其具有值的一些变目。在这个变目的域之内,这个函项不是真就是假;在这 个域之外,这个函项则无意义 上述论证可以总结如下 试图限定变项的重重困难是:这些限定自然地将自身表述为下列的假 设,即变项属于某一个类,而且,当这样表述的时候,所产生的假设是不受 预想限定的约束的。例如,让我们试图将变项限定于人,并断定,以此限定 为条件,“x有死”恒真。那么,恒真的东西是,如果x是人,x有死;即 使x不是人,这个假设也是真的。因此,一个变项绝不可能限定在某个域之 内,如果,当变项在那个域之外时,这个变项出现在其中的命题函项仍然有 意义的话。但是,如果当上述变项超出某一域之外,该函项就不再有意义的 话,那么事实上变项就被限定在那个域,而无需作任何明确的类似的陈述。 在发展逻辑类型时需要这一原则,我们很快要对此进行讨论。 现在我们开始看到“所有的某某”这样的短语何以有时是合理的而有时 又是不合理的。假设我们说:“所有的具有性质φ的项具有性质ψ”。根据 上述解释,其意思是,“φⅹ恒蕴涵ψx”。假定ψx的意义域与ψⅹ的相同, 这个陈述就是有意义的;因此,给定任何确定的函项φx,就存在关于“所有 满足φⅹ的项”的命题。但是,有时也会出现这样一种情况(正像我们后面 会更充分地看到的):一个在语言上似乎是一个函项的东西实际上是许多具 有不同的意义域的同类函项。例如,这一点适用于“p是真的”。我们将看 到,它实际上不是一个关于p的函项,而是以p是某类命题为根据的不同的 函项。在这样的情形下,表述这个模糊函项的用语,由于其模糊性质,可能 在超出任何一个函项的意义域的变目值的整个集合中都是有意义的。在这样 的情形下,所有这个词是不合法的。因此,如果我们试图说“所有的真命题 具有性质φ”,即“‘ρ是真的’恒蕴涵φp”,对于“p是真的”可能的变 目必定超出关于φ的可能的变目。因此,人们希望的一般陈述是不可能的。 有鉴于此,做出关于所有的真命题的真正一般的陈述是不可能的,然而假设 的函项φ实际上有可能像“p是真的”一样模糊,而如果它碰巧具有像“p 是真的”一样的模糊性,我们也许总能给命题“‘ρ是真的’蕴涵φp”一个 解释。例如,如果φp是“非-p是假的”,就会岀现上述的情形。于是,在 这样的情形下,我们就得到一个有关所有命题的一般命题的外观,但这种外 观是关于真和假这样的词的系统的模糊性造成的。(这种系统的模糊性来自 命题的分层,这一点将在后面作解释。)在所有这类情形里,我们可以做出 关于任何命题的陈述,因为那些模糊的词的意义将使自身适应于任何命题 但是,如果我们将命题变为一个表面变项,并且说出一些关于所有的事情, 那么我们必须假设,这些模糊的词存在某种可能的意义,尽管它可能是这些 词所具有的各种可能的意义中的完全无关的意义。这就是所有这个词何以具 有排除“所有的命题”的限定,又何以似乎存在关于“所有的命题”的真实 陈述的原因。对类型论作出解释之后,这两点会更明显。 有人常常提出这样的看法;为了可以合法地谈及一个集合的所有,所需 的是这个集合应当是有限的。因此,“所有的人都有死”是合法的,因为人 构成一个有限的类。但是,这实际上不是我们能够谈及“所有的人”的理由, 从上述讨论可以看出,最本质的不是有限性,而是可称作逻辑齐性的东西。 ①例如,由M,彭加勒提出的看法,见《形而上学和道德评论》(1906年5月)
其具有值的一些变目。在这个变目的域之内，这个函项不是真就是假；在这 个域之外，这个函项则无意义。 上述论证可以总结如下： 试图限定变项的重重困难是：这些限定自然地将自身表述为下列的假 设，即变项属于某一个类，而且，当这样表述的时候，所产生的假设是不受 预想限定的约束的。例如，让我们试图将变项限定于人，并断定，以此限定 为条件，“x 有死”恒真。那么，恒真的东西是，如果 x 是人，x 有死；即 使 x 不是人，这个假设也是真的。因此，一个变项绝不可能限定在某个域之 内，如果，当变项在那个域之外时，这个变项出现在其中的命题函项仍然有 意义的话。但是，如果当上述变项超出某一域之外，该函项就不再有意义的 话，那么事实上变项就被限定在那个域，而无需作任何明确的类似的陈述。 