入‘m-n’而产生的命题”。所得到的命题要根据为了解释那些其语言表达 式包含指称词组的命题而已经给出的规则来解释。m和n是这样的数使得有 一个且仅有一个数x,它加上n后得出m;在这种情况下,就存在一个数x, 它可以在任何包含mn的命题中代入mn而不改变命题的真或假。但在其 他情况下,“m-n在其中具有初现的所有命题都是假的。 同一性的用处通过上述理论得到了解释。除了逻辑书上讲的,决不会有 人愿意说“x是x”,但在“司各脱是《威弗利》的作者”或者“你是人 这样的语言形式中却常常作出对同一性的断言。这类命题的意义若没有同 性的概念是无法说明的,尽管它们并不完全是陈述“司各脱与另一个词项(《威 弗利》的作者)相等同”或“你与另一个词(人)相等同”。关于“司各脱 是《威弗利》的作者”的最短的陈述似乎是:“司各脱写过《威弗利》;如 果y写了《威弗利》,y和司各脱相等同,这对于y总是成立的”。这样一 来,同一性就进入“司各脱是《威弗利》的作者”;鉴于这类用法,同一性 是值得肯定的。 上述指称理论所产生的一个令人感兴趣的结果是:当出现我们没有直接 亲知的、然而仅仅由指称同组定义而知的事物时,通过指称词组在其中引入 这一事物的命题实际上不包含此事物作为它的一个成分,但包含由这个指称 词组的几个词所表达的诸成分。因此,在我们可以理解的每个命题中(即 不仅在那些我们能判断其真假的命题中,而且在我们能思考的所有命题中), 所有的成分都确实是我们具有直接亲知的实体。现在,我们要了解像物质(在 物理学上出现的物质的涵义上)和其他人的心灵这类事物只能通过指称词 组,也就是说,我们无法亲知它们,却可以把它们作为具有如此这股特性的 东西来了解。因此,虽然我们可以构成命题函项C(x),它对如此这般的 个物质粒子或对某某人的心灵必定成立,然而我们却没有亲知对这些事物作 出肯定的命题(而我们知道这些命题必定是真的),因为我们无法了解有关 的真实实体。我们所知的是“某某人有一个具备着如此这般特性的心灵”, 但我们所不知的是:只要A是所提到的心灵,“A就具备如此这般的特性 在这样一种情况下,我们知道一事物的这些特性而没有亲知该事物本身,因 而不知道以该事物本身作为其成分的任一命题。 对于我所主张的这一观点的其他许多推论,我就不多讲了。只想请求读 者,在他已试图就所指这一论题建构一个自己的理论之前,不要下决心反对 这个观点——鉴于这一理论似乎过分的复杂,他也许很想这样去做。我相信, 建构这样一个理论的尝试将使他信服:不管真的理论可能是怎样的,它都不 可能像人们事先所期望的那么简单
入‘m—n’而产生的命题”。所得到的命题要根据为了解释那些其语言表达 式包含指称词组的命题而已经给出的规则来解释。m 和 n 是这样的数使得有 一个且仅有一个数 x，它加上 n 后得出 m；在这种情况下，就存在一个数 x， 它可以在任何包含 m—n 的命题中代入 m—n 而不改变命题的真或假。但在其 他情况下，“m—n 在其中具有初现的所有命题都是假的。 同一性的用处通过上述理论得到了解释。除了逻辑书上讲的，决不会有 人愿意说“x 是 x ”，但在“司各脱是《威弗利》的作者”或者“你是人” 这样的语言形式中却常常作出对同一性的断言。这类命题的意义若没有同一 性的概念是无法说明的，尽管它们并不完全是陈述“司各脱与另一个词项（《威 弗利》的作者）相等同”或“你与另一个词（人）相等同”。关于“司各脱 是《威弗利》的作者”的最短的陈述似乎是：“司各脱写过《威弗利》；如 果 y 写了《威弗利》，y 和司各脱相等同，这对于 y 总是成立的”。这样一 来，同一性就进入“司各脱是《威弗利》的作者”；鉴于这类用法，同一性 是值得肯定的。 上述指称理论所产生的一个令人感兴趣的结果是：当出现我们没有直接 亲知的、然而仅仅由指称同组定义而知的事物时，通过指称词组在其中引入 这一事物的命题实际上不包含此事物作为它的一个成分，但包含由这个指称 词组的几个词所表达的诸成分。