那么,AB和AC两边之和大于BC边”。我们说的是关于一个三角形而不是关 于所有的三角形的情形;但是所说的这一个三角形完全是模糊的,因而我们 的陈述也完全是模糊的。我们没有肯定任何一个确定的命题,却肯定了从假 设ABC是某个三角形而得出的所有的命题中的一个非确定的命题。这种模糊 肯定的概念非常重要。并且不把一个模糊的肯定与确定的肯定——同样事情 在所有的情形中都成立—一相混淆也是非常重要的 在(1)断定一个命题函项的任何值和(2)断定这个函项恒真之间的差 别出现在整个数学之中,正像在欧几里得几何中一般阐明和特殊阐明的差别 样。在数学推理的任一环节里,其性质正在被探究的那些对象是对某个命 题函项的任何值的变目。下面这个定义可作为一个说明 我们称f(x)对于X=a是连续的,如果,对于每一不等于0的正数 σ,存在一个不等于0的正数∈,使得对于所有的数值上小于∈的δ的值,差 f(a+8)-f(a)在数值上小于σ 这里,函项f是上述陈述对其有意义的任何一个函项;这个陈述是关于 f的,并且随f不同而不同。但这个陈述不是关于、∈或δ的,因为它们 的所有的可能的值都涉及到了,没有一个未确定的值。(关于∈,“存在 个正数∈,使得如何如何”这个陈述是对于“如何如何”的否定适用于所有 的正数所作的否定。)因此,一个命题函项的任何值被断定时,变目(例如 上述中的f)被称作真实变项;而当一个函项称为恒真或不恒真时,变目被 称作表面变项。因此,在上述定义中,f是真实变项,而σ、∈、δ是表面 变项。 当我们断定一个命题函项的任何值时,我们将只说我们断定这个命题函 项。因此,如果我们以“X=X”的形式阐明同一律,则我们断定的是“X= X”这个函项;就是说,我们断定的是这个函项的任何值。同理,当我们否定 一个命题函项的实例时,也可以说我们否定的是命题函项。如果,不论选择 什么值,这个值都是真的,那么我们可以唯一真实地肯定一个命题函项;同 理,如果,不论选择什么值,这个值都是假的,那么,我们可以唯一真实地 否定这个函项。因而,在某些值是真的而某些值是假的一般的情形中,我们 既不能肯定又不能否定命题函项 如果φⅹ是命题函项,我们以“(x)·φx”指示命题“φⅹ恒真” 同样地“(x,y)·φ(x,y)”意指“φ(x,y)恒真”,依此类推。因 此,对所有值的断定和对任何值的断定之间的差别就是(1)断定(x)·φ X和(2)断定φX(X是未确定的)之间的差别。后者与前者的不同在于: 后者不能被视为一个确定的命题。 我认为,断定φx和断定(x)·φx之间的差别首先是由弗雷格加以 强调的。他明确引人这一差别的理由也正是将它引入数学家的实践中的理 ①这两个词源于皮亚诺,他大致将它们用于上述意义。例如,参见《数学的陈述》(图林1903年)第Ⅳ 卷第5页。(现在,“真实变项”和“表面变项”在数理逻辑中己分别通称为“自由变项”和“约束变项” 译者) ①麦科尔先生谈到“命题”可分为三类:确定的、可变的和不可能的。我们可以接受这一划分并用于命题 函项。一个可被断定的函项是确定的,一个可被否定的函项是不可能的,而所有的其他函项(在麦科尔 意义上)是可变的 ②见弗雷格:《算术的基本规律》(耶拿,1893年)第1卷,第17节,第31页
那么，AB 和 AC 两边之和大于 BC 边”。我们说的是关于一个三角形而不是关 于所有的三角形的情形；但是所说的这一个三角形完全是模糊的，因而我们 的陈述也完全是模糊的。我们没有肯定任何一个确定的命题，却肯定了从假 设 ABC 是某个三角形而得出的所有的命题中的一个非确定的命题。这种模糊 肯定的概念非常重要。并且不把一个模糊的肯定与确定的肯定——同样事情 在所有的情形中都成立——相混淆也是非常重要的。 在（1）断定一个命题函项的任何值和（2）断定这个函项恒真之间的差 别出现在整个数学之中，正像在欧几里得几何中一般阐明和特殊阐明的差别 一样。在数学推理的任一环节里，其性质正在被探究的那些对象是对某个命 题函项的任何值的变目。下面这个定义可作为一个说明： “我们称 f（x）对于 X＝a 是连续的，如果，对于每一不等于 0 的正数 σ ，存在一个不等于 0 的正数Î，使得对于所有的数值上小于Î的d的值，差 f（a＋d）—f （a）在数值上小于σ。” 