在Lp（Lq）空间上的一类极大不等式

D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1989.01.017 第11卷第1期 北京科技大学学报 Vol.11 No.1 1989年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jn1989 在L°(L)空间上的一类极大不等式 高 瑞 b 〔第二数学牧研室) 精要：本文把Marcinkicwicz的届值定理推广从L(L)空间到LP空间的算 子，利用它把Hardy-Littlewood极大定理推广到LP(Lq)空间。 关麓词：极大算千，赋花不等式 Some Maximal Inequalities on L (L9)Spaces e Gao Rui ABSTRACT:In this note we extend Marcinkiewicz interpolation theorem to the case of operators from LP(L)to Lo,and then use it to extend Hardy- Littlewood maximal theorem to L(L)spaces. KEY WORDS:maximal operator,norm inequality 1一些定义 定义1.设「(x,y)是定义在F×Rm空间上的-个函数，如果 jR(SRmlf (x,y)dy)'9dx<+c, 我们就说「(x,y)L(L),Li记 IIf(La=1 fnC mlf(x,y)dy4 dx 并称集合{f(x,y):f(×,y)∈L(L)}为L(L)空间。 显然(L(L),f1川(9，)构成一个赋范线性空间。 定义2设T是L(L9)到L'中的一个算子。如果存在一个与∫无关的常数C,使得 |TflL≤chAlL'9, 1987-0?一03收称 92

第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 ，名 尹 在 空 间上的一类极大不等式 高 瑞 第 二数学 教研 室 摘 要 专文 把 又 的 插值定 理推 广从 “ ， “ 空 间到 空间 的 算 声 子 ， 利用 它 把 一 极大 定理 推广到 空 可 关艘 词 极大算 子 ， 赎 范不等式 尸 ” 叮 “ ‘ ， · 于 · 尸 ， 一些定义 定义 设 二 ， 是定 义 化 弃 ” 爪 空 介上 的一 个 函数 ， 如 果 了 ’ 丁 ‘ “ ， 。 ， ‘， 夕 ’ “ ， 我们 就 说 ， 匕 户 “ ， 」上记 ， “ 左 丁 〔 。 ‘ ， 少 “ 少 〕 “ ‘ ‘ 并称集合 凌 “ ， 夕 ， 少 任 ’ “ 为 “ 空 。 显 然 ’ “ ， 日 日 ， ， 构成一 个赋 范线 性空 ’ 。 定义 设 是 ’ “ 到 ’ 中的一 个 算 。 如 果存 在一 个 与 无关 的常数 ， 使 得 日 一 簇 。 ， 、 。 户 ， 一 一 收 稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．01．017

我们就说T是强(p,Q,p)型的，记T二s(,9,p)。如果存车一个与f无关的常数A,使得 对每个a>0有1{x:Tf>a}1Il、我们说7是弱(p,9p)窄的，记为 T∈w(p,9,p)。 2一些已知结果 为证明主要定理（定理2），需耍下面的已知结果。 净 引理1(Calderon--Zygmund).设f是Ra上的一个非负可积函数，a是一个正常数，则 存在R·上的一个分解，使得 ①Rn=FU9,Fn2=s ②在F上几乎处处有f(x)≤a; ③2=UQ.,其中{Q.}是R中的，其内都互不相交的一列方休，且对每个方体 Qk有13) aKda∫ne)dx)c2a 引理2对每个a>0有 a)≤是∫lf(x)1ax 其中(a)=|{x∈R;1f(x)I>a}I31。 引理3若f和p是R“上的正的实函数，则对r>1,存在一个只依赖于r的常数B, 使得 JRa(f*(x)'(x)dx≤B:∫anIf(x)frp*(x)dx 其中r()=sup司∫。(x)dxa 3一个插值定理 定理1若T是从L(La)到LP中的次可加算子，且T∈(1,9,1)w(p,9,p),则T∈s (r9,r),其中1<p,9<+∞，1<r<p。 证明任给f(×,y)∈Lr(L9)和a>0,令 ,(y)=1f6x》 当（∫mf(x,y)|9dy)19≥a; 其它 f2(x,y)=f(x,y)-f(x,x). 则f(x,y)∈L(L),f:(x,y)∈L(L9),因为 T∈w(1,9,1)∩(p,4,p), ·这里|：l表示集合|{i【的Lebesguc题度 93