因此，在我们可以理解的每个命题中（即， 不仅在那些我们能判断其真假的命题中，而且在我们能思考的所有命题中）， 所有的成分都确实是我们具有直接亲知的实体。现在，我们要了解像物质（在 物理学上出现的物质的涵义上）和其他人的心灵这类事物只能通过指称词 组，也就是说，我们无法亲知它们，却可以把它们作为具有如此这股特性的 东西来了解。因此，虽然我们可以构成命题函项 C（x），它对如此这般的一 个物质粒子或对某某人的心灵必定成立，然而我们却没有亲知对这些事物作 出肯定的命题（而我们知道这些命题必定是真的），因为我们无法了解有关 的真实实体。我们所知的是“某某人有一个具备着如此这般特性的心灵”， 但我们所不知的是：只要 A 是所提到的心灵，“A 就具备如此这般的特性”。 在这样一种情况下，我们知道一事物的这些特性而没有亲知该事物本身，因 而不知道以该事物本身作为其成分的任一命题。 对于我所主张的这一观点的其他许多推论，我就不多讲了。只想请求读 者，在他已试图就所指这一论题建构一个自己的理论之前，不要下决心反对 这个观点——鉴于这一理论似乎过分的复杂，他也许很想这样去做。我相信， 建构这样一个理论的尝试将使他信服：不管真的理论可能是怎样的，它都不 可能像人们事先所期望的那么简单
以类型论为基础的数理逻辑 在这篇最初发表在《美国数学评论》上的文章中,罗素提出了他关于如 何解决涉及矛盾现象的一系列经典数学和逻辑问题的著名方法。类型学说 (他当时这样称谓自己的观点)是他在《数学的原则》第二个附录里“试探 性地提出的”。从历史观点看,这是一个很有价值的讨论,因为这个讨论以 在本世纪初罗素最先思考类型学说之后不久所采取的那种形式向我们展示了 这些观点,虽然(用他于1937年为《数学的原则》第二版写的导言的话说) 它“只不过是大致的勾画”。这里重印的这篇文章给出了实际上是完成了的 理论,尽管在《数学原理》(1910年)第1卷中,在这些观点重现于其中的 更大的范围内,我们看到这些观点有了改进 类型论在现代哲学中产生了如此重要的作用,以致我们只能说:这篇文 章是罗素最精致的文章之一,它被公认为一篇当代哲学思想的杰作。除此之 外,对其重要性的其他评论都是多余的。 以类型论为基础的数理逻辑 1908年 下面的符号逻辑理论起初以其解决某些矛盾的能力而引起了我的重视 最为数学家熟知的一个矛盾就是布拉里-弗蒂( Bural i- Fort i)关于最大序数 的矛盾。但是,这个理论似乎不完全依赖这种间接的长处;如果我没有搞错 这个理论也具有某种与常识的一致性,从而使其成为内在可信的理论。然而 这不是一个应当十分强调的优点;因为常识较之它愿意相信的要更易犯错 误。因此,我开始先说明一些有待解决的矛盾,然后阐明逻辑类型论如何解 决这些矛盾。 1.一些矛盾 (1)这方面的一种最古老的矛盾是爱匹门尼德( Ep imen ides)矛盾。克 里特岛人爱匹门尼德说,所有克里特岛人是说谎者,而所有其他的由克里特 岛人所说出的陈述当然都是谎话。这是一句谎话吗?这个矛盾最简单的形式 表现为一个人说“我正在说谎”;如果他正说谎,则他说的是真话,反之亦 然 (2)令W作为所有不是自身元素的类的类,那么,无论类X可能是什 么,“X是W”和“X不是ⅹ”是等值的°。因此,给出X的值W,则“wW是W 和“w不是W”等值。 (3)如果R对S不具有R关系,令T是存在于R和5两个关系之间的关 系。那么,不论关系R和S是什么,“R对S具有关系T”和“R对3不具有 关系T”等价。因而,对R和5都给出值T,“T对T具有关系T”和“T对T 不具有关系T”是等值的。 ①这里所谓“矛盾”(“ contradictiOn”)是指“悖论”(“ paradox”),罗素把它们用作同义语。—译者 ①如果两个命题同真或者同假,则它们称作是等值的
