 意 两个 可数模型 ， 且 ， 二 嘛杯 ， ， 那 么 对 瓦冰 的任何 可 数 片段 热 有 ， 妇丝 与 ， 气胆 中的 插值定理 叼 定理 。 ，。 中的 插 值定 理 令 切 ， 沙是 几 仄 中的命题且 片甲 必 ， 那 么有一 几 。 中 的 命 题 使 卜甲 ， 卜口一 价并 且 的每 一 关 系 、 函 数 、 常量符号若在 中出现 ， 则在 职 、 少中都 出现 “ 卜 ” 表示 在 一 切理 想 模 型 上 都真 证明 令 。 是 叭仄 口 中所有命题 训 的集合 ， 每一个 训 中出现的 的函数 、 关 系 、 常量 符 号在 中 中出现并且 训 中仅有 ， 的有 限 多元 素 出现 ， 、 定义见完全吐定理证明 中 的定义 ， 类似地对 沙定义均 ， 冷 是 叭仄 的所有适合下列条件的句 璨 ，的集合 ， 叹 「例又有 冲有限多 元素 出现并且 一 凡 口 民仁 ， 口 ， ， 中每个句子 切 仅有 中有限多个元素 · ‘为至多可数集 又一 几口 甲 ， … ， 中 。 ， 一 甲 。 、 ， 二 门 中 。 十 ， 口 切 ， 日 中

.398 北京科技大学学报 1994年No.4 |ce}U…U{o.(⊙lcet}U{79,+(lcet+}U…U{o,+nd1 CEtm:=SU{2x9, ,门2xpn+m(x以，S,中只出现C的有限多元素，这里teq,1≤i≤n.t,n+1≤jn+m)是(Cg)中 的S.型集合，并且t,∩t=Φ，1≤i,jn,i≠jt中仅有C,中有限多元素：1≤i≤n+m,令C, ={cc在S,中出现，ceC},则有C:∩t=Φ，1≤i≤n+m.IC-(C.UC,UtU…Ut,)川=w. (2)Sx.S.=S,Uxo)xc)c].() IcEt+nbS=SU{2xp,(.,72xφ2u+m(（y)U{:()IcEt}U…U{7pg+n©1ce+m} 其中{tw|1≤i≤n,+m,U{t2:l1≤isn,+m,}={红|1≤i≤n+m}.{.1≤≤n,+m}∩{t,1≤i径 n,+m,}=Φ.S,=S,U{2x9,(x,72xpn+n(x外，S,中仅有C中有限多元素，j=1,2. (3)若S,中无C的元素出现，则对所有不含C的元素的0,02：0,02∈x∩xw上人S →0，上个S。→0，则6八8，和谐.若S,中有C的元素出现，则对所有8,8，∈x∩， 上个S,·0,卡入S。→6，则8个6，和谐.下面证明S是一个和谐性质： (C,)若6,0eS,.)若S.中无C的元素出现，不论0,0eS,或S;或θ∈S,0∈S,; 或70eS,eS,都与S,定义性质(3)子矛盾.(i)S中有C的元素出现，类似(i)的证明.(C)成立. (C)如果p∈S)S,中无C的元素出现，不妨设7peS,若有不含C的元素的6，，e x∩x。卡∧(S,U{p)·6,卡八(S)-a,s卡个S,→6，卡ΛS→6，·由S,定义 8,∧6和谐，.有SU{pUS=S,U{p}∈S.若peS,同理可证.(i)S,中有C 的元素与()同理可证.'(C)成立. (C)如果∧①"eS.)若S,中无C的元素出现，不妨设∧ΦeS,取S=SU{p}(对任 意p),S=S,可看出S=SUS中仍无C的元素出现.若对某0,6ex,∩x且其中无 C的元素出现有卡八S→日卡八S·g∧S,·0,S.