这个命题证明:相同的项绝不可能在一个序级中再次出现;每一项都和 所有在先的项完全不同。 现在我们已经证明了加法和乘法的形式规则:在命题2·51中加法的结 合律,在命题2·53中加法的交换律,在·62和·63中加法的分配律,和 在·64中乘法的交换律。乘法的结合律立即从(正像对于所有的关系积一样) 关于逻辑积的相同规则中得出。在前面的所有证明中我们从未假定数:这全 部理论适用于每一个序级。因而,在一般形式中可以得出所有的有穷数的算 术系统。 在数学中我们习惯于谈论运算而不谈多对一关系。定义4·5·51就是为 了允许使用我们习惯了的语言。在这些定义中一个多对一关系和一个运算之 间的关系被解释为:一个相等符号之后出现的运算意谓那种相对应的关系。 命题4·6·61给出对应于有理数的运算的一般定义。注意到这一点很重 要:根据这一定义,任何有理数都不能等同于一个整数,因为有理数是关于 整数的运算,反之,整数不是关于有理数的运算。 [这个命题利用命题4·11的方法得到证明,但这个证明太长。] 为了避免混淆,我利用M指谓有理数中较小的那种关系。我们希望说明 这种关系与它的平方相等同。这证明它产生一个紧致序列。在第5节中我们 将展开有关这些序列的一般理论。 ru是正有理数的类,而正有理数是对没有符号的有理数的运算。 ru、+u、+ru这些类互相排斥:这四类中没有一类的项属于另外三类中的 任何一类。 4有穷与无穷 可以任意通过数学归纳法定义有穷数,并且将定义1·1视作初始命题。 但是,我还不能成功地从其他方法推演出这类命题之一。如果你通过包含与
这个命题证明：相同的项绝不可能在一个序级中再次出现；每一项都和 所有在先的项完全不同。 现在我们已经证明了加法和乘法的形式规则：在命题 2·51 中加法的结 合律，在命题 2·53 中加法的交换律，在·62 和· 63 中加法的分配律，和 在·64 中乘法的交换律。乘法的结合律立即从（正像对于所有的关系积一样） 关于逻辑积的相同规则中得出。在前面的所有证明中我们从未假定数：这全 部理论适用于每一个序级。因而，在一般形式中可以得出所有的有穷数的算 术系统。 在数学中我们习惯于谈论运算而不谈多对一关系。定义 4·5·51 就是为 了允许使用我们习惯了的语言。在这些定义中一个多对一关系和一个运算之 间的关系被解释为：一个相等符号之后出现的运算意谓那种相对应的关系。 命题 4·6·61 给出对应于有理数的运算的一般定义。注意到这一点很重 要：根据这一定义，任何有理数都不能等同于一个整数，因为有理数是关于 整数的运算，反之，整数不是关于有理数的运算。 [这个命题利用命题 4· 11 的方法得到证明，但这个证明太长。] 为了避免混淆，我利用 M 指谓有理数中较小的那种关系。我们希望说明 这种关系与它的平方相等同。这证明它产生一个紧致序列。在第 5 节中我们 将展开有关这些序列的一般理论。 ＋ru 是正有理数的类，而正有理数是对没有符号的有理数的运算。u、 ru、＋u、＋ru 这些类互相排斥：这四类中没有一类的项属于另外三类中的 任何一类。 4.有穷与无穷 可以任意通过数学归纳法定义有穷数，并且将定义 1·1 视作初始命题。 但是，我还不能成功地从其他方法推演出这类命题之一。如果你通过包含与
自身相似的一部分这个性质而定义了一个无穷的类,就不能证实:去掉一个 单一的个体而得到的部分与整个类相似,而这一点对于有穷数论具有至关重 要的结果。一旦通过保持对自身相似的这种性质(当你对这个无穷类添加 个不属于它的项时)而定义一个无穷的类,你就排除了所有的个体的那个类 (全类),因为你不能够对那个类添加任何东西。鉴于这些理由,与两个初 始命题1·7和3·1一起,我采用了定义1·1。 现在我们已经证明:与有穷的基数相似的任何一个类都是一个序级,反 之亦然,从这一点我们推演出:第3节的所有的结果都适用于有穷数。 关于y<x的定义,参见第3节命题3·31。 我们推演出:任意一个有穷类都可良序 命题3·51给出关于无穷的通常定义,但是从这一点看起来不能推演出 命题1·1。 