关系逻辑 在其自传《我的精神发展》一文里,罗素说:“我的理智生活中最重要 的一年是1900年,而那一年最重要的事件是我参加了在巴黎召开的国际哲学 会议。”'他与他从前的老师、当时的同事怀特海( Whitehead)一同旅行去 巴黎。在皮亚诺和他的学生们提出的数学和逻辑问题的讨论中所显示的那种 技巧深深地打动了他俩。罗素带着很深刻的印象回回后钻研了皮亚诺的著 作,尤其研究了他的记法。人们可以相当容易地看到这种记法对后来罗素、 怀特海在《数学原理》中所使用的记法的影响。 《关系逻辑》一文写于1900年,并在下一年发表。这篇文章是用皮亚诺 的记法排印的,虽然它代表与《数学的原则》的大部分著述同时代的成果 在《数学的原则》中罗素使用了后来在《数学原理》里得到充分发展的那种 记法的早期形式。那些不熟悉皮亚诺记法的人将在约根森( for gen forgensen)的标准著作(《形式逻辑通论》,哥本哈根和伦敦,1931年, 第一卷,第176页后)中看到对皮亚诺系统的简明而令人钦佩的讨论。倘若 你了解《数学原理》的记法,实际上皮亚诺的记法并不难看懂,所以这篇文 章是以其原初形式复制的 罗素的第一篇论文发表于1895年,随后是他在剑桥居住的第一时期,随 后四年的数学研究使他发表了一些为通过考试而写的论文,但这些论文并不 具有特殊的重要性。然而正是本篇论文使我们清楚地看到哲学上出现了具有 第一流水准的创造性思想,而且,由于本文的发表(当时他年仅29岁),罗 素作为“享有盛名的思想家”的最终地位似乎就已经确立。有人间他现在觉 得这篇论文最重要的观点是什么,罗素答复的是“我的关于基数的定义” 一这一定义第一次发表在本文中。 主要根据本篇论文和本书的第二篇论文,使罗素在1908年当选为皇家学 会会员 关系逻辑 以及对序列理论的一些应用 1901年 这篇论文最初以法文形式发表在皮亚诺的《数学评论》〔Re Mathemat iques〕第7卷,第115-148页(图林,19001901年)。这里是 R.C.马什的译文。罗素勋爵对此译文作了修改和更正。 目录 1.关系的一般理论 2.基数 3.序级 527 4.有穷与无穷 27 5.紧致序列 1①《伯特兰·罗素的哲学》,伊文斯顿和剑桥,1944年,参见第12页
关系逻辑 在其自传《我的精神发展》一文里，罗素说：“我的理智生活中最重要 的一年是 1900 年，而那一年最重要的事件是我参加了在巴黎召开的国际哲学 会议。”1他与他从前的老师、当时的同事怀特海（Whitehead）一同旅行去 巴黎。在皮亚诺和他的学生们提出的数学和逻辑问题的讨论中所显示的那种 技巧深深地打动了他俩。罗素带着很深刻的印象回回后钻研了皮亚诺的著 作，尤其研究了他的记法。人们可以相当容易地看到这种记法对后来罗素、 怀特海在《数学原理》中所使用的记法的影响。 《关系逻辑》一文写于 1900 年，并在下一年发表。这篇文章是用皮亚诺 的记法排印的，虽然它代表与《数学的原则》的大部分著述同时代的成果： 在《数学的原则》中罗素使用了后来在《数学原理》里得到充分发展的那种 记法的早期形式。那些不熟悉皮亚诺记法的人将在约根森（ forgen forgensen）的标准著作（《形式逻辑通论》，哥本哈根和伦敦，1931 年， 第一卷，第 176 页后）中看到对皮亚诺系统的简明而令人钦佩的讨论。倘若 你了解《数学原理》的记法，实际上皮亚诺的记法并不难看懂，所以这篇文 章是以其原初形式复制的。 罗素的第一篇论文发表于 1895 年，随后是他在剑桥居住的第一时期，随 后四年的数学研究使他发表了一些为通过考试而写的论文，但这些论文并不 具有特殊的重要性。然而正是本篇论文使我们清楚地看到哲学上出现了具有 第一流水准的创造性思想，而且，由于本文的发表（当时他年仅 29 岁），罗 素作为“享有盛名的思想家”的最终地位似乎就已经确立。有人间他现在觉 得这篇论文最重要的观点是什么，罗素答复的是“我的关于基数的定义”— —这一定义第一次发表在本文中。 主要根据本篇论文和本书的第二篇论文，使罗素在 1908 年当选为皇家学 会会员。 