→0，由S定义0，八8，和谐. ,S,U{p}∈S.(的)若S,中有C元素同理可证.(C)成立. (C)如果xp(x)∈S,.()若S,中无C中元素出现，不妨设Vxx)eS,若S,U{C} =SS,=S,SUSS,则有卡∧S→0，卡八S、→6,08，∈x∩w,6,∧62不和谐. 但由公理4及Vxp(x)eS,有卡八S,→6，卡∧S,→0，这时6,62中可能有C中元素，把 它们全换为新变元x得到：(x.(x)S,S,中无C的元素出现，有：F个S,→Y(x), 卡人S→x(x).由0，∧0不和谐知Vx8(x)∧√x8x)不和谐.与S,定义矛盾，.S,U {p(c}eS,对ceC.(mS中有C的元素出现，若有9,8，∈x∩x,卡（∧S∧p(c·8 F∧S,→0,0八9，不和谐.（这里不妨设Yxp(x)∈S,).由公理4及Vxp()∈S,有上∧S, →6，卡∧S.→0,0∧0不和谐，与S,eS矛盾..也有S,U{p(c}∈S,(C)成立. (C)如果V④S,①若S中无C的元素，不妨设V①"eS,那么①℃。且无C中元素. 对Vped,若S,U{pUSS,令S=S,U{p,S=S。.则存在0。，0m,∩x且它们中无 C元素出现：F八S,∧p→6。，卡八Sn→0。且6。八6。不和谐.由VΦ∈S,及推理规则3 有非∧S,→0。上AS,→公6。令0，=出60=6。则6，A6,不和谐，由8,8定 义知8，，ex∩xw且不含C的元素，这与SeS矛盾..有p∈⑩，S,U{peS.(曲)若S中有 C的元素与上面类似得到F人SY。卡入S·A。但这时因S,S中可能有C,中的 无限多个元素，把日，O,不在S,中的C,的元素全换为一个不在S,中的C,的元素得到， ·这里Φ表示空集，如不特别指出，本文中①表示空集， *这里中是公式集合

北 京 科 技 大 学 学 报 少〕 年 任 ‘ 口 … 口 印 ， 任 气 口 中 ， 日… 日 甲 。 ， 任 。 、 ， 瓦一 泞 口 中 ， … 门 印 。 ， 劝 ， ‘ 中只 出现 的有限多元素 ， 这里 月。 ， 鉴 鉴。 鉴 鉴 是 中 的 型 集 合 ， 并 且 ‘ 自 一 ‘ ， 鉴 ， 鉴。 ， 笋 ‘ 中仅有 ， 中有 限多 元 素 鉴 鉴。 令 云 在 ‘ 中 出现 ， ‘ ， 则有 自 ， 中 ’ ， 鉴 鉴 一 日 口 ， 口 … 口 气 。 ， ，， ， ， 一 口 甲 ， ，… 门 中 。 ， 日 甲， 任 。 ， 目 … 口 刁甲 。 二 〔 ，。 十 ， ， 一 之 口 切 、 ， … 门 甲 。 十 ， 口 甲 “ ， 口… 口 刁甲 。 十 ， “ ， 十 ， 其 中 ， 鉴 鉴 。 日 基 鉴 。 鉴 鉴 。 ，， 基 里 自 ， 基 基 ” 十 一 瓜 。 一 凡 以 叭 ，… 门 二 叭 。 ， 天 ， 。 中仅 有 中有 限多元 素 ， 一 ， 若 。 中无 的元 素 出现 ， 则对所有 不含 的元 素的 氏 ， 已 ， 任 。 自 肠 ， 卜八 戈 一 氏 ， 卜八 叹 一 氏 ， 则 ， 八 和 谐 · 若 ， 中有 的 元 素 出现 ， 则 对 所 有 氏 ， 任 ， 自 肠 ， 卜八 凡一 已 ， 卜八 。 一 氏 ， 则 ， 八 和谐 下 面证 明 是 一 个 和 谐性 质 若 ， 而 任 ， · 若 中无 的元 素 出现 ， 不 论 口 ， 习 任 况 ， 或 。 