我 们 就 说 少是强 对 每 个 有 任 ， 俘， 。 ， 口， 型 的 ， 记 与丁 任 户 ， 穿， 。 如果 存 左一 个 与 无关 的常 数 ， 使得 ， 、 ， ， ， 一 ， 、 ，、 、 ， 。 ， 。 二 一 ， ， ， ， ， ， 、 、 ， 飞 劣 坷 户 良 川 ’ ‘ 尸 日 川 户 ， 找 利」兄 足 钧 又 ’ ’ ， 决 ”， ， 记 为 一些 已 知结果 为证 明主 要 定理 定理 ， 需 要下 面 的已 知 结果 。 引 理 。 一 设 厂是 ” 上 的一 个非 负可积 函数 ， 是 一 个正常 数 ， 则 存在 ” 上 的一 个分解 ， 使得 ① ” 只 ， 蕊 二 必 ② 在 上几 乎 处处有 毛心 ③ 兑 二 日 口 ， 其中 、 是 尸 ” 中的 ， 其内部互不相 交的一 列方 体 ， 注对 每 个 方 体 七 有 ， 。 ， 、 ， ， 、 。 、 久 否「 ‘ 、 泥 ’ 住 又‘ ’ 诀 ‘ “ 引 理 对每 个 有 、 人 、 诀 及了 仁 二 “ ， ’ “ 只 二 任 ’ 二 ，” 。 引 理 若 和 ， 是 ” 上 的正的实函数 ， 则对 ， 存 在一 个只 依 赖于 的常数 ， 二 功 二 毛 甲 二 二 · 二 。 森 二 二 〔 叼 ‘ 其使得中 一个插值定理 定 理 若 是 从 户 梦 到 户 中的次可加 算 子 ， 且 丁 任 二 ， ， 臼二 ， 口， ， 则 厂 于 口， ， 其 中 夕 ， 口 二 ， 户 。 证明 任给 二 ， 任 “ 和 ， 令 义 ， 夕 、 二 ， “ 二 ，夕 二 ， 夕 一 ， 夕 。 ，夕 呀 五 ， ， “ ， 少 任 ， 乙 ， 因 为 任 二 ， 口， 门二 ， 口， ， 这里 表 示 集 合 的 汉叹度

所以{：71>8}24(1y1 {T,>g24(.）,, 由于T是次可加的，我们有 2a)=1(x:7f>a}i<i{x:Tf>8}+{x:T1,>8} 但是川Tf1lf=-a'da)=ra-a)da, 向 ,wa如 r∫c24a-。ae,y)dx+ +2rAa-e小ef.dy)xda 2adx da +小2Aa-,f14 y)dx da =24ra。fdy)er-ddx+ ada)dx =2h+aIar4 =(2+45）'.4 其中E,={x:(∫mifldy)l9a}, E:={x:(∫RIfisdy)9<a}, C=(∫Rlf1dy)19 因此T是强（r,9,r)型的。 4主要定理和它的证明 定理2设1，》E().1严(，)=黑1d了fx)d,共中上确界是在所行以 x为中心的方体Q上取的。则存在与f无关的常数A。.q,使得 94

所 以 “ 丁 了 尸产 川与 “ 了九 了 一 乡 丁 ， 、， ， 夕 · ‘ 艺拟 。 ， 。 夕 ‘ 由于 是 次可加 的 ， 我们有 、 二 ，，引 卜 蓄 “ 孟 若 今 ，， ，， 一 之 二 · 丁一 “ · ‘ 一 ， 厂 ‘ 一丁 · ‘ 〔答…‘ 二 ’‘ ‘ ‘ · ，‘ … · 争…。‘丁 ，‘ ‘ ‘ ·， ’ 。 ‘ ， 〕 ‘ · 〔 一丘 。 丁 ， ， 、 。 。 · 十 ， 一丁 。 丁 二 一 夕 ，· ‘ 。 ‘ 〕 · 丁 。 一丁 · 二 ， · ， · 二 。 十 二 ’ 一丁 二 ，， · ， ， 一 · · · 几 ‘ 二 ，‘ ‘ ， 一 一 · 二 · · ， · 丁 二 ， · ， ， ， 勺 丁 卜，一 ‘ 几击 ‘丁 。 “ ‘ · ， ’ ‘一 · 丁击 ‘几 。 ，“ ·，一 “ ‘ · ， ， 闷 产 月 一 十 － 一 一 ’ 丁 。 二 ’“ ‘ ，” 、‘ 、 ︸ 丁 。 “ ’ 二 了 二 “ ’ · ， “ ‘ 月 ， ， 型 的 。 因此 是 强 主 要定理和它的证明 浑 定理 设 ， 二 ， ， ， 乙。 乙 ， ， · · ， ， 吕。 为中 乙的 方 体 上取的 。 则存 在 与 无关 的常数 丁 ， ， ， 其 中上确 界是 在所 有以 使 得