这里，函项 f 是上述陈述对其有意义的任何一个函项；这个陈述是关于 f 的，并且随 f 不同而不同。但这个陈述不是关于σ、Î或δ的，因为它们 的所有的可能的值都涉及到了，没有一个未确定的值。（关于Î，“存在一 个正数Î，使得如何如何”这个陈述是对于“如何如何”的否定适用于所有 的正数所作的否定。）因此，一个命题函项的任何值被断定时，变目（例如 上述中的 f）被称作真实变项；而当一个函项称为恒真或不恒真时，变目被 称作表面变项。①因此，在上述定义中，f 是真实变项，而σ、Î、δ是表面 变项。 当我们断定一个命题函项的任何值时，我们将只说我们断定这个命题函 项。因此，如果我们以“X＝X ”的形式阐明同一律，则我们断定的是“X ＝ X”这个函项；就是说，我们断定的是这个函项的任何值。同理，当我们否定 一个命题函项的实例时，也可以说我们否定的是命题函项。如果，不论选择 什么值，这个值都是真的，那么我们可以唯一真实地肯定一个命题函项；同 理，如果，不论选择什么值，这个值都是假的，那么，我们可以唯一真实地 否定这个函项。因而，在某些值是真的而某些值是假的一般的情形中，我们 既不能肯定又不能否定命题函项。① 如果φχ是命题函项，我们以“（x）·φχ”指示命题“φχ恒真”。 同样地“（x，y）·φ（x，y）”意指“φ（x，y）恒真”，依此类推。因 此，对所有值的断定和对任何值的断定之间的差别就是（1）断定（x）·φ χ和（2）断定φχ（χ是未确定的）之间的差别。后者与前者的不同在于： 后者不能被视为一个确定的命题。 我认为，断定φχ和断定（χ）·φχ之间的差别首先是由弗雷格加以 强调的②。他明确引人这一差别的理由也正是将它引入数学家的实践中的理 ① 这两个词源于皮亚诺，他大致将它们用于上述意义。例如，参见《数学的陈述》 （图林 1903 年）第Ⅳ 卷第 5 页。（现在，“真实变项”和“表面变项”在数理逻辑中己分别通称为“自由变项”和“约束变项”。 ——译者） ① 麦科尔先生谈到“命题”可分为三类：确定的、可变的和不可能的。我们可以接受这一划分并用于命题 函项。一个可被断定的函项是确定的，一个可被否定的函项是不可能的，而所有的其他函项（在麦科尔的 意义上）是可变的。 ② 见弗雷格：《算术的基本规律》（耶拿，1893 年）第 1 卷，第 17 节，第 31 页
由,亦即:演绎推论只能对真实变项生效,对表面变项无效。在欧几里得的 证明中这一点很明显:(比如说)我们需要某一个三角形ABC进行推理,但 这与三角形是什么无关。三角形ABC是一个真实变项;虽然它是任何的三角 形,在整个论证中它一直保持是同一个三角形。但是,在一般的阐明中,三 角形是表面变项。如果我们死抱住表面变项,我们便不能进行任何演绎推论, 而这就是为什么在所有的证明中总是使用真实变项的原因。举一个最简单的 例子,假定我们知道“φX恒真”,即“(x)·φx”,而且知道“φx 总蕴涵φx”,即“(x)·{φx蕴涵φⅹ}”。我们将如何推论出“ψ 恒真”即“(x)·ψx”?我们知道下面这一点总是真的:如果φx真并且 ψx蕴涵ψX,那么屮ⅹ真。但是我们没有前提使得ψⅹ真且屮x蕴涵屮ⅹ 我们知道的是ψⅹ恒真和ψⅹ总蕴涵屮ⅹ。为了作出推论,我们必须从“φ X恒真”中得到φx,而且从“φⅹ总蕴涵ψⅹ”中得到“φx蕴涵ψx” 这里的x,作为任何可能的变目在这两者中是一样的。那么,从“φx”和“φ x蕴涵ψx”,我们推论出“ψx”;因此ψⅹ对于任何可能的变目是真的,因 而是恒真的。所以为了从“(x)·φx”和“(x)·[φx蕴涵ψx}”推论 出“(x)·ψx”,必须从表面变项过渡到真实变项,然后再返回到表面变 项。一切数学推理是从对一个或多个命题函项的所有值的断定过渡到对其他 某一命题函项的所有值的断定,例如就像从“所有等腰三角形底角相等过渡 到“所有的底角相等的三角形是等腰三角形”,因此,上述程序是一切数学 推理所需要的。在证明三段论第一格第一式和三段论的其他式中尤其需要这 个程序。