5.紧致序列 这些命题给出关于一个紧致序列的定义。如果R是一个包含在相异关系 中的并且等同于自身平方的连续关系,且如果u是关于R的前域与■的前域 的逻辑和之中所包含的一个类,两个不同的U总有R和■这两种关系之 在两个u之间总存在第三个u,那么u是一个ΦR,对于产生这样的序列的所 有关系而言,类Φ是所有紧致序列的类。 这个命题给出一种方法,借助这个方法,通过与一个给定紧致序列的对 应,我们得到一个新的紧致序列。这证明:与一个紧致序列相似的每一类在 关于一种关系上自身也是一个紧致序列。我们有更一般性的定理:给定P, 以及使P■0P■P成立的一种关系,像冗一样的序型的序列的类就是P这 些关系的前域的类,使得存在P=■ps=0这样的一一对应关系S。这个 定理毫无例外地适用于所有类型的序列。为避免篇幅过长我省去了证明。 关于Ru∩eu的定义,参见第2节命题3·12。 pu相当于皮亚诺称作节的类[《数学评论》第6卷,第133页,第8节 命题·0]。我把pu称为下节的类,pu称为上节的类。 关于oτ的定义,参见第1节命题1·34 这一证明中的命题(2)和(3)是初始命题,要是我们想制定一种完全 的逻辑,我们本应当在第1节中引入这两个命题;命题(2)肯定类之间的包 含是一个关系,而命题(3)肯定了类的相等是一个关系。 现在我们已证明:下节的那个类对于T是一个紧致序列。同样也可以证
自身相似的一部分这个性质而定义了一个无穷的类，就不能证实：去掉一个 单一的个体而得到的部分与整个类相似，而这一点对于有穷数论具有至关重 要的结果。一旦通过保持对自身相似的这种性质（当你对这个无穷类添加一 个不属于它的项时）而定义一个无穷的类，你就排除了所有的个体的那个类 （全类），因为你不能够对那个类添加任何东西。鉴于这些理由，与两个初 始命题 1·7 和 3·1 一起，我采用了定义 1·1。 现在我们已经证明：与有穷的基数相似的任何一个类都是一个序级，反 之亦然，从这一点我们推演出：第 3 节的所有的结果都适用于有穷数。 关于 y<x 的定义，参见第 3 节命题 3·31。 我们推演出：任意一个有穷类都可良序。 命题 3·51 给出关于无穷的通常定义，但是从这一点看起来不能推演出 命题 1·1。 5.紧致序列 这些命题给出关于一个紧致序列的定义。如果 R 是一个包含在相异关系 中的并且等同于自身平方的连续关系，且如果 u 是关于 R 的前域与■的前域 的逻辑和之中所包含的一个类，两个不同的 U 总有 R 和■这两种关系之一， 在两个 u 之间总存在第三个 u，那么 u 是一个FR，对于产生这样的序列的所 有关系而言，类F是所有紧致序列的类。 这个命题给出一种方法，借助这个方法，通过与一个给定紧致序列的对 应，我们得到一个新的紧致序列。这证明：与一个紧致序列相似的每一类在 关于一种关系上自身也是一个紧致序列。我们有更一般性的定理：给定 P， 以及使 P■0’P2■P 成立的一种关系，像冗一样的序型的序列的类就是 P’这 些关系的前域的类，使得存在 P’＝■psπ＝ο这样的一一对应关系 S。这个 定理毫无例外地适用于所有类型的序列。为避免篇幅过长我省去了证明。 关于 RuÇeu 的定义，参见第 2 节命题 3·12。 pu 相当于皮亚诺称作节的类[《数学评论》第 6 卷，第 133 页，第 8 节 命题· 0]。我把 pu 称为下节的类，pu 称为上节的类。 关于wt的定义，参见第 1 节命题 1· 34。 这一证明中的命题（2）和（3）是初始命题，要是我们想制定一种完全 的逻辑，我们本应当在第 1 节中引入这两个命题；命题（2）肯定类之间的包 含是一个关系，而命题（3）肯定了类的相等是一个关系。 现在我们已证明：下节的那个类对于 T 是一个紧致序列。同样也可以证