①(famf(x,y)dy)19,Ap.a(∫Rmf(x,y）9dy): （1<P,9<+o); @↓{x:(mf*(x,y)dg)19>a}| ≤Aa|(jRf(x,)1dy1, (1<g<+c) 证明我们分别就1<D<9<+,1<p=4<+:和+>p>q>13种情况对 不等式①进行讨论。 首先看p=9的情况，不等式①可以由通常的极大定理和Fubini定理得出，因为 ∫R(jRnf*(x,y)idy)P/d=∫R∫glf*(x,y)idydx =∫Rm∫Rnf*(x,y)!9 dxdyAg∫RRf(x,y)|9dxdy =Aa R(Rmf(x,y)dy)dx 应用这个结果，我们证明不等式②如下。 任给a>0,对函数(.=(x,y)dy)1应理1，即可见R内存在一序列内部互 不相交的方体{Q:}满足条件 (a)10,1≤2jfx,yIan (b)在R1上，不等式 (jmlf(x,y)|dy)1/9≤a 几平处处成立，其中2=UQ; (c)对每个Q1,不等式 d,sl,1ya 成立。则每个y∈Rm,我们可以得到f(x,y)分解为f(x,y)=f'(x,y)+f"(x,y),其中 f'(x,y)=f(x,y)x2,f"(x,y)=f(x,y)2。显然 （∫|f(x,y)Idy)1≤(ff'*(x,y)ldy)19+（∫gf11(x,y)|9dy)1,所 以只需证明不等式 ④ I{x∈Ra:(∫Bm|f'(x,y)Idy)19>a}i≤ ≤A(jlf(x,y)Idy)； ⑤I{xPm:(∫Rm|f"◆(x,y)I°dy9>a}|≤ ≤会(J,ya)1: 首先求证不等式④，显然 (gf(x,y)川dy)191≤(f(x,y)1dy)191, 95

① 。 ’ ， 妇 ‘ “ 。 几 ， 、 丁 。 二 ， 夕 工 ， 戈 ② 二 。 、 ， 夕 ‘ 毛丝 ， 了 。 二 ， 二 ， ， ， 父 证 明 我 们 分别 就 。 十 的 。 二 十 加 和 十 ， 种情况 对 不等式①进行讨论 。 首先 看 户 的情况 。 不等 式①可 以 由通常 的极大 定 理 和 七 定理得 出 ， 因为 丁 爪 ’ ，夕 少 二 二 丁 二 ， 夕 “ 夕 二 丁 丁 二 ， 夕 “ 夕 红姓 丁 。 丁 二 ， “ ‘ 少 二 丁 ” 了 。 ， 夕 “ 夕 二 应用这 个结果 ， 我 们证 明不等 式②如下 。 任给 ， 对 函数 丁 二 二 ， “ ‘ 应 用 引理 ， 即 可见尸 ” 内存 在一序 列 内部 互 不相交 的方体 满 足条件 刃 。 ， 一镇 兰 丁俨 ， 夕 “ 夕 ‘ 、 在刀 ’ 只 上 ， 不等式 丁 二 ， 夕 ‘ 〔 几 乎处处成立 ， 其 中 ， 对每个 ， 不等式 一 牛 万 二 二 ， 夕 ， 二 镇， 甲 。 呵 成立 。 则每个 任刀 ” ， 我 们可 以 得 到 二 ， 分 解为 二 ， 二 ‘ ， “ 二 ， ， 其 中 ‘ ， 二 ， 二 。 兑 ， “ ， 二 ， 少 夸几 。 显 然 丁 、 ， ’ ‘ “ 迄 丁 。 ‘ 半 二 ， 玉 ‘ 厂“ 了 。 ’ “ ‘ 参 ， “ ， 所 以 只需证 明不 等式 ④ 任 ” 丁 二 ， ， ’ 蕊 兰… ’ 。 ， 二 ， ， 夕 ⑤ 、 尸口 丁 尸 ， ’ 厂 抓 共 兰 。 一， 二 ， ， ， ‘ · 首先求 证不等 式④ ， 显 然 丁 。 二 ’ ， 夕 “ ‘ “ · 毛 丁 。 二 二 ， 少 “ 少