关系逻辑 ——以及对序列理论的一些应用 1901 年 这篇论文最初以法文形式发表在皮亚诺的《数学评论》〔Re-vue de Mathématiques〕第 7 卷，第 115—148 页（图林，1900—1901 年）。这里是 R.C.马什的译文。罗素勋爵对此译文作了修改和更正。 目 录 1.关系的一般理论 ...................................... 5 2.基数 ............................................... 12 3.序级 ............................................... 17 4.有穷与无穷 ......................................... 27 5.紧致序列 ........................................... 30 1 ①《伯特兰·罗素的哲学》，伊文斯顿和剑桥，1944 年，参见第 12 页
6.一个紧致序列中的基本序列 35 我们在皮尔士( Peirce)和施罗德( Schroder)的著作中看到的关系逻 辑,其困难和复杂的程度如此之大,以致人们很有可能怀疑其实用性。既然 他们忽略了在∈和之间的差别,这两位作者就把一个类看成个体的简单相 加之和。鉴于这一理由,在他们看来,关系就像是一对对个体的总和。从这 点可以得出:关系的基本特性通过相当长的求和公式来表述,而公式的意 义从记法来看并不十分明显。但是,正是这种关系逻辑必须作为数学的基础, 因为在符号推理的过程中所考虑的总是关系的类型;这就是说,我们不需要 考察某种特殊关系(除了那些对于逻辑是基本的关系(像∈和→)〕,而要 考察某一类型的关系——例如,传递的和不对称的关系,或者一一关系。在 目前这篇论文里,我指出:通过使用皮亚诺的记法(在下文中这种记法知识 得到采用〕很有可能大幅度地简化关系逻辑。但是,看起来似乎是这样:倘 若没有明确引入关系,皮亚诺的逻辑几乎不能是完全的。我们可以举基本概 念中的函项定义(1)为例子。在这个定义的右边出现的符号xu和ux并不由 于前文而成为自明的。两个字母的并列迄今除表示逻辑乘法外不具有任何意 义,而这里不涉及这种乘法。事实在于:只有通过知道一个。新的初始观念 即关系的观念,关于函项的定义才是可能的。例如,我们可以观察下列的结 果。从所引用的定义和第20节命题9·4、第22节命题2·4、第23节命题 1·02,2·0,我们推出 a,beNo·0·a+b=ab=a×b 这个结果表明:所采用的记法需要修改。我将给出一种更复杂的记法, 由此我们不能推出一个等价的结论。此外,我认为,关系的引入可以为许多 数学理论的简化和概括提供机会;这种引入也使得我们在可能定义之时给出 唯名定义。 在下文中,我采用了施罗德的一些符号,例如■,o’,1。我没有成 功地使自己遵守公式表示的规则,让所有符号都排成一行;就关系而言,我 必须区分RP和R∩P。在其他方面我已经采用了皮亚诺的逻辑中给出的全部 符号,同时也采用了由帕都亚( Padoa)提出的E|m(单元)的记法[《数学 评论》,第6卷,第117页];但是,我已经区分了eu(这里u是包含在 个关系R的域之内的一个类)和e∩u。鉴于以上理由,一个类u和由一个希 腊字母代表的一个类的逻辑积总是由enu或者Tnu等等来表示,而不是由 eu或者ue来表示。[参见第1节,命题1·33·34·35·36。〕 1.关系的一般理论 1·0初始观念:Rel=关系 如果R是一种关系,e可以称作关系R的前域,就是说,与单个项或者 几个项具有那种关系的一些项的类,我总是使用大写字母代表关系(除了在 公式汇编里所碰到的那些关系),而用相对应的小写希腊字母代表这些关系 的前域。在定义·21.22中,R这个字母被假定为变项。就是说,a将是一个 关系A的前域,β将是一个关系B的前域,以此类推。我将彐看作这样一个 初始观念,它允许我将这个符号放在一些命题的前面,倘若没有这个符号的 帮助,这些命题就不可归约为x∈α这个形式