明上节的那个类是一个紧致序列。 关于wt的定义,参见第1节命题13·6 这个命题证明:如果u是一个紧致序列的节的类,在ω的一个变项中包 含的节的这个类就和在许多类的类的逻辑和中包含的节的那个类相同。当 类ω没有极大值时,我们可以推演出凶的逻辑和是ω的上界:因此,这个类 ω总有极大值或上界。(参见下面的命题3·6·7·8。)同类定理的一半的 证明是关于下界和命题3·51中的逻辑积的 你不能证明r(n‘u)=uτ。当ω具有极小值时,这个定理才能是 真的;在相反的情形里,ω的下界是⌒‘ω,并且在某一些情形里将属于类, 但不属于类τ(⌒‘) 命题3·6·8证明:pu对于上界是完备的,而对下界并非必要。正像刚 才定义一样,λ′不总是一个界限,因为如果有一个极大值,那么这个界 就是极大值。构成类pu的节是由u中所包含的任何类的定义。在下一节我们 将考查节和界,它们是通过唯一地使用康托尔( Cantor)叫做基本序列的东 西而得到的。[《数学评论》,第5卷,第157页。] 6.一个紧致序列中的基本序列 基本序列是类型u的序列,这些序列中每一个都在含有它们的紧致序列 之内连续地上升或下降。在第一种情形下(1·1),我称基本序列为序级; 在第二种情形下(1·2),我称基本序列为归级·( regression)。紧致序 列不从属于任何条件,除非它是紧致的。例如,我不能确定它是否可数、或 者是否连续、或者它既不可数又不连续。 如果u是一个序级,Reu是这个序级(第3节命题1·12)的生成关系 的类。在这种情况下,你可以承认,只有满足所给的条件的关系才是生成关 系。这样一种关系,如果存在,它就是唯一的。我们一定不要混淆ωp和u π,参见第3节命题1·11。 我们一定不要混淆πω和pu(第5节命题2·3):pu是u的所有下节的类, πω是规定序级的那些下节的类。这两个类在大部分情形中是同一的。但是 我不知道关于它们是否永远同一这一点的任何证明 上面这个证明有点复杂,所以我再逐字重复一遍。这个命题断定:如旭 两个序级v和v是这样的,即在v的任何两个相邻的项之间,总能找到至少 个ν的项,那么就没有v的项在所有的v的项之后。令x是v的一个项,y是 和x后继之间的ν的一个项。那么,那些并不先于x的v的项构成一个序级■ xVv,而那些并不先于y的ν的项构成一个序级■yv。那么,x只要是■xv的 任何一个项,y是x:和x后继之间的v的一个项,就可以推演出:y是■yv 的一个项。现在,有一个■yv的项y,它居于x后继和x后继的后继之间
明上节的那个类是一个紧致序列。 关于 wt 的定义，参见第 1 节命题 13·6。 这个命题证明：如果ω是一个紧致序列的节的类，在ω的一个变项中包 含的节的这个类就和在许多类ω的类的逻辑和中包含的节的那个类相同。当 类ω没有极大值时，我们可以推演出凶的逻辑和是ω的上界：因此，这个类 ω总有极大值或上界。（参见下面的命题 3·6·7·8。）同类定理的一半的 证明是关于下界和命题 3·51 中的逻辑积的。 你不能证明т（Ç‘ω） ＝ωτ。当ω具有极小值时，这个定理才能是 真的；在相反的情形里，ω的下界是Ç‘ω，并且在某一些情形里将属于类， 但不属于类τ（Ç‘ω）。 命题 3·6·8 证明：pu 对于上界是完备的，而对下界并非必要。正像刚 才定义一样，λ′ω不总是一个界限，因为如果有一个极大值，那么这个界 就是极大值。构成类 pu 的节是由 u 中所包含的任何类的定义。在下一节我们 将考查节和界，它们是通过唯一地使用康托尔（Cantor）叫做基本序列的东 西而得到的。[《数学评论》，第 5 卷，第 157 页。] 6.一个紧致序列中的基本序列 基本序列是类型ω的序列，这些序列中每一个都在含有它们的紧致序列 之内连续地上升或下降。在第一种情形下（1·1），我称基本序列为序级； 在第二种情形下（1·2），我称基本序列为归级·（regression）。紧致序 列不从属于任何条件，除非它是紧致的。例如，我不能确定它是否可数、或 者是否连续、或者它既不可数又不连续。 如果υ是一个序级，Relυ是这个序级（第 3 节命题 1·12）的生成关系 的类。在这种情况下，你可以承认，只有满足所给的条件的关系才是生成关 系。这样一种关系，如果存在，它就是唯一的。我们一定不要混淆ωp 和ω π，参见第 3 节命题 1·11。 