总之,一切演绎推论都要运用真实变项(或常项)。 或许可以假定:有可能完全取消表面变项,以使我们满足于甩任何代替 所有,但这不是事实。以上述引用的一个连续函项的定义为例,在这个定义 中,σ、∈和δ必定是表面变项。对于定义来说表面变项是常常需要的。举 下列一个例子:“一个整数,除了1和它自身之外没有任何整因子时,被称 作质数”。这个定义不可避免地以下面这一形式包含表面变项:“如果”是 一个除了1或给定的整数之外的一个整数,则对于所有可能的n的值来说, n不是给定的整数的因子”。 因此,所有和任何之间的差别在演绎推理中必不可少,并出现在全部数 学中;虽然据我所知,在弗雷格指出这一点之前一直没有人注意到它的重要 性 对我们的目的来说,这个差别有一个重要用途。在命题或性质这类变项 的情形中,“任何值”是合法的,“所有的值”却不合法。因此我们可以说: P是真的或假的,其中P是任何命题”,但是我们不能说:“所有的命题 是真的或假的”。其理由是:在前者中,我们仅仅肯定具有“P是真的或假 的”这形式的诸命题中一个未确定的命题,而在后者中,我们肯定(如果不 同的话)一个新的命题,它与所有的具有“P是真的或假的”这形式的命题 是不同的。因此,在“所有的值”会导致自我指称的谬误的情形里,我们可 以承认一个变项的“任何值”,因为对“任何值”的认可没有以相同的方式 创造新的值。因而,虽然我们不能有意义地说逻辑的基本规律适用于所有的 命题,但是可以用这些规律说明有关任何的命题。可以这样说,这些规律具 有特殊的阐明,但不具有普遍的阐明。不存在一个是矛盾律的命题(比如说); 只存在矛盾律的各种实例,对于任何命题P,我们可以说:“P和非P不能 都真”;但是,不存在以下这样的命题:“每一命题P都是这样的命题:P和
由，亦即：演绎推论只能对真实变项生效，对表面变项无效。在欧几里得的 证明中这一点很明显：（比如说）我们需要某一个三角形 ABC 进行推理，但 这与三角形是什么无关。三角形 ABC 是一个真实变项；虽然它是任何的三角 形，在整个论证中它一直保持是同一个三角形。但是，在一般的阐明中，三 角形是表面变项。如果我们死抱住表面变项，我们便不能进行任何演绎推论， 而这就是为什么在所有的证明中总是使用真实变项的原因。举一个最简单的 例子，假定我们知道“φχ恒真”，即“（χ）·φχ”，而且知道“φχ 总蕴涵φχ”，即“（x）·{φχ蕴涵φχ} ”。我们将如何推论出“Ψχ 恒真”即“（x）·Ψχ”？我们知道下面这一点总是真的：如果φχ真并且 Ψχ蕴涵Ψχ，那么Ψχ真。但是我们没有前提使得Ψχ真且Ψχ蕴涵Ψχ； 我们知道的是Ψχ恒真和Ψχ总蕴涵Ψχ。为了作出推论，我们必须从“φ χ恒真”中得到φχ，而且从“φχ总蕴涵ψχ”中得到“φχ蕴涵ψx”， 这里的 x，作为任何可能的变目在这两者中是一样的。那么，从“φx”和“φ x 蕴涵ψx”，我们推论出“ψx”；因此ψx 对于任何可能的变目是真的，因 而是恒真的。所以为了从“（x）·φx”和“（x）·{φx 蕴涵ψx}”推论 出“（x）·ψx”，必须从表面变项过渡到真实变项，然后再返回到表面变 项。一切数学推理是从对一个或多个命题函项的所有值的断定过渡到对其他 某一命题函项的所有值的断定，例如就像从“所有等腰三角形底角相等过渡 到“所有的底角相等的三角形是等腰三角形”，因此，上述程序是一切数学 推理所需要的。在证明三段论第一格第一式和三段论的其他式中尤其需要这 个程序。总之，一切演绎推论都要运用真实变项（或常项）。 或许可以假定：有可能完全取消表面变项，以使我们满足于甩任何代替 所有，但这不是事实。以上述引用的一个连续函项的定义为例，在这个定义 中，σ、Î和δ必定是表面变项。对于定义来说表面变项是常常需要的。举 下列一个例子：“一个整数，除了 1 和它自身之外没有任何整因子时，被称 作质数”。这个定义不可避免地以下面这一形式包含表面变项：“如果”是 一个除了 1 或给定的整数之外的一个整数，则对于所有可能的 n 的值来说， n 不是给定的整数的因子”。 