6.一个紧致序列中的基本序列 ........................... 35 我们在皮尔士（Peirce）和施罗德（SchrÖder）的著作中看到的关系逻 辑，其困难和复杂的程度如此之大，以致人们很有可能怀疑其实用性。既然 他们忽略了在∈和É之间的差别，这两位作者就把一个类看成个体的简单相 加之和。鉴于这一理由，在他们看来，关系就像是一对对个体的总和。从这 一点可以得出：关系的基本特性通过相当长的求和公式来表述，而公式的意 义从记法来看并不十分明显。但是，正是这种关系逻辑必须作为数学的基础， 因为在符号推理的过程中所考虑的总是关系的类型；这就是说，我们不需要 考察某种特殊关系（除了那些对于逻辑是基本的关系（像∈和É）〕，而要 考察某一类型的关系——例如，传递的和不对称的关系，或者一一关系。在 目前这篇论文里，我指出：通过使用皮亚诺的记法（在下文中这种记法知识 得到采用）很有可能大幅度地简化关系逻辑。但是，看起来似乎是这样：倘 若没有明确引入关系，皮亚诺的逻辑几乎不能是完全的。我们可以举基本概 念中的函项定义（1）为例子。在这个定义的右边出现的符号 xu 和 ux 并不由 于前文而成为自明的。两个字母的并列迄今除表示逻辑乘法外不具有任何意 义，而这里不涉及这种乘法。事实在于：只有通过知道一个。新的初始观念 即关系的观念，关于函项的定义才是可能的。例如，我们可以观察下列的结 果。从所引用的定义和第 20 节命题 9·4、第 22 节命题 2·4、第 23 节命题 1·02，2·0，我们推出 a,beN0·O·a+b=ab=a×b 这个结果表明：所采用的记法需要修改。我将给出一种更复杂的记法， 由此我们不能推出一个等价的结论。此外，我认为，关系的引入可以为许多 数学理论的简化和概括提供机会；这种引入也使得我们在可能定义之时给出 唯名定义。 在下文中，我采用了施罗德的一些符号，例如■，o’，I’。我没有成 功地使自己遵守公式表示的规则，让所有符号都排成一行；就关系而言，我 必须区分 RP 和 R∩P。在其他方面我已经采用了皮亚诺的逻辑中给出的全部 符号，同时也采用了由帕都亚（Padoa）提出的 Elm（单元）的记法［《数学 评论》，第 6 卷，第 117 页]；但是，我已经区分了 eu（这里 u 是包含在一 个关系 R 的域之内的一个类）和 e∩u。鉴于以上理由，一个类 u 和由一个希 腊字母代表的一个类的逻辑积总是由 e∩u 或者π∩u 等等来表示，而不是由 eu 或者 ue 来表示。[参见第 1 节，命题 1· 33· 34·35·36。〕 1.关系的一般理论 *1·0 初始观念：Rel＝关系 如果 R 是一种关系，e 可以称作关系 R 的前域，就是说，与单个项或者 几个项具有那种关系的一些项的类，我总是使用大写字母代表关系（除了在 公式汇编里所碰到的那些关系），而用相对应的小写希腊字母代表这些关系 的前域。在定义·21.22 中，R 这个字母被假定为变项。就是说，a 将是一个 关系 A 的前域，β将是一个关系 B 的前域，以此类推。我将$看作这样一个 初始观念，它允许我将这个符号放在一些命题的前面，倘若没有这个符号的 帮助，这些命题就不可归约为 xÎa这个形式
以上这个初始命题尤其在算术中很重要。它肯定在两个个体之间存在一 种对任意其他一对个体并不成立的关系。既然x和y不受任何限制,这个关 系也就不需要一种假设。但是人们可以将这一关系限制在x和y是不同的情 形,因为,ⅹ和y是相同的情形可以通过关系的乘法从这一点推论出来。 我们有必要对R1R2(表示逻辑积)和RR2(表示关系积)作出区别。 我们有R1R2=R1,但一般没有RR2=R1;我们有R1R2=R2⌒R1,但一般没 有R1R2=R2R1。例如,祖父(或外祖父)是父亲和父亲的、或者母亲和父亲 的关系积,但不是父亲和母亲的关系积。 如果R是产生一个序列的一种关系(这个序列要求R是传递的并包含在 相异(不等同)关系之中),R2=R给出该序列为紧致序列的条件,就是说 这个序列在它的任何两个项之间含有一个项。(参见下面第5节) 我看不出皮尔士和施罗德的关系加法是必不可少的。这里是关系加法的 定义: 令R和S是关系:它们的关系之和是像下述这样的一种关系 这个初始命题说明∈是一种关系。这样一来我已经被迫放弃使用大写字 母表示关系的规定。 上述这个命题证明:如果u,v是两个非空的类,在所有的u的项和所有 的v的项之间就有一种能够成立的关系,但是这种关系在任何其他一对项之 间不成立。 