以类型论为基础的数理逻辑 在这篇最初发表在《美国数学评论》上的文章中，罗素提出了他关于如 何解决涉及矛盾现象的一系列经典数学和逻辑问题的著名方法。①类型学说 （他当时这样称谓自己的观点）是他在《数学的原则》第二个附录里“试探 性地提出的”。从历史观点看，这是一个很有价值的讨论，因为这个讨论以 在本世纪初罗素最先思考类型学说之后不久所采取的那种形式向我们展示了 这些观点，虽然（用他于 1937 年为《数学的原则》第二版写的导言的话说） 它“只不过是大致的勾画”。这里重印的这篇文章给出了实际上是完成了的 理论，尽管在《数学原理》（1910 年）第 1 卷中，在这些观点重现于其中的 更大的范围内，我们看到这些观点有了改进。 类型论在现代哲学中产生了如此重要的作用，以致我们只能说：这篇文 章是罗素最精致的文章之一，它被公认为一篇当代哲学思想的杰作。除此之 外，对其重要性的其他评论都是多余的。 以类型论为基础的数理逻辑 1908 年 下面的符号逻辑理论起初以其解决某些矛盾的能力而引起了我的重视。 最为数学家熟知的一个矛盾就是布拉里-弗蒂（Burali-Forti）关于最大序数 的矛盾①。但是，这个理论似乎不完全依赖这种间接的长处；如果我没有搞错， 这个理论也具有某种与常识的一致性，从而使其成为内在可信的理论。然而 这不是一个应当十分强调的优点；因为常识较之它愿意相信的要更易犯错 误。因此，我开始先说明一些有待解决的矛盾，然后阐明逻辑类型论如何解 决这些矛盾。 1.一些矛盾 （1）这方面的一种最古老的矛盾是爱匹门尼德（Epimenides）矛盾。克 里特岛人爱匹门尼德说，所有克里特岛人是说谎者，而所有其他的由克里特 岛人所说出的陈述当然都是谎话。这是一句谎话吗？这个矛盾最简单的形式 表现为一个人说“我正在说谎”；如果他正说谎，则他说的是真话，反之亦 然。 （2）令 W 作为所有不是自身元素的类的类，那么，无论类 X 可能是什 么，“X 是 W”和“X 不是 X ”是等值的①。因此，给出 X 的值 W，则“W 是 W” 和“w 不是 W”等值。 （3）如果R 对 S 不具有 R 关系，令 T 是存在于 R 和 5 两个关系之间的关 系。那么，不论关系 R 和 S 是什么，“R 对 S 具有关系 T”和“R 对 3 不具有 关系 T”等价。因而，对 R 和 5 都给出值 T，“T 对 T 具有关系 T”和“T 对 T 不具有关系 T”是等值的。 ① 这里所谓“矛盾”（“contradictiOn”）是指“悖论”（“paradox”），罗素把它们用作同义语。——译者 ① 见下文。 ① 如果两个命题同真或者同假，则它们称作是等值的
(4)有穷整数的英文名称中音节的数目随着整数的增大而增,加,而且 必定是不确定地逐步增加,因为只有有限多的名称能够通过一些给定的有限 多的音节形成。因而有些整数的名称必定至少由十九个音节构成,而在这些 整数中必定有一个最小因而“不可用少于十九个音节命名的最小整数”(“the least integer not name-able in fewer than nineteen sy l lables")v 定指示一个确定的整数。事实上,它指示111,77但是,“不可用少于十 九个音节命名的最小整数”(“ the least integer not nameable in fewe than nineteens I lables”)本身是一个由十八个音节组成的名称;因而 不可用少于十九个音节命名的最小整数可以用十八个音节来命名。这是一个 矛盾 (5)超穷序数之中有一些是可以定义的,而另一些不能定义;因为可能 定义的总数是■。,而超穷序数的数目超过■。。因而必定存在不可定义的序 数,而在这些序数之中必定存在最小的一个。