我们一定不要混淆πω和 pu（第 5 节命题 2·3〕：pu 是 u 的所有下节的类， πω是规定序级的那些下节的类。这两个类在大部分情形中是同一的。但是， 我不知道关于它们是否永远同一这一点的任何证明。 上面这个证明有点复杂，所以我再逐字重复一遍。这个命题断定：如旭 两个序级n和n’是这样的，即在n的任何两个相邻的项之间，总能找到至少一 个n’的项，那么就没有n’的项在所有的n的项之后。令 x 是n的一个项，y 是 x 和 x 后继之间的n’的一个项。那么，那些并不先于 x 的n的项构成一个序级■ xn，而那些并不先于 y 的n’的项构成一个序级■yn’。那么，x’只要是■xn的 任何一个项，y’是 x’和 x’后继之间的n’的一个项，就可以推演出：y’是■yn’ 的一个项。现在，有一个■yn’的项 y’’，它居于 x’后继和 x’后继的后继之间
而且这样一个项必定是y后继或者继承y后继;因此y后继必定先于x3后继 的后继。由此可知:如果z是一个先于任何v的一个v,那么z后继也是先于 任何v的一个v。但是,由假设,存在某个先于v的v,因此v'的第一个项必定 先于ν。我们通过归纳而推演出:所有的ν的项都先于ν的某些项。这就是说, 没有的项在所有的v的项之后。 这个命题断定:如果v是在一个紧致序列μ中的一个序级,且如果ω是包 含在u之内的一个类并且后继某些v的项,且如果有一个(并且只有一个) u的项在任何两个相邻的v的项之间,且如果是所有的v的项的后继的项最 终也是所有u的项的后继,那么ω是在u之中的一个序级。 按照刚才的定义,1V和1.是真实的界限,而上一节中的λ’v和入 或是界限或是极大值或是极小值。既然1ⅴ属ν类νπ,1’v就不能属于 类刀,进一步说,根据定义,1ν没有极大值。同样,1.ω不属于类ω,它 没有极小值。如果一个ωP或一个u■有界,则只能有一个界,但也可能根 本没有界。另一方面,在导出类πω,uπ,uπ,πu中,正像我们已经 看到的一样,你可以论证界的存在。 这个命题断定:你可以找到一个序级,它的所有的项都包含在紧致序列 μ的两个给定的项之间。 在上述证明中,先取其生成关系是R的任何序级v’。再取a和b之间 任何一个项并且建立一个关系Rov,这种关系在v’的第一个项和在a和b 之间取的那个项之间唯一地成立。然后通过归纳证明:对于v’的任何项x 来说,可以找到一种关系Rx,这种关系仅仅在x和在a和b之间的单独项之 间成立。这个单独项是先于seqx(x后继)与其具有关系 Rsegx的那个唯 的项。因此,对ⅹ的所有的值,可取凡关系的逻辑总和R’,因为无论哪· 个x都是一个ν,而且可以证明:■的前域是U中的一个序级,其中所有 的项可以在a和b之间得到。你使用的这个程序可以描述为“没有数的计算”。 关于T的定义,参见第5节命题2·7。 这个命题证明:mω的任何一个项(就是说,u的所有的下节)是πu 的那些项的一个序级的上界,如果v是u中的一个序级,工是v的一个变项 T就是πu这些节的界;但是,这个事实对于4·2的证明并不充分,因为 你没有理由相信πω永远属于πω这个类,就是说,如果x是一个u,x就 是在u中的一个序级的上界。 正像4·2来自3·1一样,这个命题来自3·11。 命题·22至·27的证明类似于命题·2的证明。还有另一些同样形式的 命题,我们不知道怎样证明它们,而这些命题看来并不总是真实的。以下就 是这样的一个命题
而且这样一个项必定是 y’后继或者继承 y’后继；因此 y 后继必定先于 x’后继 的后继。由此可知：如果 z 是一个先于任何n的一个n’，那么 z 后继也是先于 任何n的一个n’。但是，由假设,存在某个先于n的n’，因此n’的第一个项必定 先于n。我们通过归纳而推演出：所有的n’的项都先于n的某些项。这就是说， 没有n’的项在所有的n的项之后。 这个命题断定：如果n是在一个紧致序列m中的一个序级，且如果ω是包 含在 u 之内的一个类并且后继某些ν的项，且如果有一个（并且只有一个） ω的项在任何两个相邻的ν的项之间，且如果是所有的ν的项的后继的项最 终也是所有ω的项的后继，那么ω是在 u 之中的一个序级。 