这个关系∈u是只对于类u的关系∈。它是通过∈与只在u和u之间成立 的那种关系的关系积而形成的。 *4·1初始观念 等同关系 这个符号是在施罗德的符号记法里给出的。我不用=这个符号代表个体 之间的等同关系,因为它另外用来表达类之间、命题之间和关系之间的等价 性 2. 1 ERe I Nc+1是多对一关系的类。符号Nc+1表示:如果我们有xRy,当给出 x时,只有一个可能的y。但是,当给出y时,就有x的某个基数,它满足 xRy这个条件。同理,1+N是多对一关系的逆的类,而1+1是一一关系的 类 ①本文逻辑公式中出现的“Cls"意为“类”,“Em”意为“单元”,“prop意为“命题”,“ Induct"意为 “归纳”,“sim”意为“相似”,“fn意为“有穷”,“ infin意为“无穷”,“ transp意为“移项”,“seq 意为“后续”,“Dem”意为“证明”,“ Clsrel”意为“类的关系”,“Cls,Cls意为“类的类”,“Hp 意为“假设” 译者
以上这个初始命题尤其在算术中很重要①。它肯定在两个个体之间存在一 种对任意其他一对个体并不成立的关系。既然ｘ和ｙ不受任何限制，这个关 系也就不需要一种假设。但是人们可以将这一关系限制在ｘ和ｙ是不同的情 形，因为，ｘ和ｙ是相同的情形可以通过关系的乘法从这一点推论出来。 我们有必要对 R1ÇR2（表示逻辑积）和 R1R2（表示关系积）作出区别。 我们有 R1ÇR2＝R1，但一般没有 R1R2＝R1；我们有 R1ÇR2＝R2ÇR1，但一般没 有 R1R2＝R2R1。例如，祖父（或外祖父）是父亲和父亲的、或者母亲和父亲 的关系积，但不是父亲和母亲的关系积。 如果 R 是产生一个序列的一种关系（这个序列要求 R 是传递的并包含在 相异（不等同）关系之中），R2＝R 给出该序列为紧致序列的条件，就是说， 这个序列在它的任何两个项之间含有一个项。（参见下面第 5 节） 我看不出皮尔士和施罗德的关系加法是必不可少的。这里是关系加法的 定义： 令 R 和 S 是关系：它们的关系之和是像下述这样的一种关系 这个初始命题说明Î是一种关系。这样一来我已经被迫放弃使用大写字 母表示关系的规定。 上述这个命题证明：如果 u，v 是两个非空的类，在所有的 u 的项和所有 的 v 的项之间就有一种能够成立的关系，但是这种关系在任何其他一对项之 间不成立。 这个关系Îu 是只对于类 u 的关系∈。它是通过∈与只在 u 和 u 之间成立 的那种关系的关系积而形成的。 * 4·1 初始观念：I’＝等同关系 这个符号是在施罗德的符号记法里给出的。我不用＝这个符号代表个体 之间的等同关系，因为它另外用来表达类之间、命题之间和关系之间的等价 性。 2，1’eRel Nc＋1 是多对一关系的类。符号 Nc＋1 表示：如果我们有 xRy，当给出 x 时，只有一个可能的 y。但是，当给出 y 时，就有 x 的某个基数，它满足 xRy 这个条件。同理，1 ＋Nc 是多对一关系的逆的类，而 1＋1 是一一关系的 类。 ① 本文逻辑公式中出现的“Cls”意为“类”，“Elm”意为“单元”，“prop”意为“命题”，“Induct”意为 “归纳”，“sim”意为“相似”，“fin”意为“有穷”，“infin”意为“无穷”，“transp”意为“移项”，“seq” 意为“后续”，“Dem”意为“证明”，“Cls·rel”意为“类的关系”，“Cls，Cls”意为“类的类”，“Hp” 意为“假设”。——译者
你不会有R■=1,因为R■的前域和R的前域相同,它一般只是1 的前域的一部分。 命题6·2是6·1的逆。它断定:所有的传递的、对称的和非空的关系 都可以分析成为一种多对一关系和其逆的积,并且这个论证给出我们有能力 做到这一点的一种方式,并没有证明不存在其他的做到这一点的方式。命题 6·2为使用抽象方式的定义所预设,而它说明:这些定义一般不给出单一的 个体,只给出一个类,因为关系S的类一般不是一个元素。对于这个类的每 个关系S和对于R的所有的项x来说,存在一个为抽象方式的定义所指明的 个体;但这个类的其他关系S一般不给出同样的个体,在具体的应用中这 点将得到更好的解释,例如下一节里的例子。