或 ‘ 况 ， 任 况 或 刁 任 民 】 ， 矢民都与 ‘ 定义性质 矛盾 · ‘ 中有 的元素出现 ， 类似 的证明 · 成立 · 如果 刁印 任 二 中无 的 元素出现 ， 不妨设 刁甲 戈 ， 若 有 不 含 的 元 素 的 氏 ， 日任 。 自 寿 卜 八 ， 以 钧 一 民 ， 片八 。 一 性 卜八 凡 一 氏 ， 卜八 又 一 口 由 定 义 ， 八 和 谐 ， · ’ · 有 尽 口 ， 口凡一 ‘ 口 ， ， ‘ 若 门， 又 ， 同理 可 证 · ， 中有 的元 素 与 同理 可 证 二 ’ 办成 立 如果 八‘ 笔凡 若 ， 中无 的元 素 出现 ， 不妨设 八 中任 昆 ， 取 ， 尽 ， 日 中 对任 意 中 丁， ， 民 ， 可 看 出 又一 又 日 中仍 无 的元 素出现 若对某 口 ， 厂 ， 自 且其 中无 的元 素 出现有 卜八 又一 民 ， 片八 凡一 。笋卜八 凡 一 氏 ， 片绍 ， 一 氏 ， 由 ， 定 义 氏八 和 谐 · ‘ · ， 口 树 任 若 中有 元 素 同理 可 证 成 立 刁 如果 丫 甲 任 凡 若 ， 中无 中元 素 出现 ， 不 妨 设 丫 办 任 仅 ， 若 尽 口 诚 ， ， ， 日 嗜 ， 则有 卜八 一 氏 卜八 ， ， ‘ ， 自 ，， 口， 八 不 和 谐 但 由公 理 及 丫 诚 任 叹 有 卜八 凡 ， 一 已 ， 卜 八 凡 氏 ， 这 时 已 ， 中可 能有 中元 素 ， 把 它们 全换 为新 变元 二 得 到 ’， ， 飞 · 戈 ， 又 中无 的 元 素 出现 ， 有 卜八 又 ， 劝、 ， 卜八 又 丫 矶 由 ，八 口 不 和谐知 丫 几 八 吠 不 和 谐 与 ， 定 义矛盾 ， · ’ · 。 口 诚 任 ， 对丫。 ‘ ， 中有 的元 素 出现 ， 若有 已 ， 任 ， 门 肠 ， 卜 八 叹 八 诚 ， 卜八 凡 一 氏 ， ， 八 不 和 谐 这 里不 妨 设 丫 诚 任 ， 由公 理 及 丫 诚 任 民 ， 有 卜八 戈 ， 卜八 一 ， 八 口 不 和 谐 ， 与 ‘ 矛盾 二 ‘ · 也有 。 口 甲 ， 成 立 如果 丫叮琶尽 ， 若 ‘ 中无 的元 素 ， 不 妨 设 切 怡又 ， 那 么‘ 七 ， 且无 中元素 对丫 职‘ 中 ， 若 凡 、 口 甲 日 凡必 ， 令 一 凡 日 毋 ， 一 昆 则存 在 已 ，， 口、 欣 ， 门 ， 且 它们 中无 元 素 出现 卜八 又 ， 八 毋 一 。 ， 卜八 凡 一 、 且 民 ， 八 、 不 和 谐 由丫。 一 ‘ 尽 ， 及 推理规则 有 卜八 民一 溉气 ， 卜八 凡一 众气 · 令 “ ，一 溉气 ， 一 众气 ， 则 八 不和谐 ， 由 ， 定 义 知 已 ， 厂 ， 自 且 不 含 的元 素 ， 这 与 又〔 矛 盾 二 ‘ · 有 中 任盯 ， ， 日 甲 〔 若 ， 中有 的元 素与 上 面 类 似得 到 卜八 “ ， 一 瓢气 ， 片八 “ 一 念 “妒 但 这 时因 ‘ 。 ‘ ， 中可能有 中的 无 限多 个元 素 ， 把 氏 ， 不 在 ， 中的 ， 的元 素全 换 为一 个 不 在 ， 中 的 ， 的 元 素 得 到 ’ ， ， 这 里 山 表示 空 集 如 不 特别 指 出 ， 本 文 中 中 表 示 空 集 这 里 中 是 公 式 集合