按照刚才的定义，1’ν和1.ω是真实的界限，而上一节中的λ’v 和λ， v 或是界限或是极大值或是极小值。既然 1’v 属ν类νπ，1’v 就不能属于 类刀，进一步说，根据定义，l’ν没有极大值。同样，1.ω不属于类ω，它 没有极小值。如果一个ωP 或一个ω■有界，则只能有一个界，但也可能根 本没有界。另一方面，在导出类πω，ωπ，ωπ，πω中，正像我们已经 看到的一样，你可以论证界的存在。 这个命题断定：你可以找到一个序级，它的所有的项都包含在紧致序列 m的两个给定的项之间。 在上述证明中，先取其生成关系是 R 的任何序级ν’。再取 a 和 b 之间 任何一个项并且建立一个关系 Rov’，这种关系在ν’的第一个项和在 a 和 b 之间取的那个项之间唯一地成立。然后通过归纳证明：对于ν’的任何项χ’ 来说，可以找到一种关系 Rx，这种关系仅仅在 x 和在 a 和 b 之间的单独项之 间成立。这个单独项是先于 seqx（x 后继）与其具有关系 Rseqx 的那个唯一 的项。因此，对 x 的所有的值，可取凡关系的逻辑总和 R’，因为无论哪一 个 x 都是一个ν，而且可以证明：■’的前域是 U 中的一个序级，其中所有 的项可以在 a 和 b 之间得到。你使用的这个程序可以描述为“没有数的计算”。 关于 T 的定义，参见第 5 节命题 2·7。 这个命题证明：πω的任何一个项（就是说，u 的所有的下节）是πω 的那些项的一个序级的上界，如果 v 是 u 中的一个序级，工是ν的一个变项， πν就是πω这些节的界；但是，这个事实对于 4·2 的证明并不充分，因为 你没有理由相信πω永远属于πω这个类，就是说，如果 x 是一个 u，χ就 是在 u 中的一个序级的上界。 正像 4·2 来自 3·1 一样，这个命题来自 3·11。 命题·22 至·27 的证明类似于命题·2 的证明。还有另一些同样形式的 命题，我们不知道怎样证明它们，而这些命题看来并不总是真实的。以下就 是这样的一个命题：
这里也有其他八个形式相似的命题,这些命题看来并不总是真实的,以 下就是这样的一个命题: 对第6节的评注。现在我们可以总结第6节中的主要结论。一个紧致序 列(Φ)是一个在其自身的项中任何二个项之间具有一个项的序列。这样 个序列通过传递关系P进行定义,这种关系蕴涵相异(不等同)关系,而且 是这样的关系,P2=P。如果xPy,就可以说ⅹ先于y。如果在所讨论的序列之 外存在一些项,这些项对其他项具有P或■关系,你就总能找到另一种关系 在所讨论的这个序列之内等价于P,而且使得所有具有那个关系或这关系的 逆的项都属于所讨论的这个序列。(第5节命题1·6。)因此,我们可以更 简单地但仍不失普遍地将一个适当的关系及其逆的整个的前域看成一个紧致 序列的类型。 令u是一个这样的序列,P是它的生成关系。在u中一个序级是包含在u 之中具有类型的一个序列,使得总有 X Pseq x,如果x是这个序级的一个 项。我们称uP是在u中的序级的类。与此同时,ωP是归级的类,就是说, 具有类型u的序列的类,对此有x■seqx。可以构造一个uP和u■,它们 中所有的项都可以在u中的任何二个项之间得到。 每个包含在u之中的类v在u中定义四个类: (1)πv,它包含所有的项,使得有一个w是它们的后继 (2)πu它包含所有的项,使得有一个v是它们的前驱 它包含所有先于u的任何一项的项 (4)UT,它包含所有的后继u的任何一项的项 如果U是一个序级,(1)和(4)都独自具有重要性;对一个归级来说, (2)和(3)都独自具有重要性。如果ν是一个序级,u的任何一个项属于 (1)或(4),而(1)没有一个最后的项;但是你不可能知道(在一般情形 里):(4)是否有第一个项。如果v是一个归级,也可以说类似的话。 现在提出节的理论,它把实数理论普遍化了,有四类节: (1)类πu,它是由所有的类πu组成的,在此u是任何一个uP (2)类■ω,它是由所有的类πu组成的,在此u是任何一个m■ (3)类uT,它是由所有的类um组成的,在此u是任何一个uP (4)类u■,它帅所有的类U■组成的,在此是任何一个uP。 