同时,我们总可以把■x这个 类(它在命题6.2的论证中出现)作为通过抽象方式的定义所指明的个体; 举例来说,一个类u的基数一定是相似于U的许多类的那个类。 2.基数 为了肯定具有常值的一个项(诸如“sim”)属于这个或那个类,我们总 是需要某个初始命题。 参见第1节结束时的注释。如果我们想要用抽象方式定义基数,我们只 能将它定义为许多类的一个类,而许多类中每一类都与“基数”这个类有 对应关系,而具有这样一种对应关系的每一个类都属于这个基数类,这一 点来自下面的命题·52和·54 命题·52和·54证明:所有那些构成类S的不同关系的前域的类都是相 似的(sim),而所有的相似于这些类之一的类都属于这个类的类。基数算术 全部适用于这些类的每一类;但是为了全面发展有穷数论的理论,还需要数 学归纳法。(参见第4节。) 命题·1·11指出:总可能找到一种关系,其关系前域是一个给定的关 系的前域之有限部分,而等值于那个部分中所给定的关系。 这个命题以一种形式说明了算术加法的基础,这个形式允许无穷数和一 些有穷或无穷数的相加。 这个定义根据命题3·41。注意到下面这一点很重要:这个定义规定了 具有有穷或无穷数的一个有穷或无穷的类的总和;但是,对于所有这些数来 说,它们的差异是必要的,否则便不可能将它们定义为数的一个类,而只能
你不会有 R■＝1’，因为 R■的前域和 R 的前域相同，它一般只是 1’ 的前域的一部分。 命题 6·2 是 6·1 的逆。它断定：所有的传递的、对称的和非空的关系 都可以分析成为一种多对一关系和其逆的积，并且这个论证给出我们有能力 做到这一点的一种方式，并没有证明不存在其他的做到这一点的方式。命题 6·2 为使用抽象方式的定义所预设，而它说明：这些定义一般不给出单一的 个体，只给出一个类，因为关系 S 的类一般不是一个元素。对于这个类的每 个关系 S 和对于 R 的所有的项 x 来说，存在一个为抽象方式的定义所指明的 个体；但这个类的其他关系 S 一般不给出同样的个体，在具体的应用中这一 点将得到更好的解释，例如下一节里的例子。同时，我们总可以把■x 这个 类（它在命题 6.2 的论证中出现）作为通过抽象方式的定义所指明的个体； 举例来说，一个类 u 的基数一定是相似于 U 的许多类的那个类。 2.基数 为了肯定具有常值的一个项（诸如“sim”）属于这个或那个类，我们总 是需要某个初始命题。 参见第 1 节结束时的注释。如果我们想要用抽象方式定义基数，我们只 能将它定义为许多类的一个类，而许多类中每一类都与“基数”这个类有一 一对应关系，而具有这样一种对应关系的每一个类都属于这个基数类，这一 点来自下面的命题·52 和·54。 命题·52 和·54 证明：所有那些构成类 S 的不同关系的前域的类都是相 似的（sim），而所有的相似于这些类之一的类都属于这个类的类。基数算术 全部适用于这些类的每一类；但是为了全面发展有穷数论的理论，还需要数 学归纳法。（参见第 4 节。） 命题·1· 11 指出：总可能找到一种关系，其关系前域是一个给定的关 系的前域之有限部分，而等值于那个部分中所给定的关系。 这个命题以一种形式说明了算术加法的基础，这个形式允许无穷数和一 些有穷或无穷数的相加。 这个定义根据命题 3·41。注意到下面这一点很重要：这个定义规定了 具有有穷或无穷数的一个有穷或无穷的类的总和；但是，对于所有这些数来 说，它们的差异是必要的，否则便不可能将它们定义为数的一个类，而只能
定义为类的数。鉴于求和中有一些等数的情形,就需要不同的思考,乘法运 算中尤其如此。为了避免篇幅过长,我就不在这里展开这个运算。 这个定义根据命题3·51。 命题·5和·6证明:如果一个类的数和另一类的数相等,另一类是通过 从一给定的类减去一项而得,那么这个数也和通过对所给的类加上一项而得 的类的数相等,反之亦然。既然我们已经证明(4·3)1与0oσ是不同的,我 们借此也可以证明:在服从数学归纳法的数的类中,从0σ开始,两个连续的 数决不相等。为了展开这个主题,有必要考查序级( progress ions)的理论 即关于其序数是ω的序列( ser ies)的理论。 