Vol.16 No.4 孙晓蓝：L(Q)中的Scot同构定理及Craig插值定理 399, 这时仍有卡∧S,→、卡∧S→，个，不和谐且∧ex∩x,矛盾于S,eS.'o∈ Φ：S,U{o}eS. (C)如果3xo(xS,()S,中无C的元素出现.不妨设彐xp(xS,若对VceC.S,U {p(c}USS,令S=SU{p(c以，S=S则有：∧(S,U{p(c→(c,上∧S.→c. 6,,ex∩w且6，八0，不和谐，由于c不在S:中出现，我们有上∧S八xp(x)→3x0,(x, 卡∧Sn→x8,(x)户卡八S,→3x8,(x,卡八S。一Vx0,(x,并且三x()AHx以)不和谐， 但彐x0,(x),Vx0,(x)中可能有C中元素出现，把它们中的C元素全换为一个新变元x得到 '(xx,这时有非∧S,→Vx(x),卡∧S。→Vx8(x,x(x)∧Vx8(x)不和谐且不 含C中元素，x(x,x(xx。∩Xw,这样矛盾于S,的定义.∴.三c∈C,c不在S中出 现，由S,中有C,中有限多元素c可选出.这里不妨设三xp(xS,S=S,nU{p(c以，S=S,则 有0，，x∩xw满足F∧S,八p(c)→.(c,卡八S,→0，(c,日，∧6不和谐.但由于c不在 S.中出现有非∧S∧百xp(x)→三x8,(x).F∧Sn→Vx8(x)→卡∧S,→x8,(x卡个S →Hxd,(x,且xd,(x)∧Vx0,(x)不和谐，矛盾于SeS..3c∈C,S,U{p(c}USeS.(C) 成立. (C,)若x(xeS,①若S,中有C的元素，设2xo(xS,选择tcC-(C.UCUC UC,UtU6U…U,)且使1C-(C,UCUc,UC,UtUi,U…U,I=o.令S=S,U1cyI ce,S%=Ss:若S,U{p(c)|c∈t}tS有卡∧S→0，卡∧S→0,0,6，ex∩xw,8,∧9，不和 谐.把S,S中含t的元素的命题移到蕴含式右边有卡∧S一Y(门4dVp+dV…Vpm+mc) V8e,卡∧SgY(p+dVVp+n(cV4c.令y(d)=(dc)Vo,.gV…Vp+m(e》. pd=p+n(gV…Vp+nd.S=S-{p1+nc.,7pmm©Sg=S.-{7p:*(c以、 7p+m(c》.由此得出：卡∧S→x(x(x》,卡∧S。→x(,()→0(x)(1). 由S,S,的结构及完全性定理证明中结论I知：卡个S→Qx,(x,卡∧S.→Qx7 (x)(2).由(1)，(2)及(A9)得卡∧S→2x0,(x),上∧S。→2x0,x)(注).上Qx0(x)∧ 1Qx0,)→彐0，(x)∧6，(x》矛盾于8，∧8，不和谐..，U{p(c)1ceeS,上面C,={cc∈ C,c在S,中出现}.C,={cceC,c在S,中出现}.注：由(A9)可证Vxp(x)→(x》(2x p)-72x(:FVx((x)一(x)→x(7()→7p(x)9(2x7(x)·2x7p(x》 →(-2xp(x)→72x7(x).(i)若S中无C中元素.S=S,U{p(C1ce,S.=S。卡∧ S→8，卡∧S+6,→卡∧S→出7p©V(以，卡∧S→().