以上四类的每一类是中其生成关系是从逻辑包含关系导出的。ω■的任 何项都是u和mu的相应的项的否定的积;对于Tu和un也是一样。类 和uT可以有公共项;例如,如果u是有理数的类,而ν是u中的一个序 级,它没有有理界,那么ν是一个确定相同截(在戴德金( Dedek ind)的意 义上)的归级,如果u是满足戴德金连续性假设的一个序列,πω和ωπ没 有公共项;因为那样会在所有属于类un的类中而不是在mo的类中产生 个第三项 这四类(uT,■ω,ω■)的每一类中你都可以构造一个序级或归级 它总有一个属于这四类之一的一个界,但不是总属于含有同一个序级或归级 的那个类。进一步说,这四类中的每一类的任何项是某些序级的界,或者某 归级的界,但不必然都是这两者的界(就外表而言);而那些特定的序级
这里也有其他八个形式相似的命题，这些命题看来并不总是真实的，以 下就是这样的一个命题： 对第 6 节的评注。现在我们可以总结第 6 节中的主要结论。一个紧致序 列（Φ）是一个在其自身的项中任何二个项之间具有一个项的序列。这样一 个序列通过传递关系 P 进行定义，这种关系蕴涵相异（不等同）关系，而且 是这样的关系，P2=P。如果 xPy，就可以说χ先于 y。如果在所讨论的序列之 外存在一些项，这些项对其他项具有 P 或■关系，你就总能找到另一种关系 在所讨论的这个序列之内等价于 P，而且使得所有具有那个关系或这关系的 逆的项都属于所讨论的这个序列。（第 5 节命题 1·6。）因此，我们可以更 简单地但仍不失普遍地将一个适当的关系及其逆的整个的前域看成一个紧致 序列的类型。 令 u 是一个这样的序列，P 是它的生成关系。在 u 中一个序级是包含在 u 之中具有类型ω的一个序列，使得总有χPseqχ，如果 x 是这个序级的一个 项。我们称ωP 是在 u 中的序级的类。与此同时，ωP 是归级的类，就是说， 具有类型ω的序列的类，对此有χ■ seqχ。可以构造一个ωP 和ω■,它们 中所有的项都可以在 u 中的任何二个项之间得到。 每个包含在 u 之中的类 v 在 u 中定义四个类： （1）πν，它包含所有的项，使得有一个ν是它们的后继； （2）πυ它包含所有的项，使得有一个ν是它们的前驱： （3）υπ，它包含所有先于υ的任何一项的项； （4） υπ,它包含所有的后继υ的任何一项的项。 如果υ是一个序级，（1）和（4）都独自具有重要性；对一个归级来说， （2）和（3）都独自具有重要性。如果ν是一个序级，u 的任何一个项属于 （1）或（4），而（1）没有一个最后的项；但是你不可能知道（在一般情形 里）：（4）是否有第一个项。如果ν是一个归级，也可以说类似的话。 现在提出节的理论，它把实数理论普遍化了，有四类节： （1）类πω，它是由所有的类πυ组成的，在此υ是任何一个ωP： （2）类■ω，它是由所有的类πω组成的，在此υ是任何一个π■； （3）类ωπ，它是由所有的类υπ组成的，在此υ是任何一个ωP （4）类ω■，它帅所有的类υ■组成的，在此υ是任何一个ωP。 以上四类的每一类是ф其生成关系是从逻辑包含关系导出的。ω■的任 何项都是 u 和πω的相应的项的否定的积；对于πω和ωπ也是一样。类π ω和ωπ可以有公共项；例如，如果 u 是有理数的类，而ν是 u 中的一个序 级，它没有有理界，那么ν是一个确定相同截（在戴德金（Dedekind）的意 义上）的归级，如果 u 是满足戴德金连续性假设的一个序列，πω和ωπ没 有公共项；因为那样会在所有属于类ωπ的类中而不是在πω的类中产生一 个第三项。 这四类（ωπ，■ω，ω■）的每一类中你都可以构造一个序级或归级， 它总有一个属于这四类之一的一个界，但不是总属于含有同一个序级或归级 的那个类。进一步说，这四类中的每一类的任何项是某些序级的界，或者某 一归级的界，但不必然都是这两者的界（就外表而言）；而那些特定的序级