因此，所有和任何之间的差别在演绎推理中必不可少，并出现在全部数 学中；虽然据我所知，在弗雷格指出这一点之前一直没有人注意到它的重要 性。 对我们的目的来说，这个差别有一个重要用途。在命题或性质 这类变项 的情形中，“任何值”是合法的，“所有的值”却不合法。因此我们可以说： “P 是真的或假的，其中 P 是任何命题”，但是我们不能说：“所有的命题 是真的或假的”。其理由是：在前者中，我们仅仅肯定具有“P 是真的或假 的”这形式的诸命题中一个未确定的命题，而在后者中，我们肯定（如果不 同的话）一个新的命题，它与所有的具有“P 是真的或假的”这形式的命题 是不同的。因此，在“所有的值”会导致自我指称的谬误的情形里，我们可 以承认一个变项的“任何值”，因为对“任何值”的认可没有以相同的方式 创造新的值。因而，虽然我们不能有意义地说逻辑的基本规律适用于所有的 命题，但是可以用这些规律说明有关任何的命题。可以这样说，这些规律具 有特殊的阐明，但不具有普遍的阐明。不存在一个是矛盾律的命题（比如说）； 只存在矛盾律的各种实例，对于任何命题 P，我们可以说：“P 和非 P 不能 都真”；但是，不存在以下这样的命题：“每一命题 P 都是这样的命题：P 和
非P不能都真” 同样的解释也适用于性质。我们可以谈到关于X的任意性质,但不能谈 及所有的性质,因为会由此产生新的性质。所以,我们可以说:“如果n是 有穷整数,0有性质中,且只要m有这个φ,m+1就有性质φ,那么由此 得出:n有性质φ。这里,我们不必指定φ;φ代表“任何的性质”。但是 我们不能说:“一个有穷整数定义为具有下述每一性质φ的整数;这样的性 质被0所具有并且被具有它们的数的后继者所具有。”因为这里主要考虑的 是每一性质,而不是任何性质;在使用这样一个定义时,我们假定它包含了 个不同于有穷整数的性质,这个性质恰好是那种(正像我们看到的)从中 产生出自我指称的矛盾的假定 在上述例子中,有必要避免那些日常语言的联想,日常语言不适合表述 我们要求的那种区别。这一点可以进一步说明如下:如果归纳法用来定义有 穷整数,它就必须陈述有穷整数的确定性质,而不是模糊的性质。但是如果 φ是真实变项,“如果0具有性质φ且具有它的数的后继者具有它,n就具 有性质φ”这个陈述就赋予n一个随着φ变化而变化的性质,这样一个性质 不能用来定义有穷整数的类。我们希望说:“n是一个有穷整数,意指‘不 论性质φ可能是什么,如果0具有性质φ且具有它的数的后继者具有它,n就 具有性质φ’。”但是这里的φ已经变成表面变项。为了使φ仍是真实变项, 我们大概应当说:“无论性质φ可能是什么,n是一个有穷整数’意指‘如 果0具有性质φ且具有它的数的后继者具有它,n就具有性质φ。”但是 在这里“n是一个有穷整数”的意义随着φ变化而变化,所以这样一个定义 是不可能的。这个例子说明了一个重要之点,即:“若一个真实变项出现于 一个命题函项的断定之中,则它的辖域决不小于全部命题函项。”这就是说, 如果我们的命题函项(比如说)是“φx蕴涵p”,关于这个函项的断定将意 指“‘φx蕴涵p’的任何值是真的”,而不指“‘φx的任何值是真的’蕴 涵p”。在后者中,我们实际上有“φx的所有的值是真的”,而此x是表面 变项。 3.概括命题的意义和值域 这一节必须先讨论所有这个词在其中出现的命题的意义,然后讨论这样 的集合:这些集合容许涉及它们的所有元素的命题。 不仅把含有所有这样的命题而且还把含有有的(非确定的)这样的命题 称为概括的命题,这是很方便的。“φⅹ有时真”这个命题等价于“非-φx 恒真”的否定;“有的A是B”等价于“所有A不是B”的否定,即“无A 是B”的否定。没有必要询问是否可能发现使“φx有时真”区别于“非-中x 恒真”的否定的解释。就我们的目的而言,可以把“φx有时真”定义为“非 φⅹ总真”的否定。总之,这两类命题需要同一种解释,而且受同样的限制。 每一类命题中都有表面变项;而正是表面变项的存在能构成我称之为概括命 题的东西。 ①这和“所有的性质”没有区别 ①一个真实变项的辖域是其“任何值”被论及的全部函项。因此,在“中x蕴涵p中,X的范围不是中x, 而是“中x蕴涵p