3序级 这是关于序数ω的定义,或者毋宁说(如果你愿意)是关于可数的类的 类之定义。序数实际上是序列的类。ω这个类是无穷序列的类中最简单的。 既然此定义不预设数,那么最好是对这一序列的类型(序型)给出一个不含 数的名称。因此,我称这个序型为序级的类。下面是其书面定义:u是u类 的类,这些类具有一一对应关系R,使得u被包含在R的前域之中,不同的u 对其有关系R的那些项的类被包含在u之中,而不必与u相同一,而且,如 果s是任何一个至少u的一个项所属于的类(任何u对这个类都不具有关系 R),所有的u的项都属于这个类,而u和s的共同部分的一个项对这个类具 有关系R,那么,这个类u被包含在类s之中。 命题1·4·5通过归纳定义了关系的有穷势。这个定义是借助于u的那 些项完成的。根据序级的理论,倘若没有关系的势,你就会寸步难行;因此, 如果希望使这一理论脱离数,就十分有必要以不引入数的方式定义这些势。 符号1m意谓在类n中的等同,和在其他地方的空关系。参见第2节命题 3·12 这个命题断定:两个序级永远是两个相似的序列。这就是说,你可以找 到一种一一对应关系,这一关系的前域是两个序级之一,这一关系的逆关系 具有关于它的前域的另一个序级,而这一关系是这样:在一个序列中领先的 那些项相当于在另一个序列中领先的那些项,反之亦然。 在这个命题中我们证明:任何与一个序级相似的类其自身也是一个序 级。如果P是在u和u之间的一一关系,而R是u的生成关系,那么■RP 是u的生成关系。 命题2·11证明:在序级的开端我们可以任意地去掉许多项,而不会使 其不再是一个序级。命题2·12证明:一个序级的任何项都与它的后继完全 不同
定义为类的数。鉴于求和中有一些等数的情形，就需要不同的思考，乘法运 算中尤其如此。为了避免篇幅过长，我就不在这里展开这个运算。 这个定义根据命题 3·51。 命题·5 和·6 证明：如果一个类的数和另一类的数相等，另一类是通过 从一给定的类减去一项而得，那么这个数也和通过对所给的类加上一项而得 的类的数相等，反之亦然。既然我们已经证明（4·3）1s与 0s是不同的，我 们借此也可以证明：在服从数学归纳法的数的类中，从 0s开始，两个连续的 数决不相等。为了展开这个主题，有必要考查序级（progressions）的理论， 即关于其序数是ω的序列（series）的理论。 3.序级 这是关于序数ω的定义，或者毋宁说（如果你愿意）是关于可数的类的 类之定义。序数实际上是序列的类。ω这个类是无穷序列的类中最简单的。 既然此定义不预设数，那么最好是对这一序列的类型（序型）给出一个不含 数的名称。因此，我称这个序型为序级的类。下面是其书面定义：ω是 u 类 的类，这些类具有一一对应关系 R，使得 u 被包含在 R 的前域之中，不同的 u 对其有关系 R 的那些项的类被包含在 u 之中，而不必与 u 相同一，而且，如 果 s 是任何一个至少 u 的一个项所属于的类（任何 u 对这个类都不具有关系 R），所有的 u 的项都属于这个类，而 u 和 s 的共同部分的一个项对这个类具 有关系 R，那么，这个类 u 被包含在类 s 之中。 命题 1·4·5 通过归纳定义了关系的有穷势。这个定义是借助于 u 的那 些项完成的。根据序级的理论，倘若没有关系的势，你就会寸步难行；因此， 如果希望使这一理论脱离数，就十分有必要以不引入数的方式定义这些势。 符号 1’π意谓在类π中的等同，和在其他地方的空关系。参见第 2 节命题 3·12。 这个命题断定：两个序级永远是两个相似的序列。这就是说，你可以找 到一种一一对应关系，这一关系的前域是两个序级之一，这一关系的逆关系 具有关于它的前域的另一个序级，而这一关系是这样：在一个序列中领先的 那些项相当于在另一个序列中领先的那些项，反之亦然。 在这个命题中我们证明：任何与一个序级相似的类其自身也是一个序 级。如果 P 是在 u 和 u’之间的一一关系，而 R 是 u 的生成关系，那么■RP 是 u’的生成关系。 命题 2· 11 证明：在序级的开端我们可以任意地去掉许多项，而不会使 其不再是一个序级。命题 2·12 证明：一个序级的任何项都与它的后继完全 不同