在发展逻辑类型时需要这一原则，我们很快要对此进行讨论。 现在我们开始看到“所有的某某”这样的短语何以有时是合理的而有时 又是不合理的。假设我们说：“所有的具有性质φ的项具有性质ψ”。根据 上述解释，其意思是，“φx 恒蕴涵ψx”。假定ψx 的意义域与ψx 的相同， 这个陈述就是有意义的；因此，给定任何确定的函项φx，就存在关于“所有 满足φx 的项”的命题。但是，有时也会出现这样一种情况（正像我们后面 会更充分地看到的）：一个在语言上似乎是一个函项的东西实际上是许多具 有不同的意义域的同类函项。例如，这一点适用于“p 是真的”。我们将看 到，它实际上不是一个关于 p 的函项，而是以 p 是某类命题为根据的不同的 函项。在这样的情形下，表述这个模糊函项的用语，由于其模糊性质，可能 在超出任何一个函项的意义域的变目值的整个集合中都是有意义的。在这样 的情形下，所有这个词是不合法的。因此，如果我们试图说“所有的真命题 具有性质φ”，即“‘p 是真的’恒蕴涵φp”，对于“p 是真的”可能的变 目必定超出关于φ的可能的变目。因此，人们希望的一般陈述是不可能的。 有鉴于此，做出关于所有的真命题的真正一般的陈述是不可能的，然而假设 的函项φ实际上有可能像“p 是真的”一样模糊，而如果它碰巧具有像“p 是真的”一样的模糊性，我们也许总能给命题“‘p 是真的’蕴涵φp”一个 解释。例如，如果φp 是“非-p 是假的”，就会出现上述的情形。于是，在 这样的情形下，我们就得到一个有关所有命题的一般命题的外观，但这种外 观是关于真和假这样的词的系统的模糊性造成的。（这种系统的模糊性来自 命题的分层，这一点将在后面作解释。）在所有这类情形里，我们可以做出 关于任何命题的陈述，因为那些模糊的词的意义将使自身适应于任何命题。 但是，如果我们将命题变为一个表面变项，并且说出一些关于所有的事情， 那么我们必须假设，这些模糊的词存在某种可能的意义，尽管它可能是这些 词所具有的各种可能的意义中的完全无关的意义。这就是所有这个词何以具 有排除“所有的命题”的限定，又何以似乎存在关于“所有的命题”的真实 陈述的原因。对类型论作出解释之后，这两点会更明显。 有人常常提出这样的看法①；为了可以合法地谈及一个集合的所有，所需 的是这个集合应当是有限的。因此，“所有的人都有死”是合法的，因为人 构成一个有限的类。但是，这实际上不是我们能够谈及“所有的人”的理由， 从上述讨论可以看出，最本质的不是有限性，而是可称作逻辑齐性的东西。 ① 例如，由 M.彭加勒提出的看法，见《形而上学和道德评论》（1906 年 5 月）
这个性质属于任意一个这样的集合:它们的项都包含在某一函项的意义域 中。要不是由于隐藏在真和假这样通常的逻辑词中的模糊性,一个集合是否 具有这个性质总是一目了然的;这种模糊性赋予那种实际上是具有不同意义 域的许多函项的混合物一种单一函项的外观。 这一节结论如下:每一含有所有这个词的命题断定了某一命题函项恒 真;这意指,所说的函项的所有的值都是真的,但不意指这个函项对所有的 变目是真的,因为存在这样的变目,对此任何给定的函项都是无意义的,亦 即没有值。因而,我们可以谈及一个集合的所有,当且仅当该集合构成某个 命题函项的全部或部分意义域,意义域定义为有关函项对其有意义亦即有值 的那些变目的集 4类型的分恳 个类型被定义为一个命题函项的意义域,即这个函项对其有值的变目 的集合。如果一个表面变项出现在命题里,这个表面变项的值域就是一个类 型,这个类型由涉及其“所有的值”的函项确定。将对象划分成类型是必不 可少的,因为否则就会产生自我指称的谬误。正像我们看到的,这些谬误可 通过叫做“恶性循环原则”的东西加以避免;这一原则是说“没有一个总体 能包含通过自身定义的元素”。用我们的术语来说,这个原则就是:“包含 一个表面变项的任何东西一定不是该变项的可能的值。”因此,包含一个表 面变项的任何东西必定属于与此变项的可能的值不同的类型;我们可以说 它属于更高的类型。因此,包含在一个表达式中的表面变项是决定其类型的 东西。