但是这一点被定义为“最小的 不可定义的序数”。这是一个矛盾。① (6)理查德( Richard)悖论类似最小不可定义序数的悖论。它是这样 的:考虑所有的可通过有限多的词定义的十进位小数;令E是这些小数的类。 那么E具有■。项;由此其元素可以按照第一项、第二项、第三项……顺 序排列。令N是下列定义的数字:如果在第n个小数中的第n个数字是p 令在N中的第n个数字是p+1(或者o,如果p=9)。那么N与所有的E 的元素完全不同,因为,不论有穷值n可能是什么,N中的第n个数字完全 不同于构成E的第n个小数中的第n个数字,因此,N与第n个小数完全不 同。然而,我们已经用有限的词定义了N,因此,N应当是E的一个元素。那 么,N既是又不是E的一个元素。 7)布拉里-弗蒂( Bural i- Forti)矛盾可以陈述如下:可以证明,每 个良序的序列都有一个序数,达到并包括任意给定序数的序数序列比给定的 序数要多出一个,而且(根据一些很自然的假定)所有序数的序列是(按大 排列)良序的。由此可以得出:所有序数的序列有一个序数,比如说是Q。 但是在这种情形下,所有包括Q的序数的序列有序数Q+1,而这必定大于 Q,因而Q不是所有序数的序数。 在上述所有的矛盾(它们仅仅是从大量的矛盾中选择出来的几例)中有 一个共同的特点,我们可以将此特点描述为自我指称或自返性。爱匹门尼德 的话在其自身范围之内必定包含自身。如果所有的类——只要它们不是自身 的元素—都是W的元素,这一点必定也适用于W;与此类似的关系矛盾也 是同样道理。在名称和定义的情形,悖论产生于将不可命名性和不可定义性 视作名称和定义中的要素。在布拉里-弗蒂悖论的例子里,其序数导致困难的 序列是所有序数的序列。在每个矛盾里,都是对一类情形的所有事例说话, 2这个矛盾是由博德莱安( BOdleian)图书馆GG贝里(Bemy)先生向我提供的。 ①参见柯尼希(K6ig):《论量和连续统问题的基础》,《数学年鉴》第LⅪ卷(1905):AC狄策尼( Dixon): 《论“良序”集》,《伦敦数学学会学报》第2辑,第ⅣV卷,第1部分(1906):和Ew霍布森( Hobson) 《论算术的连续统》,同上书页。这三篇中的最后一篇文章提出的解答,在我看来是不充分的 ②彭加勒( Poincare):《数学和逻辑》,《形而上学和道德评论》(1906年5月),尤其是第Ⅶ和IX 节:也参见皮亚诺( Peano):《数学评论》,第ⅧⅢ卷(1906年)第5期,第149页以后。 《超穷数本身的一个问题》,载《巴勒莫数学小组报告集》,第ⅪI卷,1897年
（4）有穷整数的英文名称中音节的数目随着整数的增大而增，加，而且 必定是不确定地逐步增加，因为只有有限多的名称能够通过一些给定的有限 多的音节形成。因而有些整数的名称必定至少由十九个音节构成，而在这些 整数中必定有一个最小。因而“不可用少于十九个音节命名的最小整数”（“the least integer not name-able in fewer than nineteen syllables”）必 定指示一个确定的整数。事实上，它指示 111，777。但是，“不可用少于十 九个音节命名的最小整数”（“the least integer not nameable in fewer than nineteensyllables”）本身是一个由十八个音节组成的名称；因而， 不可用少于十九个音节命名的最小整数可以用十八个音节来命名。这是一个 矛盾。② （5）超穷序数之中有一些是可以定义的，而另一些不能定义；因为可能 定义的总数是■0，而超穷序数的数目超过■0。因而必定存在不可定义的序 数，而在这些序数之中必定存在最小的一个。但是这一点被定义为“最小的 不可定义的序数”。这是一个矛盾。① （6）理查德（Richard）悖论②类似最小不可定义序数的悖论。