非 P 不能都真”。 同样的解释也适用于性质。我们可以谈到关于 X 的任意性质，但不能谈 及所有的性质，因为会由此产生新的性质。所以，我们可以说：“如果 n 是 一有穷整数，O 有性质φ，且只要 m 有这个φ ，m＋1 就有性质φ，那么由此 得出：n 有性质φ。这里，我们不必指定φ；φ代表“任何的性质”。但是 我们不能说：“一个有穷整数定义为具有下述每一性质φ的整数；这样的性 质被 O 所具有并且被具有它们的数的后继者所具有。”因为这里主要考虑的 是每一性质①，而不是任何性质；在使用这样一个定义时，我们假定它包含 了 一个不同于有穷整数的性质，这个性质恰好是那种（正像我们看到的）从中 产生出自我指称的矛盾的假定。 在上述例子中，有必要避免那些日常语言的联想，日常语言不适合表述 我们要求的那种区别。这一点可以进一步说明如下：如果归纳法用来定义有 穷整数，它就必须陈述有穷整数的确定性质，而不是模糊的性质。但是如果 φ是真实变项，“如果 0 具有性质φ且具有它的数的后继者具有它，n 就具 有性质φ”这个陈述就赋予 n 一个随着φ变化而变化的性质，这样一个性质 不能用来定义有穷整数的类。我们希望说：“‘n 是一个有穷整数，意指‘不 论性质φ可能是什么，如果 0 具有性质φ且具有它的数的后继者具有它，n 就 具有性质φ’。”但是这里的φ已经变成表面变项。为了使φ仍是真实变项， 我们大概应当说：“无论性质φ可能是什么，‘n 是一个有穷整数’意指‘如 果 0 具有性质φ且具有它的数的后继者具有它，n 就具有性质φ’。”但是 在这里“n 是一个有穷整数”的意义随着φ变化而变化，所以这样一个定义 是不可能的。这个例子说明了一个重要之点，即：“若一个真实变项出现于 一个命题函项的断定之中，则它的辖域①决不小于全部命题函项。”这就是说， 如果我们的命题函项（比如说）是“φx 蕴涵 p”，关于这个函项的断定将意 指“‘φx 蕴涵 p’的任何值是真的”，而不指“‘φx 的任何值是真的’蕴 涵 p”。在后者中，我们实际上有“φx 的所有的值是真的”，而此 x 是表面 变项。 3.概括命题的意义和值域 这一节必须先讨论所有这个词在其中出现的命题的意义，然后讨论这样 的集合：这些集合容许涉及它们的所有元素的命题。 不仅把含有所有这样的命题而且还把含有有的（非确定的）这样的命题 称为概括的命题，这是很方便的。“φx 有时真”这个命题等价于“非-φx 恒真”的否定；“有的 A 是 B”等价于“所有 A 不是 B”的否定，即“无 A 是 B”的否定。没有必要询问是否可能发现使“φx 有时真”区别于“非-φx 恒真”的否定的解释。就我们的目的而言，可以把“φx 有时真”定义为“非 -φx 总真”的否定。总之，这两类命题需要同一种解释，而且受同样的限制。 每一类命题中都有表面变项；而正是表面变项的存在能构成我称之为概括命 题的东西。 ① 这和“所有的性质”没有区别。 ① 一个真实变项的辖域是其“任何值”被论及的全部函项。因此，在“φx蕴涵 p”中，X 的范围不是φx， 而是“φx蕴涵 p
(注意:任何命题中不能有真实变项,因为含有真实变项的东西不是一 个命题,而是一个命题函项。)这一节我们要问的第一个问题是:我们如何 解释在“所有人都有死”这类命题中的所有这个词?乍一看去,或许有人认 为这里不会有什么困难,“所有的人”是一个相当明确的概念,我们谈及的 是所有的入,他们都有死。但是,对这种观点有许多反对意见。 (1)要是上述观点正确,似乎就会是这样:要是没有人,“所有的人都 有死”就不能是真的。然而,正如布莱德雷指出的:即使没有人有侵犯行为 侵犯者将被起诉”也可以完全真实;因而根据他的进一步论证,我们必须 将这类命题解释为假言命题,意指“如果任何入侵犯,他将受到起诉”;也 就是说,“如果x侵犯,x将受到起诉”,其中x可能具有的那个值域(不 论是什么)完全不限于那些实际上进行侵犯的人。同样,“所有的人都有死” 将意指“如果x是人,x有死,其中ⅹ可以具有某一值域内的任何值”。这 个值域是什么留待以后确定;但不管怎样,这个值域要比“人”宽泛,因为 当x不是一个人时,上述假言命题也确实常常是真实的。 (2)“所有的人”是指称短语;鉴于我在其他地方详述的理由°,看来 指称短语绝没有任何单独的意思,而只是作为成份进入这样的命题的语言表 达式中:这些命题不含有相应于所说的指称短语的成份。这就是说,指称短 语是通过它出现在其语词表达式中的命题来定义的。因而这些命题通过指称 短语取得它们的意思这一点是不可能的;我们必须寻找一种对含有这类短语 的命题的独立解释,并且不应使用这些短语来说明这类命题的意思。因而我 们不能将“所有的人都有死”看成一个关于“所有的人”的陈述 (3)即便有“所有的人”这样一个对象,很显然,它也不是当我们说“所 有的人都有死”时我们要将有死性所归属的那个对象,要是将有死性归属那 个对象,就应当这样说:“所有的人是(单称的is。译者)有死的 因此,存在“所有的人”这样一个对象的假定无助于我们解释“所有的人都 有死”。 (4)似乎很明显,如果我们遇见某个可能是人也可能是伪装的天使的事 物,那么在“所有的人都有死”的范围之内要断定的是“如果这是一个人 他有死”。因此,正像在侵犯者的情形一样,以下这一点似乎也很显然:我 们实际上是说“如果任何事物是一个人,它就有死”,而哪种事物是人这个 问题并不属于我们断言的范围,因为,要是所有的实际上指称“所有的人”, 它就会属于了 (5)因此我们得到以下观点,即“所有的人都有死”的意思可以由下列 某个形式更明确地陈述:“如果Ⅹ是人,X有死,这一点恒真。”这里,必 须对恒这个词的范围进行考查。 (6)很明显,恒这个词包含某些X不是人的情形,如在伪装的天使的情 形中我们所看到的。既然,如果Ⅹ是人,X有死,那么X要是局限于X是人 的情形,就可以推论出X是有死的。因而,由于恒的同样的意思,我们应当 看出“X有死这一点恒真”。但是很显然,倘若不修改恒的意思,这个新命 题就是假的,虽然另一个是真的。 (7)有人或许希望“恒”意指“对于X的所有值”。但是,如果“X的 ①《逻辑》,第11章,第1部分 《论指称》,见《心灵》(1905年10月)。(本书第二篇论文。RC.马什)
（注意：任何命题中不能有真实变项，因为含有真实变项的东西不是一 个命题，而是一个命题函项。）这一节我们要问的第一个问题是：我们如何 解释在“所有人都有死”这类命题中的所有这个词？乍一看去，或许有人认 为这里不会有什么困难，“所有的人”是一个相当明确的概念，我们谈及的 是所有的入，他们都有死。但是，对这种观点有许多反对意见。 （1）要是上述观点正确，似乎就会是这样：要是没有人，“所有的人都 有死”就不能是真的。然而，正如布莱德雷指出的①：即使没有人有侵犯行为， “侵犯者将被起诉”也可以完全真实；因而根据他的进一步论证，我们必须 将这类命题解释为假言命题，意指“如果任何入侵犯，他将受到起诉”；也 就是说，“如果 x 侵犯，x 将受到起诉”，其中 x 可能具有的那个值域（不 论是什么）完全不限于那些实际上进行侵犯的人。同样，“所有的人都有死” 将意指“如果 x 是人，x 有死，其中 x 可以具有某一值域内的任何值”。这 个值域是什么留待以后确定；但不管怎样，这个值域要比“人”宽泛，因为 当 x 不是一个人时，上述假言命题也确实常常是真实的。 （2）“所有的人”是指称短语；鉴于我在其他地方详述的理由①，看来 指称短语绝没有任何单独的意思，而只是作为成份进入这样的命题的语言表 达式中：这些命题不含有相应于所说的指称短语的成份。这就是说，指称短 语是通过它出现在其语词表达式中的命题来定义的。因而这些命题通过指称 短语取得它们的意思这一点是不可能的；我们必须寻找一种对含有这类短语 的命题的独立解释，并且不应使用这些短语来说明这类命题的意思。因而我 们不能将“所有的人都有死”看成一个关于“所有的人”的陈述。 （3）即便有“所有的人”这样一个对象，很显然，它也不是当我们说“所 有的人都有死”时我们要将有死性所归属的那个对象，要是将有死性归属那 个对象，就应当这样说：“所有的人是（单称的 is。——译者）有死的。” 因此，存在“所有的人”这样一个对象的假定无助于我们解释“所有的人都 有死”。 （4）似乎很明显，如果我们遇见某个可能是人也可能是伪装的天使的事 物，那么在“所有的人都有死”的范围之内要断定的是“如果这是一个人， 他有死”。因此，正像在侵犯者的情形一样，以下这一点似乎也很显然：我 们实际上是说“如果任何事物是一个人，它就有死”，而哪种事物是人这个 问题并不属于我们断言的范围，因为，要是所有的实际上指称“所有的人”， 它就会属于了。 （5）因此我们得到以下观点，即“所有的人都有死”的意思可以由下列 某个形式更明确地陈述：“如果 X 是人，X 有死，这一点恒真。”这里，必 须对恒这个词的范围进行考查。 （6）很明显，恒这个词包含某些 X 不是人的情形，如在伪装的天使的情 形中我们所看到的。既然，如果 X 是人，X 有死，那么 X 要是局限于 X 是人 的情形，就可以推论出 X 是有死的。因而，由于恒的同样的意思，我们应当 看出“X 有死这一点恒真”。但是很显然，倘若不修改恒的意思，这个新命 题就是假的，虽然另一个是真的。 （7）有人或许希望“恒”意指“对于 X 的所有值”。但是，如果“X 的 ① 《逻辑》，第 11 章，第 1 部分。 ① 《论指称》，见《心灵》（1905 年 10 月）。（本书第二篇论文。R.C.马什）
所有值”合理,就会包括“所有的命题”和“所有的函项”这些成分,而这 些是不合法的总体。因而X的值以某种方式限定在某一合理的总体之内,这 点似乎把我们引向“论域”的传统学说,在这个学说中必须假设X存在。 (8)我们应当具有恒的某个意思,它不一定表述在一个有关X的限定 的假设之中,这一点十分重要。因为假设“恒”意指“每当X属于类i时” 这样“所有的人都有死”就变成“当x属于类i时,如果x是人,x有死” 即是说,“如果x属于类i,那么,若ⅹ是人,则x有死,这一点恒真” 但是,新的恒是什么意思呢?在这个新的命题中,比起以前将x限定在人这 个类来,似乎没有更多的理由将x限定在i这个类。因此,如果我们不能发 现对函项“如果ⅹ是人,ⅹ有死”的可能的值的自然限制(即某种给定限制 而这种限制不需要从外部来施加,我们就将被引向一个新的更广的论域,如 此等等,以至无穷。 (9)显然,既然所有的人都有死,就不会有任何是“如果X是人,x有 死”这个函项的值的(假命题)。因为,只要这是一个命题,“x是人”这 个假设必定是一个命题,因此“x有死”这个结论也必定是一个命题。但是 如果这假设是假的,则假言命题为真;如果这假设是真的,则假言命题为真。 因而不可能有“如果x是人,x有死”这个形式的假命题。 (10)由上可得出:如果要排除x的任何值,这任何值只能是这样的值: 对于这些值不会有“如果x是人,x有死”这一形式的命题,即是说,这 用语对这些值是无意义的。正像我们在(7)里看到的,既然必定有被排除的 x的值,可见“如果x是人,x有死”这个函项必定有确定的意义域,这 个意义域缺少x的所有可想像的值,虽然它超出那些是人的值。对X的限定 因此也是对“如果X是人,ⅹ有死”这个函项的意义域的限定。 (11)我们得出结论:“所有的人都有死”意指“恒有如果x是人,x有 死”。这里的恒意指“对函项‘如果工是人,x有死’的所有值来说”。这 是一个对x的内在的限定,是由这个函项的性质给出的;而且这是一个不需 要明确陈述的限定,因为一个函项的真不可能比对它的所有值来说更为 般。进一步说,如果这个函项的意义域是i,那么“如果ⅹ是i,那么如果 x是人,x有死”这个函项具有同一个意义域,因为,除非此函项的成分“如 果x是人,x有死”有意义,这个函项不能有意义。但是,这里的意义域正 像曾经在“如果x是人,ⅹ有死”这个函项里一样,又是不明确的;因此, 我们不能精确地作出意义域,这样做的尝试只能产生出一个新的命题,在这 个新命题里,同样的意义域也是不明确的。 因而一般说来:“(x)·φx”的意思是“恒有φx”。尽管缺少精确性, 这一点也可以解释为“φx恒真”,或者更明确地说:“所有的具有φx形式 的命题都是真的”,或“函项φx的所有的值是真的”。因此,这个基本的 所有是“一个命题函项的所有的值”,而每一其他的所有都来自这个所有。 而且,每一命题函项都具有一个确定的意义域。在这个域之内是这个函项对 ①称一个函项对于变目x是有意义的,如果此函项具有对于这个变目的值。因此,我门可以简略地说“ x是有意义的”,意指“函项φ具有对于变目x的一个值。”一个函项的意义域是由所有的对于此函项是 真的变目和所有的对于此函项是假的变目共同组成的 ①这个观点在语言上方便的表述是:“对于x的所有可能的值而言,中x是真的”,可以将一个可能的值 理解为这样一种东西:中x对于它是有意义的