由S中无C中元紫出 现及所设Qxp(x)S,有非∧S,→Qx0,(x,F∧S。→Vx0,(x).与上面同理得出这时0（©）∧ 0(c)和谐.S,U{p(c)川c∈t∈S. (C)证明略. (C,)()这时不能有S,中无C的元素.若S,中有C的元素由公理6证.()若c=t, p(teS,这时S,中有C的元素，若c=t,p(t)eS,或S由公理7易证.若c=eS,p(t)eS, 令S,=S,S=SU{c}则若卡∧S→0，卡八S→6.8，ex∩xw,有入S→{c=t∧0}， 卡∧Sn→(c=t一6，)，由(c=t∧，)Λ(c=1→8，)和谐知6，入8和谐，.SUS。=S U{p(c}eS.对p(S。c=teS,的情形同理可证.()这里p,中所在的语言不妨有p,少中 的关系、常量、函数符号，则对任意c∈C,c=ex。或X,设这时c=eX。①S,中无C的元

孙 晓蓝 几 ，。 中的 同构定理及 ” 插值定理 这 时仍有 卜八 叹一 ’， ， 卜八 尽 优 ， 代八 ’ 不 和 谐且 代八 笋 ， 自肠 ， 矛 盾 于 凡任 二 ’ 甲 任 中 ” 甲 口 如果 诚水 凡 ， 中无 的元 素 出现 不 妨设 曰 城水 凡 ， 若 对 丫 。 任 ， 凡 口 毋 日 淤 ， 令 ， 口 毋 ， ， · 则有 卜八 口 中 ， 卜八 日 ， 氏 ， 峪 ， 自 且 八 不 和 谐 ， 由于 不 在 ‘ 中 出现 ， 我们 有 卜八 又 八 日 沪 一 曰 劝 ， 仁八 民 一 丫 ‘ 卜八 况一 日劝 ， 卜八 尽一 丫 劝 ， 并且 曰 八 丫 夕 不和谐 ， 但 曰 ， 丫 中可 能有 中元 素 出现 ， 把 它们 中的 元 素 全 换 为 一 个 新 变 元 关 得 到 ’ ， 矶 ， 这 时有 卜八 昆一 丫 ， 卜八 又 丫 劝飞 ， 丫 八 丫 不 和 谐且 不 含 中元 素 ， 丫 ， ， 丫 声 ， 自均 ， 这 样 矛盾 于 的 定 义 二 ‘ · 曰 。 任 ， 。 不 在 ‘ 中 出 现 ， 由 ‘ 中有 ， 中有 限多 元 素 。 可 选 出 这 里 不妨设 曰 诚水戈 ， 又一 凡 口 诚 ， 又 一 凡 ， 则 有 已 ， 厂 ， 自 满足 卜八 昆 入诚 一 民 ， 卜八 凡 一 氏 ， ” ， 八 不 和 谐 但 由于 。 不 在 中 出现 有 卜八 凡 八 曰 中 三 ， 卜八 凡 丫 ‘ 卜八 尽 孔 ， 卜八 凡 丫 ， 且 曰 代 八 丫 不 和 谐 ， 矛 盾 于 叹任 二 ‘ · 曰 。 任 ， 凡 日 叫 口 凡弃 沙 成立 若 抑 〔 况 若 ， 中有 的 元 素 ， 设 叫 任 ， ， 选 择 仁 一 己口 乙 日 云 ， 口 ， 口… 日‘ 且 使 一 瓦 ， 口口口云日 ， 口 口 日… 口‘ 一 。 令 又一 ， 口 诚 ， 几 若 ‘ 口笼职 日 拼 有 卜八 一 ，， 卜八 ， ， ‘ ， 自 、 ，， 、八 不 和 谐 · 把 ， 又 中含 ‘ 的元素的命题移到蕴含式右边有 卜八 一 写 诚 丫， 。 二 丫 … 丫， 。 · 川 叮 ， 卜八 ’ 一 瑟、 、 戒 丫 … 丫 叭 · ， 似 令 沙 一 诚 丫，，。 十 ， 丫 … 丫 ， 天 ， 闪 一 钱 功 二 叭 ， “ 一 ，一 写秘 ，。 ， ‘ 一 种 ” ， ， “ 之一 “ ， 一 写 ， 。 · ，， 一 门 中 。 ， · 由此 得 出 卜八 ， 丫 城门沙 ， ， 卜八 ， 一 丫 刁 沙 一 口 由 民 ， 凡 的结构 及完 全 性 定 理 证 明 中结 论 知 卜八 又 ‘ 一 功 ， ， 卜八 凡 一 门 ‘ 们 姚 由 ， 及 得 卜八 ， 一 口， ， 卜八 一 门 沪 注 · 卜 劝 八 〕 三戏 八 矛盾 于 口， 八 不 和谐 二 ’ · 口 中 任 ‘ ， 上 面 ，一 任 ， 在 风中 出 现 二 扣 任 ， “ 在 尽 中 出现 · 注 由 可 证 丫 戏诚 一 叭 一 妇 ‘ 种 一 币 ， 价 卜丫 中 一 州 一 丫 门 价 一 叫 叹 二 价 一 门诚 一 毋 门 沙 · 若 ‘ 中无 中元 素 · ， ， 口王甲 ， 一 ‘， 卜八 又一 已 ， 卜八 又 一 氏” 卜八 狱一 瑟 诚 民 ， 卜八 昆 一 氏 · 由 ， 中 无 中元 素 出 现 及所 设 ， 任 尽 ， 有 卜八 尽一 劝 ， 卜八 又 一 丫 与上 面 同理 得 出这 时 “ 、 八 似 和 谐 二 ‘ · 日 诚 。 任 卜 公 证 明略 这 时不 能有 ， 中 无 的 元 素 若 凡 中有 的元 素 由公 理 证 若 。 ， 帅声尽 ， 这 时 中有 的元 素 ， 若 一 ， 诚 ‘ 凡 或 叹 由公 理 易 证 · 若 一 跨 ， ， 城 卜 又 ， 令 又一 ， ， 又日 诚 则若 卜八 又 已 ， 卜八 兔 刀厂 ， 自均 ， 有 卜八 又一 。 一 。 八 ， 卜八 又 一 ‘ 氏， 由 一 ‘ 八 氏 八 一 一 氏 和 谐 知 口 、 八 口 和 谐 ， · ’ · 又 口 又厂 凡 口 诚 对 诚 声凡 ， 任 凡 的情 形 同理 可 证 这 里 中 ， 价所 在 的语 言不 妨 有 中 ， 必中 的关系 、 常 量 、 函 数 符 号 ， 则 对任 意 。 任 ， 。 二 作 。 或 均 ， 设 这 时 。 二 ‘ 石 ① ， 中无 的 元

.400 北京科技大学学报 1994年No.4 素.令S=S,U{c=t,S=S若对ceC,SUSS,则有c∈C,c不在S,中出现， 满足上∧(S八{c=t})→，(c,上∧S→0，(c,0,(c)∧0，(c)不和谐.由此得出∧S,n∧t=t →9，()→斗∧S,一→彐x0,(x,卜八S,→Vx0,x),这时x0,(x)∧x0以x)不和谐.这时把x6,(x), Yx8(x)中C的元素全都换为一个元素c∈C得到(c,(c.则有∧S,→xx,卜∧S →√x8(x).由上述知Vx(x)∧Vx(x)不和谐.且x0(x),Yx8(x)不含C的元素与S,定 义矛盾，这时S,U{c=t}∈S.再考虑S,中有C的元素，与上面同理可证.只是这时对 彐8，(x)八寸x0,(x)不和谐可直接得SS,从而()成立. 到此为止证明了S是一个和谐性质.由模型存在定理知，对VSeS,S,有一个模型，由 上p·业知{p,}没有模型.{p,7难S,由X。Xw定义知：px,业∈x且p,7业中无C 的元素这意味者有8,0x∩Xw且6,62中无C中元素使卡p→0，上-8,6，∧02不和 谐.由此得出卡p→0，上，→中，，eM()且无C中元素，∴.8，是Ln()中命题.8即 所求插值. 