这是下列讨论中的指导原则。 包含表面变项的命题通过一些过程——概括过程总是其中之一,即以 个变项代入命题的一个项,并断定对该变项所有可能的值所产生的函项 从不包含这些表面变项的命题中产生出来。因而,当命题包含表面变项时, 此命题称为概括命题,我们将一个不包含表面变项的命题称作初等命题。很 显然,含有表面变项的命题预设了其他命题,它是通过概括从这些其他的命 题得到的;因而所有概括命题都预设了初等命题。在初等命题中,我们可以 从一个或多个概念中区别一个或多个项;这些项不管是什么,都可被视为此 命题的主词,而概念是对这些项所断定的谓词或关系。我们把初等命题的项 叫做个体;这些个体构成第一或者最低的类型。 实际上,无必要了解哪些对象属于最低的类型,甚至无必要了解那些出 现在给定的语境之中的最低类型的变项是不是个体的或另外什么的类型。因 为,实际上唯有变项的关系的类型才是有关的;因此,出现在一给定的语境 中的最低类型就这个语境而论可称作是个体的类型。由此可知:上述关于个 体的说明对于以下论述的真不是根本的;最根本的是在其中其他类型从个体 产生、而个体类型可以建立的方式 通过将概括过程用于初等命题中出现的个体,就得到新的命题。这一过 程的合理性只要求:任何个体不应当是命题。这一点是由我们给个体这个词 的意义保证的。我们可以将个体定义为没有复杂度的某一事物;那么,既然 命题本质上是复杂的,个体显然不是命题。因而,将概括过程用于个体时, ①见《数学的原则》,第48节
这个性质属于任意一个这样的集合：它们的项都包含在某一函项的意义域 中。要不是由于隐藏在真和假这样通常的逻辑词中的模糊性，一个集合是否 具有这个性质总是一目了然的；这种模糊性赋予那种实际上是具有不同意义 域的许多函项的混合物一种单一函项的外观。 这一节结论如下：每一含有所有这个词的命题断定了某一命题函项恒 真；这意指，所说的函项的所有的值都是真的，但不意指这个函项对所有的 变目是真的，因为存在这样的变目，对此任何给定的函项都是无意义的，亦 即没有值。因而，我们可以谈及一个集合的所有，当且仅当该集合构成某个 命题函项的全部或部分意义域，意义域定义为有关函项对其有意义亦即有值 的那些变目的集 4.类型的分恳 一个类型被定义为一个命题函项的意义域，即这个函项对其有值的变目 的集合。如果一个表面变项出现在命题里，这个表面变项的值域就是一个类 型，这个类型由涉及其“所有的值”的函项确定。将对象划分成类型是必不 可少的，因为否则就会产生自我指称的谬误。正像我们看到的，这些谬误可 通过叫做“恶性循环原则”的东西加以避免；这一原则是说“没有一个总体 能包含通过自身定义的元素”。用我们的术语来说，这个原则就是：“包含 一个表面变项的任何东西一定不是该变项的可能的值。”因此，包含一个表 面变项的任何东西必定属于与此变项的可能的值不同的类型；我们可以说， 它属于更高的类型。因此，包含在一个表达式中的表面变项是决定其类型的 东西。这是下列讨论中的指导原则。 包含表面变项的命题通过一些过程——概括过程总是其中之一，即以一 个变项代入命题的一个项，并断定对该变项所有可能的值所产生的函项—— 从不包含这些表面变项的命题中产生出来。因而，当命题包含表面变项时， 此命题称为概括命题，我们将一个不包含表面变项的命题称作初等命题。很 显然，含有表面变项的命题预设了其他命题，它是通过概括从这些其他的命 题得到的；因而所有概括命题都预设了初等命题。在初等命题中，我们可以 从一个或多个概念中区别一个或多个项；这些项不管是什么，都可被视为此 命题的主词，而概念是对这些项所断定的谓词或关系①。我们把初等命题的项 叫做个体；这些个体构成第一或者最低的类型。 实际上，无必要了解哪些对象属于最低的类型，甚至无必要了解那些出 现在给定的语境之中的最低类型的变项是不是个体的或另外什么的类型。因 为，实际上唯有变项的关系的类型才是有关的；因此，出现在一给定的语境 中的最低类型就这个语境而论可称作是个体的类型。由此可知：上述关于个 体的说明对于以下论述的真不是根本的；最根本的是在其中其他类型从个体 产生、而个体类型可以建立的方式。 通过将概括过程用于初等命题中出现的个体，就得到新的命题。这一过 程的合理性只要求：任何个体不应当是命题。这一点是由我们给个体这个词 的意义保证的。我们可以将个体定义为没有复杂度的某一事物；那么，既然 命题本质上是复杂的，个体显然不是命题。因而，将概括过程用于个体时， ① 见《数学的原则》，第 48 节