所有值”合理，就会包括“所有的命题”和“所有的函项”这些成分，而这 些是不合法的总体。因而 X 的值以某种方式限定在某一合理的总体之内，这 一点似乎把我们引向“论域”的传统学说，在这个学说中必须假设 X 存在。 （8）我们应当具有恒的某个意思，它不一定表述在一个有关 X 的限定 的假设之中，这一点十分重要。因为假设“恒”意指“每当 X 属于类 i 时”。 这样“所有的人都有死”就变成“当 x 属于类 i 时，如果 x 是人，x 有死”； 即是说，“如果 x 属于类 i ，那么，若 x 是人，则 x 有死，这一点恒真”。 但是，新的恒是什么意思呢？在这个新的命题中，比起以前将 x 限定在人这 个类来，似乎没有更多的理由将 x 限定在 i 这个类。因此，如果我们不能发 现对函项“如果 x 是人，x 有死”的可能的值的自然限制（即某种给定限制）， 而这种限制不需要从外部来施加，我们就将被引向一个新的更广的论域，如 此等等，以至无穷。 （9）显然，既然所有的人都有死，就不会有任何是“如果 X 是人，x 有 死”这个函项的值的（假命题）。因为，只要这是一个命题，“x 是人”这 个假设必定是一个命题，因此“x 有死”这个结论也必定是一个命题。但是， 如果这假设是假的，则假言命题为真；如果这假设是真的，则假言命题为真。 因而不可能有“如果 x 是人，x 有死”这个形式的假命题。 （10）由上可得出：如果要排除 x 的任何值，这任何值只能是这样的值： 对于这些值不会有“如果 x 是人，x 有死”这一形式的命题，即是说，这一 用语对这些值是无意义的。正像我们在（7）里看到的，既然必定有被排除的 x 的值，可见“如果 x 是人，x 有死”这个函项必定有确定的意义域①，这 个意义域缺少 x 的所有可想像的值，虽然它超出那些是人的值。对 X 的限定 因此也是对“如果 X 是人，x 有死”这个函项的意义域的限定。 （11）我们得出结论：“所有的人都有死”意指“恒有如果 x 是人，x 有 死”。这里的恒意指“对函项‘如果工是人，x 有死’的所有值来说”。这 是一个对 x 的内在的限定，是由这个函项的性质给出的；而且这是一个不需 要明确陈述的限定，因为一个函项的真不可能比对它的所有值来说更为一 般。进一步说，如果这个函项的意义域是 i，那么“如果 x 是 i ，那么如果 x 是人，x 有死”这个函项具有同一个意义域，因为，除非此函项的成分“如 果 x 是人，x 有死”有意义，这个函项不能有意义。但是，这里的意义域正 像曾经在“如果 x 是人，x 有死”这个函项里一样，又是不明确的；因此， 我们不能精确地作出意义域，这样做的尝试只能产生出一个新的命题，在这 个新命题里，同样的意义域也是不明确的。 因而一般说来：“（x）·φx”的意思是“恒有φx”。尽管缺少精确性， 这一点也可以解释为“φx 恒真”，或者更明确地说：“所有的具有φx 形式 的命题都是真的”，或“函项φx 的所有的值是真的”。①因此，这个基本的 所有是“一个命题函项的所有的值”，而每一其他的所有都来自这个所有。 而且，每一命题函项都具有一个确定的意义域。在这个域之内是这个函项对 ① 称一个函项对于变目 x是有意义的，如果此函项具有对于这个变目的值。因此，我门可以简略地说“φ χ是有意义的”，意指“函项φ具有对于变目 x 的一个值。”一个函项的意义域是由所有的对于此函项是 真的变目和所有的对于此函项是假的变目 共同组成的。 ① 这个观点在语言上方便的表述是：“对于 x 的所有可能的值而言，φx是真的”，可以将一个可能的值 理解为这样一种东西：φx对于它是有意义的