它是这样 的：考虑所有的可通过有限多的词定义的十进位小数；令 E 是这些小数的类。 那么 E 具有■0。项；由此其元素可以按照第一项、第二项、第三项……顺 序排列。令 N 是下列定义的数字：如果在第 n 个小数中的第 n 个数字是 p， 令在 N 中的第 n 个数字是 p＋1（或者 o，如果 p ＝9）。那么 N 与所有的 E 的元素完全不同，因为，不论有穷值 n 可能是什么，N 中的第 n 个数字完全 不同于构成 E 的第 n 个小数中的第 n 个数字，因此，N 与第 n 个小数完全不 同。然而，我们已经用有限的词定义了 N，因此，N 应当是 E 的一个元素。那 么，N 既是又不是 E 的一个元素。 （7）布拉里-弗蒂（Burali-Forti）矛盾③可以陈述如下：可以证明，每 个良序的序列都有一个序数，达到并包括任意给定序数的序数序列比给定的 序数要多出一个，而且（根据一些很自然的假定）所有序数的序列是（按大 小排列）良序的。由此可以得出：所有序数的序列有一个序数，比如说是Ω。 但是在这种情形下，所有包括Ω的序数的序列有序数Ω十 1，而这必定大于 Ω，因而Ω不是所有序数的序数。 在上述所有的矛盾（它们仅仅是从大量的矛盾中选择出来的几例）中有 一个共同的特点，我们可以将此特点描述为自我指称或自返性。爱匹门尼德 的话在其自身范围之内必定包含自身。如果所有的类——只要它们不是自身 的元素——都是 W 的元素，这一点必定也适用于 W；与此类似的关系矛盾也 是同样道理。在名称和定义的情形，悖论产生于将不可命名性和不可定义性 视作名称和定义中的要素。在布拉里-弗蒂悖论的例子里，其序数导致困难的 序列是所有序数的序列。在每个矛盾里，都是对一类情形的所有事例说话， ② 这个矛盾是由博德莱安（BOdleian）图书馆 G.G.贝里（Berry）先生向我提供的。 ① 参见柯尼希（K6rtig）：《论量和连续统问题的基础》，《数学年鉴》第 LXI 卷（1905）；A.C.狄策尼（Dixon）： 《论“良序”集》，《伦敦数学学会学报》第 2 辑，第 IV 卷，第 1 部分（1906）；和 E.w.霍布森（Hobson）： 《论算术的连续统》，同上书页。这三篇中的最后一篇文章提出的解答，在我看来是不充分的。 ② 彭加勒（Poincaré）：《数学和逻辑》，《形而上学和道德评论》（1906 年 5 月），尤其是第 VII 和 IX 节；也参见皮亚诺（Peano）：《数学评论》，第 VIII 卷（1906 年）第 5 期，第 149 页以后。 ③ 《超穷数本身的一个问题》，载《巴勒莫数学小组报告集》，第 XI 卷，1897 年
而从所说的话中又产生了新的情况。当所有的事例与所说的话有联系时,这 新的情况既属于又不属于这类事例。让我们仔细检查这些矛盾,看一看上述 这一点是如何产生的。 (1)当有人说“我正在说谎”时,我们可以这样解释他的陈述:“存在 一个我正肯定的命题,而这个命题是假的。”所有“存在”什么什么这样的 陈述可以视作对其矛盾的陈述总是真的所作的否定;因此,“我正说谎”就 变成:“所有这样的命题都不是真的:或者我不肯定它们,或者它们是真的 换句话说,“这对所有这样的命题p都不是真的:如果我肯定P,则P是 真的。”这个悖论源于将这个陈述视作肯定了一个命题。困此这个命题必定 进入这个陈述的范围。而从这一点可以明显地看出:“所有的命题”这一概 念不合理;因为,否则必定有一些(有如上述的)命题,它们论及所有的命 题,但是它们又不能无矛盾地包含在它们论及的那些命题之中。不论我们假 定的命题总体是什么,关于这一总体的陈述又产生新的命题,而这些命题为 了避免矛盾,必定处在总体之外。要扩大这个总体是没用的,因为论及这个 总体的陈述范围同样在扩大。