我们不会冒出现自我指称谬误的危险。 我们将初等命题以及只包含个体作为表面变项的初等命题叫做一阶命 题。它们构成第二逻辑类型 这样我们有一个新的总体,一阶命题的总体。我们又能形成新的命题 其中一阶命题作为表面变项出现。我们称这些命题为二阶命题;它们形成第 三逻辑类型。比如说,如果爱匹门尼德断定“我所肯定的所有一阶命题都是 假的”,那么他断定的是一个二阶命题;他可以真正地断定这个命题而不是 真正地断定任何一阶命题,所以不会产生矛盾。 这一过程,可以无限地继续,第n+1逻辑类型是由n阶命题组成的 阶命题是包含n-1阶、但不包含更高阶的命题作为表面变项的命题。如此得 到的类型是相互排斥的。因而,只要我们记住:一个表面变项必定总局限于 某一类型之内,就不可能出现自我指称的谬误。 实际上,函项的分层比命题的分层更方便。不同阶的函项可以通过代人 的方式从不同阶的命题得到。如果p是一个命题,a是户的一个成份,令“p/a x”表示由于用x代a(不论a出现于p中的何处)商得到的命题。那么,我 们将p/a称作母式( matrix),它可以代替一个函项,它对变目x的值是p/a x,而对变目a的值是p。同样地,如果“p/(a,b);(x,y)”表示先用 x代a、然后又用y代b的结果,我们可以用双重母式p/(a,b)代表双重 函项。这样可以避免除个体和不同阶的命题之外的表面变项。母式的阶定义 为在其中实行代入的命题的阶。我们把这样的命题称作原型( prototype) 母式的阶并不确定母式的类型:首先因为它不确定以其他变目所代入的那些 变目的数目(即该母式是否具有p/a、p/(a,b)或p/(a,b,c等形式) 其次因为,如果此原型是大于一阶的,其变目可以是命题或者个体。但是很 显然,一个母式的类型通过命题的分层总是可定义的。 虽然,用母式代替函项是可能的,而且这个程序使得对类型的解释在 定程度上变得简单了,但这在技术上却不方便。从技术上说,用φa代替原 型p,用φx代替p/a;x,是方便的;因此,要是在使用母式的地方p和a 作为表面变项出现,我们就有φ作为表面变项。为了使φ作为表面变项可以 合理,有必要使它的值局限于某一类型的命题。因而我们继续推论如下 个其变目是个体,而且值总是一阶命题的函项,称为一阶函项。一个 包括一阶函项或命题作为表面变项的函项称为二阶函项,以此类推。一个具 有比其变目高一阶的一个变项的函项称为直谓( predicative)函项;有几个 变项的函项,如果在这些变项中存在一个使函项成为直谓函项的变项,而所 有其他的变项被赋值,也称为直谓函项。所以,一个函项的类型是由它的值 的类型以及它的变目的数目和类型决定的 函项的分层可以进一步解释如下。一个个体x的一阶函项由φ!x(ψ X,θ,f,g,G这些字母都可以用作函项)表示。所有一阶函项都不包含作 为表面变项的函项;因而这类函项构成一个明确规定了的总体,在φ!Ⅹ中 的φ可以转变成表面变项。任何一个φ在其中出现为表面变项且不存在比φ 有更高类型的表面变项的命题是一个二阶命题。这样的命题如果包含个体 X,它就不是Ⅹ的直谓函项;但是如果它包含一阶函项φ,它就是φ的直谓函 项,记作f!(ψ!■)。所以f是一个二阶直谓函项;f的可能的值又形成 个明确规定了的总体,并且我们可以将f变成表面变项。这样又能定义三 阶直谓函项,它们是一些对它们的值具有三阶命题和对它们的变目具有二阶