推论：令p,x(x,x,)是L,(②)的公式且有卡p一中，那么有L(②)的一个 公式x,…,x)满足卡p→日，F日·少且在0中出现的L的关系、函数常量符号在p,中中间出 现. 证明：把x,…x,换为新常量符号e,,e,再利用插值定理即可. 参考文献 1 Bruce Kim B.Ideal Model and Some Not So Ideal Problems in the Model Theory of L(Q). J Symbolic logic,1978.43(2):304 2 Kiesler H J.Model Theory for Infinitary Logic.North Holland Amsterdam,1971 3孙晓蓝.和谐性质及其应用I,北京科技大学学报，1989,11(4)382 4 Chang C C.Keisler H J Model Theory.North Holland Amsterdam,1973 5 Sheonfield J R.Mathematical Logic.New York:Addison-Wesley Publish Company,INC,1967

· · 北 京 科 技 大 学 学 报 燮 年 素 · 令 又 ， 又 口 。 一 ‘ ， 又 二 凡 · 若 对 丫 。 任 ， ’， 口 子 ， 则 有 。 任 ， 。 不 在 ， 中 出 现 ， 满足 卜八 尽 八 笼。 一 一 已 ， 卜八 叹 氏 ， 已 八 氏 不 和 谐 由此 得 出 卜八 戈八 一 八 凡 曰劝 ， 卜八 民 丫 氏 ， 这 时 丑功 八 丫 不和谐 这时把 、 ， ， 丫 劝 中 的元 素全 都换为一 个元 素 。 〔 得 到 弓 ， 优 则 有 卜八 叹 丫 ， 卜八 又 丫 由上 述 知 丫 八 丫 优 不 和 谐 且 丫 劝 ， 丫 城 不含 的元 素 与 ‘ 定 义 矛 盾 ， 这 时 叹日 二 ‘ 再 考 虑 中 有 的 元 素 ， 与 上 面 同 理 可 证 只 是 这 时 对 日 八 丫 劝 不 和 谐可直 接 得 又诺 ， 从而 成立 到 此 为止 证 明 了 是 一 个 和 谐性 质 由模 型存 在 定理 知 ， 对丫 昆‘ ， 叹有 一 个 模 型 ， 由 片中 价知 中 ， 二沙 没 有模型 二 ’ · 职门 叫砖 ， 由 肠 ， ， 定 义 知 甲勺 ，， 门价欣，且 叭 沙中无 的元 素这意 味着 有 已 ， 厂 。 自 ， 且 已 ， 中无 中元 素使 卜甲 已 ， 卜门价 氏 ， ， 八 氏不 和 谐 · 由此得 出 卜甲 已 ， 卜 ， 必 ， 氏任 。 ，。 且 无 中元 素 ， · ’ · ， 是 瓦 。 中命题 ， 即 所求插 值 月 推论 令 诚 ，… ，戈 ， 州 ， … ，戈 是 几 ，。 的 公 式 且 有 卜甲 沙 ， 那 么 有 几 。 的 一 个 公式 ， … ， 满足 卜中 ， 卜 沙且 在 中 出现 的 的关系 、 函数常量 符号在 甲 ， 沙中间出 现 证明 把 ，… ，戈 换 为新 常量符 号 ，… ，气 ， 再利 用插值定 理 即可 一 参 考 文 献 司 此 怡 ， ， 俱 儿 孙晓蓝 和谐性质及其应 用 工 助 功 哎 ， 北 京 科技 大 学 学 报 ， ， 田的 ， 袱〕 以 劝 一 七 伪