因而必定不存在命题的总体,而“所有的命题” 必定是无意义的短语。 (2)在这个例子里,类W通过涉及“所有的类”而定义,结果又成了这 些类中的一个。如果我们通过确定没有一个类是自身的一个元素这一点来寻 求帮助,那么W就成为所有的类的类,而我们不得不断定,这个类不是自身 的一元素,即不是一个类。如果在悖论所要求的意义上不存在像所有类的类 这样的东西,上述这一点只是可能的。不存在这样一个类这一点来自以下事 实:如果我们假定存在这样一个类,这个假定立即(正像上述的矛盾那样) 导致产生新的类,这些类处在所假定的所有的类的总体之外。 (3)这个事例与(2)完全一样,它说明我们不能合理地谈论“所有的 关系”。 (4)“不可用少于十九个音节命名的最小整数”(“ The leastinteger not nameable in fewer than nineteen sy l lables”)牵涉到名称的总体 因为它是“这样的最小整数:所有的名称或者不适用于它,或者有多于十九 个的音节”。这里我们所以有矛盾,在于下面这个假定:一个含有“所有的 名称”的短语本身是一个名称,尽管从这个矛盾看它似乎不能是假定存在的 所有的名称中的一个。因而“所有的名称”是一个不合理的概念。 (5)这个事例同样说明:“所有的定义”是一个不合理的概念。 (6)这个事例正像(5)一样,要通过指出“所有的定义”是不合理的 概念来解决。因此,数E并未以有限的词定义;事实上它根本未加定义 (7)布拉里-弗蒂矛盾说明:“所有的序数”是不合理的概念;因为, 否则按大小排列的所有序数就构成一个良序的序列。这个序列必定具有一个 大于所有序数的序数 因此,所有的矛盾都共同有这样一个关于总体的假定:如果它合理,它 立即就由它自身所定义的新元素而扩大。 这使我们得出以下规则:“凡涉及一个集合的全部元素者,它一定不是 这一集合中的一个元素”;或者相反:“如果假定某个集合有一个总体,且 ①参见本书著者的《逻辑悖论》,《形而上学和道德评论》,1906年,9月号,第645贝
而从所说的话中又产生了新的情况。当所有的事例与所说的话有联系时，这 新的情况既属于又不属于这类事例。让我们仔细检查这些矛盾，看一看上述 这一点是如何产生的。 （1）当有人说“我正在说谎”时，我们可以这样解释他的陈述：“存在 一个我正肯定的命题，而这个命题是假的。”所有“存在”什么什么这样的 陈述可以视作对其矛盾的陈述总是真的所作的否定；因此，“我正说谎”就 变成：“所有这样的命题都不是真的：或者我不肯定它们，或者它们是真的”； 换句话说，“这对所有这样的命题 p 都不是真的：如果我肯定 P ，则 P 是 真的。”这个悖论源于将这个陈述视作肯定了一个命题。困此这个命题必定 进入这个陈述的范围。而从这一点可以明显地看出：“所有的命题”这一概 念不合理；因为，否则必定有一些（有如上述的）命题，它们论及所有的命 题，但是它们又不能无矛盾地包含在它们论及的那些命题之中。不论我们假 定的命题总体是什么，关于这一总体的陈述又产生新的命题，而这些命题为 了避免矛盾，必定处在总体之外。要扩大这个总体是没用的，因为论及这个 总体的陈述范围同样在扩大。因而必定不存在命题的总体，而“所有的命题” 必定是无意义的短语。 （2）在这个例子里，类 W 通过涉及“所有的类”而定义，结果又成了这 些类中的一个。如果我们通过确定没有一个类是自身的一个元素这一点来寻 求帮助，那么 W 就成为所有的类的类，而我们不得不断定，这个类不是自身 的一元素，即不是一个类。如果在悖论所要求的意义上不存在像所有类的类 这样的东西，上述这一点只是可能的。不存在这样一个类这一点来自以下事 实：如果我们假定存在这样一个类，这个假定立即（正像上述的矛盾那样） 导致产生新的类，这些类处在所假定的所有的类的总体之外。 （3）这个事例与（2）完全一样，它说明我们不能合理地谈论“所有的 关系”。 （4）“不可用少于十九个音节命名的最小整数”（“The leastinteger not nameable in fewer than nineteen syllables”）牵涉到名称的总体， 因为它是“这样的最小整数：所有的名称或者不适用于它，或者有多于十九 个的音节”。这里我们所以有矛盾，在于下面这个假定：一个含有“所有的 名称”的短语本身是一个名称，尽管从这个矛盾看它似乎不能是假定存在的 所有的名称中的一个。因而“所有的名称”是一个不合理的概念。 （5）这个事例同样说明：“所有的定义”是一个不合理的概念。 （6）这个事例正像（5）一样，要通过指出“所有的定义”是不合 理的 概念来解决。因此，数 E 并未以有限的词定义；事实上它根本未加定义。① （7）布拉里-弗蒂矛盾说明：“所有的序数”是不合理的概念；因为， 否则按大小排列的所有序数就构成一个良序的序列。这个序列必定具有一个 大于所有序数的序数。 因此，所有的矛盾都共同有这样一个关于总体的假定：如果它合理，它 立即就由它自身所定义的新元素而扩大。 这使我们得出以下规则：“凡涉及一个集合的全部元素者，它一定不是 这一集合中的一个元素”；或者相反：“如果假定某个集合有一个总体，且 ① 参见本书著者的《逻辑悖论》，《形而上学和道德评论》，1906 年，9 月号，第 645 贝
这个总体有由这个总体唯一可定义的元素,那么所说的集合就没有总体”。2 然而,上述原则在其范围内是纯粹否定的。它足以表明许多理论是错误 的,但是它不能说明怎样纠正这些错误。我们不能说:“当我说及所有的命 题时,我是指除提及“所有的命题’的命题之外的所有命题”;因为在这个 解释里,我们提及了在其中所有的命题都被提及的命题,我们不能有意义地 做到这一点。通过提及我们不会提及一件事物而避免提及这件事物是不可能 的。与一个有长鼻子的人谈话时,你最好是这样说:“当我谈论鼻子时,我 排除那些过分长的鼻子”:而要避免一个令人难堪的话题,这恐怕不是很成 功的尝试。因此,如果我们不打算违反上述否定性的原则,构造我们的逻辑 时有必要不提及“所有的命题”或“所有的性质”这类东西,甚至不必说我 们在排除这类东西。这种排除必须自然地而又不可避免地来自我们的正面的 学说,这些学说必须阐明“所有的命题”和“所有的性质”是一些无意义的 短语。 我们遇到的第一个困难涉及到在“思维规律”这个奇妙的名称下众所周 知的基本逻辑原则。例如,“所有的命题或真或假”已经是无意义的了。这 句话如果是有意义的,它就会是一个命题,并受它自己的管辖。然而,必须 找出某种代换物,否则,演绎推论的所有的一般性说明就是不可能的 另一个更特殊的困难是由数学归纳法的具体例子表明的。我们希望能这 样说:“如果n是有穷整数,n具有所有这样的性质:它们为0所具有并且 为所有具有这些性质的数的后继所具有”。但是,这里的“所有的性质”必 须由某个其他的不遭到同样异议的短语代替。或许可以认为:即使“所有的 性质”不合理,“0所具有并且所有具有它们的数的后继所具有的所有性质” 也许是合理的。但是,事实上不是这样。我们将看到:具有“所有的性质 它们如何如何”形式的短语涉及到所有性质,对此,“如何如何”可以被有 意义地肯定或否定,而且,我们所讨论的不只是那些事实上具有任何特点的 性质;因为,在缺乏具有这个特点的性质的一览表时,有关所有那些具有这 个特点的性质的陈述必定是假言的,并且有这个形式“如果一性质具有所说 的特点,那么如何如何,这一点总是真的”。所以,如果“所有的性质”是 无意义的短语,那么数学归纳法乍看起来是不可能有意义地加以阐明的,正 像我们后面将看到的,这个困难可以避免;现在,我们必须先讨论逻辑的规 律,因为它们是更为根本的。 2.所有和任何 给定含有变项X的陈述,比如说“X=X”,可以肯定这在一切实例中成 立,或者不用确定所断定的是哪一例,就可以肯定任何一个实例。