我们不会冒出现自我指称谬误的危险。 我们将初等命题以及只包含个体作为表面变项的初等命题叫做一阶命 题。它们构成第二逻辑类型。 这样我们有一个新的总体，一阶命题的总体。我们又能形成新的命题， 其中一阶命题作为表面变项出现。我们称这些命题为二阶命题；它们形成第 三逻辑类型。比如说，如果爱匹门尼德断定“我所肯定的所有一阶命题都是 假的”，那么他断定的是一个二阶命题；他可以真正地断定这个命题而不是 真正地断定任何一阶命题，所以不会产生矛盾。 这一过程，可以无限地继续，第 n＋1 逻辑类型是由 n 阶命题组成的。n 阶命题是包含 n－1 阶、但不包含更高阶的命题作为表面变项的命题。如此得 到的类型是相互排斥的。因而，只要我们记住：一个表面变项必定总局限于 某一类型之内，就不可能出现自我指称的谬误。 实际上，函项的分层比命题的分层更方便。不同阶的函项可以通过代人 的方式从不同阶的命题得到。如果 p 是一个命题，a 是户的一个成份，令“p/a； x”表示由于用 x 代 a（不论 a 出现于 p 中的何处）商得到的命题。那么，我 们将 p/a 称作母式（matrix），它可以代替一个函项，它对变目 x 的值是 p/a； x，而对变目 a 的值是 p。同样地，如果“p/（a，b）；（x，y）”表示先用 x 代 a、然后又用 y 代 b 的结果，我们可以用双重母式 p/（a，b） 代表双重 函项。这样可以避免除个体和不同阶的命题之外的表面变项。母式的阶定义 为在其中实行代入的命题的阶。我们把这样的命题称作原型（prototype）。 母式的阶并不确定母式的类型：首先因为它不确定以其他变目所代入的那些 变目的数目（即该母式是否具有 p/a、p/（a，b）或 p/（a，b，c 等形式）； 其次因为，如果此原型是大于一阶的，其变目可以是命题或者个体。但是很 显然，一个母式的类型通过命题的分层总是可定义的。 虽然，用母式代替函项是可能的，而且这个程序使得对类型的解释在一 定程度上变得简单了，但这在技术上却不方便。从技术上说，用φa 代替原 型 p，用φx 代替 p/a；x，是方便的；因此，要是在使用母式的地方 p 和 a 作为表面变项出现，我们就有φ作为表面变项。为了使φ作为表面变项可以 合理，有必要使它的值局限于某一类型的命题。因而我们继续推论如下。 一个其变目是个体，而且值总是一阶命题的函项，称为一阶函项。一个 包括一阶函项或命题作为表面变项的函项称为二阶函项，以此类推。一个具 有比其变目高一阶的一个变项的函项称为直谓（predicative）函项；有几个 变项的函项，如果在这些变项中存在一个使函项成为直谓函项的变项，而所 有其他的变项被赋值，也称为直谓函项。所以，一个函项的类型是由它的值 的类型以及它的变目的数目和类型决定的。 函项的分层可以进一步解释如下。一个个体 x 的一阶函项由φ！x（ψ， x，θ，f，g，G 这些字母都可以用作函项）表示。所有一阶函项都不包含作 为表面变项的函项；因而这类函项构成一个明确规定了的总体，在φ！X 中 的φ可以转变成表面变项。任何一个φ在其中出现为表面变项且不存在比φ 有更高类型的表面变项的命题是一个二阶命题。这样的命题如果包含个体 X，它就不是 X 的直谓函项；但是如果它包含一阶函项φ，它就是φ的直谓函 项，记作 f！（ψ！■）。所以 f 是一个二阶直谓函项；f 的可能的值又形成 一个明确规定了的总体，并且我们可以将 f 变成表面变项。这样又能定义三 阶直谓函项，它们是一些对它们的值具有三阶命题和对它们的变目具有二阶
直谓函项的函项。我们可以这种方式继续下去。几个变项的函项的情况完全 类似。 我们采用下列约定。任何语境中出现的最低类型的变项由小写拉丁字母 (除去f和g,这两个字母仍用于函项)表示;变目ⅹ的直谓函项(其中x 可以属于任何类型)由φ!x表示(其中φ,x,θ,f,g,F或G可以代替 φ);同样地,x和y这两个变目的直谓函项由φ!(x,y)表示;x的一般 函项由φx表示,而ⅹ和y的一般函项由φ(x,y)表示。在x中,φ不能 变成表面变项,因为它的类型是不确定的;但是在φ!x中,φ是其变目属 于某一给定类型的直谓函项,Φ就可以变成表面函项 观察下面这一点十分重要:既然有不同的命题和函项的类型,既然概括 只能在某一个类型之内运用,那么,含有“所有命题”或“所有函项”这些 词的所有用语显然都是无意义的,虽然在某些情形里它们可以有无可非议的 解释。