所以由(b)便有 (mf(x.)'dy)!aga3-i fRm(f(x,y)"dy).9 因此，由p=q情况下的不等式①，得到 (Jamf(x,y)ady)994qa3-1(SRmlf(x,y)9dy)1/91 应用引理2立得不等式@。 为证明不等式⑤，定义 7(x,y)=1Qi 1-八ift,y)ldt当x∈Q, 0 当x年2 对x∈Q,'引别Minkowski不等式便有 (J7,0=(1.〔d,jQ,,w1d]ay）≤ d,JQ:(Jfx,yIdyd. 由(c)有 （∫Rf(x,y)Idy)1,4≤Aa. 对x不年2，f(x,y)=c,所以（∫|了(x,y)dy)'=0. 故函数∫Rm了(x,y)川dy1的支集在2内，且Aa是该函数之上界，这表明 Il(∫Rm'f(x,y)dy)1.9|日<Aa12l. 由(a)我们有|∫Rmf(x,y)19dy)9日Aa-I(「R|f(x,y)ady)19, 与④的证明类似，由p=?情况下的不等式①和引理②，我们行 ⑧|x∈R:(∫Rm|f(x,y)|dy)1>a}I≤ ≤41(jRf(x,y)1dy)1. 下面我们将由佩式出3，：此，对任查的方体QCR·,我们用Q表示与Q有相同的中 心.边长是Q的边长的2n作的方休，个2=UQ。显然l不等式(a)有 112（R11(x,y)川y)0… 可进一步断，对x不年，f”(x,y)*(x,y). 事实上，对任您的(x,y)∈R×R,有 =s照{1d1jfwd, 而 j。r1di=0:,nfwd, 96

所 以 由 便 有 ’ “ ， ” 介 ， ’ ” 段 一 一 ‘ 丁 ， ” 二 产 因 此 ， 由 二 情况下 的 不 等 戈① ， 得 到 丁 。 ‘ ， “ ， ‘ “ 段百 、 一 了 。 。 ， “ “ “ 应 用 引理 立 得不 等 式④ 。 为 证 明不 等式⑤ ， 定 义 劣 ， ， 弓 一 一 一 工 、 ， ，， ， ， 对 二 任 『引 川 入 不等 式 便有 当 〔 当 去只 ‘ 二 ，了‘一 ， ， ’ 夕，‘ · ’ ‘ 二 〔云 ‘ 】 ，“ 才， ，，，‘ ， 〕 “ ‘ ， ’ ‘ 粗 一 丁亩 ‘ 。 ‘ 。 ，“ 二 ， ， ，， ， ’ ‘ ’ ‘ ， · 由 。 有 叫 八 ， ‘ 。 对 不 去口 ， ， ， 所 以 丁 “ 刁 “ ‘ “ 。 故 函 数 丁 二 厂 ， 夕 “ 少 ’ ‘ “ 的 支集 在 口 内 ， 且 是 该 函数 之 上 界 ， 这 表 明 。 ， 少 “ 夕 ‘ · 段〔 】幻 由 我们 有 丁 二 二 ， 乡 ， ” 少 ’ 一 叫 ， 夕 夕 ‘ 与④的 证 明类似 ， ⑥ 任 ’ 由 情 况 下 的 不等 式① 和 引理② ， 我 们 有 丁 叫 ’ ， “ ‘ 一 二 ， ， ， ， ‘ ， 下 而我 们将 由阂 大 耳 出 污 。 琳此 ， 对 任 音的 方体 二 尺 ” ， 我们 用 表 示 与 有相 同 的 中 心 ， 边 长是 的边 一 长的 ， 仔，的 方体 ， 令 几 二 日 。 显然 山不 等 改 有 一疏 兰 ， ， · 夕 ‘ ， 可进 一步 断 一 ， 对 不 膏只 ， “ “ ， ‘ ， 事实 ， 对 任 意的 ， 任 “ 口 ， 右 而 厂 ’ ‘一 夕 ， 嘴 丁 ，‘，’ · 列 “ ‘ ， 刹 ，， · 扩 · 少 ，“ 乙 ‘ 几 。 ，“ “ 了一 ‘ ‘ ·