这个区别 大致和欧几里得几何中一般阐明和特殊阐明之间的差别一样。一般的阐明告 诉我们关于(比如说)所有的三角形的某些事情,而特殊的阐明只考虑一个 三角形,并断定属于这个三角形的相同的事情。但是所思考的这个三角形是 任何三角形,不是某个特定的三角形;因此,虽然在整个证明过程中只讨论 了一个三角形,但这个证明却保持其一般性。如果说“令ABC是一三角形, 2当我说一个集合无总体时,我是指关于其所有的元素的陈述是无意义的。而且我们将发现:使用这一原 则需要在所有和任何之间作出区别。这一区别将在第2节中讨论
这个总体有由这个总体唯一可定义的元素，那么所说的集合就没有总体”。② 然而，上述原则在其范围内是纯粹否定的。它足以表明许多理论是错误 的，但是它不能说明怎样纠正这些错误。我们不能说：“当我说及所有的命 题时，我是指除提及‘所有的命题’的命题之外的所有命题”；因为在这个 解释里，我们提及了在其中所有的命题都被提及的命题，我们不能有意义地 做到这一点。通过提及我们不会提及一件事物而避免提及这件事物是不可能 的。与一个有长鼻子的人谈话时，你最好是这样说：“当我谈论鼻子时，我 排除那些过分长的鼻子”：而要避免一个令人难堪的话题，这恐怕不是很成 功的尝试。因此，如果我们不打算违反上述否定性的原则，构造我们的逻辑 时有必要不提及“所有的命题”或“所有的性质”这类东西，甚至不必说我 们在排除这类东西。这种排除必须自然地而又不可避免地来自我们的正面的 学说，这些学说必须阐明“所有的命题”和“所有的性质”是一些无意义的 短语。 我们遇到的第一个困难涉及到在“思维规律”这个奇妙的名称下众所周 知的基本逻辑原则。例如，“所有的命题或真或假”已经是无意义的了。这 句话如果是有意义的，它就会是一个命题，并受它自己的管辖。然而，必须 找出某种代换物，否则，演绎推论的所有的一般性说明就是不可能的。 另一个更特殊的困难是由数学归纳法的具体例子表明的。我们希望能这 样说：“如果 n 是有穷整数，n 具有所有这样的性质：它们为 0 所具有并且 为所有具有这些性质的数的后继所具有”。但是，这里的“所有的性质”必 须由某个其他的不遭到同样异议的短语代替。或许可以认为：即使“所有的 性质”不合理，“O 所具有并且所有具有它们的数的后继所具有的所有性质” 也许是合理的。但是，事实上不是这样。我们将看到：具有“所有的性质， 它们如何如何”形式的短语涉及到所有性质，对此，“如何如何”可以被有 意义地肯定或否定，而且，我们所讨论的不只是那些事实上具有任何特点的 性质；因为，在缺乏具有这个特点的性质的一览表时，有关所有那些具有这 个特点的性质的陈述必定是假言的，并且有这个形式“如果一性质具有所说 的特点，那么如何如何，这一点总是真的”。所以，如果“所有的性质”是 无意义的短语，那么数学归纳法乍看起来是不可能有意义地加以阐明的，正 像我们后面将看到的，这个困难可以避免；现在，我们必须先讨论逻辑的规 律，因为它们是更为根本的。 2.所有和任何 给定含有变项 X 的陈述，比如说“X＝X”，可以肯定这在一切实例中成 立，或者不用确定所断定的是哪一例，就可以肯定任何一个实例。这个区别 大致和欧几里得几何中一般阐明和特殊阐明之间的差别一样。一般的阐明告 诉我们关于（比如说）所有的三角形的某些事情，而特殊的阐明只考虑一个 三角形，并断定属于这个三角形的相同的事情。但是所思考的这个三角形是 任何三角形，不是某个特定的三角形；因此，虽然在整个证明过程中只讨论 了一个三角形，但这个证明却保持其一般性。如果说“令 ABC 是一三角形， ② 当我说一个集合无总体时，我是指关于其所有的元素的陈述是无意义的。而且我们将发现：使用这一原 则需要在所有和任何之间作出区别。这一区别将在第 2 节中讨论