矛盾是由于在找不到确切意思的情形中使用这类用语而产生的。 现在,如果我们回到这些矛盾上来,立即就会看出,通过类型理论可以 解决某些矛盾。凡是提及“所有的命题”之处,我们必须代之以“所有的n 阶的命题”,其中,我们给n什么值无关紧要,根本问题在于n应当有某个 值。因此,当一个人说“我正说谎”时,我们必须将他的话解释为:“有 个我肯定的n阶的命题,且这个命题是假的”。这是一个n+1阶的命题;因 而,这个人不是在肯定n阶的任何命题,因而他的陈述是假的,然而这一陈 述的假并不蕴涵“我正说谎”这个陈述的假似乎蕴涵的意思:他正作出一个 真陈述。这就解决了说谎者悖论。 再看“用少于十九个音节不可命名的最小整数”。首先要注意到,“可 命名的”必定指“通过某种指定的名称可命名的”,而且指定的名称的数目 定是有限的。因为,如果它是无限的,就没有理由说为什么应当有一个用 少于十九个音节不可命名的整数,这个悖论便可消失。我们下一步可以假设, 用类N的名称可命名的”意指“是满足完全由类N的名称组成的某个函项 的唯一的项”。我认为,这一悖论的解决在于下面这个简单的考察:“用类 N的名称可命名的”本身绝不是用那个类的名称可命名的。如果通过给N添 上“用类N的名称可命名的”这个名称而扩展N,名称的基本结构( apparatus) 就被扩大了;称新的结构为N,“用类N'的名称可命名的”就不再是用类 N的名称可命名的。如果我们试囹扩展N直至它包含所有的名称,“可命名 的”就变成(根据上述所说)“是满足完全由名称组成的某一函项的唯一的 项”。但此处有一个函项是表面变项;因而我们被局限于某一类型的直谓函 项(因为非直谓函项不能是表面变项)。因而我们不得不看到:为了避免悖 论,通过这类函项表示的可命名性是非直谓的。 关于“最小的不可定义的序数”的情形近似于刚刚讨论的情形。正像前 面所讲,这里的“可定义”必定和某一给定的基本观念的结构相关;因而有 理由假设“用类N的观念可定义的”不是用类N的观念可定义的。以下这 点是真的:存在完全由可定义的序数组成的序数序列的某个确定的节,且具 有最小的不可定义的序数作为它的界。这个最小的不可定义的序数通过对我 们的基本结构稍作扩展是可定义的;但是,又将存在一个新的序数,它将是 带有新结构的最小的不可定义的序数。如果我们扩展我们的结构,以便包括 所有可能的观念,就不再有任何理由使人相信存在不可定义的序数。我认为 这个悖论明显的力量很大程度上在于假设如果某类的所有序数是可定义的
直谓函项的函项。我们可以这种方式继续下去。几个变项的函项的情况完全 类似。 我们采用下列约定。任何语境中出现的最低类型的变项由小写拉丁字母 （除去 f 和 g，这两个字母仍用于函项）表示；变目 x 的直谓函项（其中 x 可以属于任何类型）由φ！x 表示（其中φ，x，θ，f，g，F 或 G 可以代替 φ）；同样地，x 和 y 这两个变目的直谓函项由φ！（x，y）表示；x 的一般 函项由φx 表示，而 x 和 y 的一般函项由 φ（x，y）表示。在 x 中，φ不能 变成表面变项，因为它的类型是不确定的；但是在φ！x 中，φ是其变目属 于某一给定类型的直谓函项，Φ就可以变成表面函项。 观察下面这一点十分重要：既然有不同的命题和函项的类型，既然概括 只能在某一个类型之内运用，那么，含有“所有命题”或“所有函项”这些 词的所有用语显然都是无意义的，虽然在某些情形里它们可以有无可非议的 解释。矛盾是由于在找不到确切意思的情形中使用这类用语而产生的。 现在，如果我们回到这些矛盾上来，立即就会看出，通过类型理论可以 解决某些矛盾。凡是提及“所有的命题”之处，我们必须代之以“所有的 n 阶的命题”，其中，我们给 n 什么值无关紧要，根本问题在于 n 应当有某个 值。因此，当一个人说“我正说谎”时，我们必须将他的话解释为：“有一 个我肯定的 n 阶的命题，且这个命题是假的”。这是一个 n＋1 阶的命题；因 而，这个人不是在肯定 n 阶的任何命题，因而他的陈述是假的，然而这一陈 述的假并不蕴涵“我正说谎”这个陈述的假似乎蕴涵的意思：他正作出一个 真陈述。这就解决了说谎者悖论。 再看“用少于十九个音节不可命名的最小整数”。首先要注意到，“可 命名的”必定指“通过某种指定的名称可命名的”，而且指定的名称的数目 一定是有限的。因为，如果它是无限的，就没有理由说为什么应当有一个用 少于十九个音节不可命名的整数，这个悖论便可消失。我们下一步可以假设， “用类 N 的名称可命名的”意指“是满足完全由类 N 的名称组成的某个函项 的唯一的项”。我认为，这一悖论的解决在于下面这个简单的考察：“用类 N 的名称可命名的”本身绝不是用那个类的名称可命名的。如果通过给 N 添 上“用类 N 的名称可命名的”这个名称而扩展 N，名称的基本结构（apparatus） 就被扩大了；称新的结构为 N’，“用类 N’的名称可命名的”就不再是用类 N’的名称可命名的。如果我们试囹扩展 N 直至它包含所有的名称，“可命名 的”就变成（根据上述所说）“是满足完全由名称组成的某一函项的唯一的 项”。但此处有一个函项是表面变项；因而我们被局限于某一类型的直谓函 项（因为非直谓函项不能是表面变项）。因而我们不得不看到：为了避免悖 论，通过这类函项表示的可命名性是非直谓的。 关于“最小的不可定义的序数”的情形近似于刚刚讨论的情形。正像前 面所讲，这里的“可定义”必定和某一给定的基本观念的结构相关；因而有 理由假设“用类 N 的观念可定义的”不是用类 N 的观念可定义的。以下这一 点是真的：存在完全由可定义的序数组成的序数序列的某个确定的节，且具 有最小的不可定义的序数作为它的界。这个最小的不可定义的序数通过对我 们的基本结构稍作扩展是可定义的；但是，又将存在一个新的序数，它将是 带有新结构的最小的不可定义的序数。如果我们扩展我们的结构，以便包括 所有可能的观念，就不再有任何理由使人相信存在不可定义的序数。我认为 这个悖论明显的力量很大程度上在于假设如果某类的所有序数是可定义的
这个类必定也是可定义的,这样一来它的后继当然也是可定义的;但是,没 有理由接受这个假设。 其他的矛盾,尤其是布拉里-弗蒂的矛盾,需要更深入的工作加以解决。 5可化归性公理 正像我们已经看到的,x的命题函项可以是任何阶的函项;因而,关于 “x的所有的性质”的任何陈述都是无意义的。(“x的性质”与“对x成立 的命题函项”是一回事。)但是,如果数学是可能的,就应当有某个方法做 出这样的陈述:它们通常等值于当我们(不精确地)谈及“x的所有的性质” 时心中所想之物。这一点绝对有必要。这一必要性表现在许多方面,尤其和 数学归纳法关系密切。通过使用任何而不用所有,我们可以说,“任何这样 的性质即被0具有并且被具有它的所有数的后继所具有的性质为所有有穷数 所具有”。但是,我们不能继续说:“一个有穷数是具有所有这样性质的数: 它们0所具有且被具有它们的所有数的后继所具有。”如果我们将此陈述局 限于数的所有一阶性质上,我们便不能推出:此陈述对二阶性质成立。例如 我们将不能证明:如果m、n是有穷数,则m+n也是有穷数。因为,根据以 上定义,“m是有穷数”是m的二阶性质;因而,m+0是有穷数以及如果m +n是有穷数,那么m+n+1也是有穷数这个事实不许可我们通过归纳法得 出m+n是有穷数。很明显,这种状况使得许多部分的初等数学成为不可能。 另一个由整体和部分的非相似性给出的有穷的定义处境也不好。这个定 义是:“一个类称为有穷的,如果其前域是这个类而其后域被包含子这个类 的每一个一一关系具有整个类作为它的后域。”这里出现了一个可变关系, 即关于两个变元的一个可变函项;我们必须取这个函项的所有值。这就要求 此函项应当属于某个指定的阶;但是,任何指定的阶都不能使我们推演出许 多初等数学命题。 因而,如果可能,我们必须找出在不影响命题函项的值的真或假的情况 下化归命题函项的阶的某种方法。这似乎是常识通过对类的承认而实现的。 给定属于任何阶的任何命题函项φx,对于所有x的值而言假定这一点等价于 个具有“x属于类a”形式的陈述。这个陈述是一阶的,因为它没有提及“某 类型的所有的函项”。确实,这个陈述唯一在实践上优于原来的陈述φx 之处在于它是一阶的。假定实际上存在像类这样的东西,这并没有什么好处, 而关于不是自身元素的类的矛盾表明:如果存在类,它们必定是与个体根本 不同的东西。我认为,类适合的主要目的,以及使类有语言上的方便的主要 理由是类提供一种化归命题函项的阶的方法。因此,我不假定任何似乎包含 在常识中的对类的认可的东西,除非每一命题函项就其所有的值而言都等值 于某一直谓函项。 关于函项的这个假定不论它们的变目的类型可能是什么,都是适用的 令Φx是有任何阶的变目x的函项,变目本身可能是一个个体或者任何阶的 函项。如果φ是比x高一阶的,我们用φ!x这一形式写出这个函项;在这 种情形下,我们称φ是直谓函项。因此,个体的直谓函项是一阶函项;而对 于变目的更高的类型来说,直谓函项代替了一阶函项关于个体所起的作用。 然后我们假定,每个函项对于所有它的值来说都等值于同一变目的某个直谓 函项
这个类必定也是可定义的，这样一来它的后继当然也是可定义的；但是，没 有理由接受这个假设。 其他的矛盾，尤其是布拉里-弗蒂的矛盾，需要更深入的工作加以解决。 5.可化归性公理 正像我们已经看到的，x 的命题函项可以是任何阶的函项；因而，关于 “x 的所有的性质”的任何陈述都是无意义的。（“x 的性质”与“对 x 成立 的命题函项”是一回事。）但是，如果数学是可能的，就应当有某个方法做 出这样的陈述：它们通常等值于当我们（不精确地）谈及“x 的所有的性质” 时心中所想之物。这一点绝对有必要。这一必要性表现在许多方面，尤其和 数学归纳法关系密切。通过使用任何而不用所有，我们可以说，“任何这样 的性质即被 0 具有并且被具有它的所有数的后继所具有的性质为所有有穷数 所具有”。但是，我们不能继续说：“一个有穷数是具有所有这样性质的数： 它们 0 所具有且被具有它们的所有数的后继所具有。”如果我们将此陈述局 限于数的所有一阶性质上，我们便不能推出：此陈述对二阶性质成立。例如， 我们将不能证明：如果 m、n 是有穷数，则 m＋n 也是有穷数。因为，根据以 上定义，“m 是有穷数”是 m 的二阶性质；因而，m＋0 是有穷数以及如果 m ＋n 是有穷数，那么 m＋n＋1 也是有穷数这个事实不许可我们通过归纳法得 出 m＋n 是有穷数。很明显，这种状况使得许多部分的初等数学成为不可能。 另一个由整体和部分的非相似性给出的有穷的定义处境也不好。这个定 义是：“一个类称为有穷的，如果其前域是这个类而其后域被包含子这个类 的每一个一一关系具有整个类作为它的后域。”这里出现了一个可变关系， 即关于两个变元的一个可变函项；我们必须取这个函项的所有值。这就要求 此函项应当属于某个指定的阶；但是，任何指定的阶都不能使我们推演出许 多初等数学命题。 因而，如果可能，我们必须找出在不影响命题函项的值的真或假的情况 下化归命题函项的阶的某种方法。这似乎是常识通过对类的承认而实现的。 给定属于任何阶的任何命题函项φx，对于所有 x 的值而言假定这一点等价于 一个具有“x 属于类 a”形式的陈述。这个陈述是一阶的，因为它没有提及“某 一类型的所有的函项”。确实，这个陈述唯一在实践上优于原来的陈述φx 之处在于它是一阶的。假定实际上存在像类这样的东西，这并没有什么好处， 而关于不是自身元素的类的矛盾表明：如果存在类，它们必定是与个体根本 不同的东西。我认为，类适合的主要目的，以及使类有语言上的方便的主要 理由是类提供一种化归命题函项的阶的方法。因此，我不假定任何似乎包含 在常识中的对类的认可的东西，除非每一命题函项就其所有的值而言都等值 于某一直谓函项。 关于函项的这个假定不论它们的变目的类型可能是什么，都是适用的。 令Φx 是有任何阶的变目 x 的函项，变目本身可能是一个个体或者任何阶的 函项。如果φ是比 x 高一阶的，我们用φ！x 这一形式写出这个函项；在这 种情形下，我们称φ是直谓函项。因此，个体的直谓函项是一阶函项；而对 于变目的更高的类型来说，直谓函项代替了一阶函项关于个体所起的作用。 然后我们假定，每个函项对于所有它的值来说都等值于同一变目的某个直谓 函项