例22:试求目标函数(x1x)=3x24xx2+x2在点=[0处的 最速下降方向,并求沿这个方向移动一个单位长度后新点的目 标函数值。 解:由于可(X=6x-4x,可f(X)4x+2x2 ax 则函数在X=[0处的最速下降方向是 af(x 6x1+4x P=-Vf(X af(X) 4x1+2x2-=0-2 Vf(xo 这个方向上的单位向量是:(x)+4)+(2 新点是x=x°+e f(X)=3x2-4xx2+x21 26
( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 6 4 , 4 2 f X f X x x x x x x = − = − + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 1 1 2 0 1 2 1 0 2 1 6 4 4 4 2 x 2 x x x f X x x x P f X f X x x x = = = = − − + + = − = = = + − − 例2-2：试求目标函数 在点 处的 最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长度后新点的目 标函数值。 ( ) 2 1 2 2 2 f x1 , x2 = 3x1 − 4x x + x 0 0,1 T X = 0 0,1 T 则函数在 X = 处的最速下降方向是 解： 由于 1 0 2 2 5 5 0 5 5 1 1 1 5 1 5 5 5 X X e + + = + = + = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 4 2 5 2 5 1 4 2 5 5 f X e f X + + − − = = = − + + − − ( ) 0 1 2 2 1 1 2 2 26 3 4 | 2 5 5 X f X x x x x = − + = − •新点是 这个方向上的单位向量是：
几个常用的梯度公式: f(X)=C(常数)则,Vf(X)=0即,VC=0 (2)f(X)=bX则,Vf(X)=b (3). f(X)=X'x Vf(X)=2X (4).Q对称矩阵。f(X)=XQX则,Vf(X)=2QX
几个常用的梯度公式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 0 0 2 . . 3 . 2 . 4 . 2 T T T f X C f X C f X b X f X b f X X X f X X Q f X X QX f X QX = = = = = = = = = 常数 则， 即， 则， 则， 对称矩阵。 则
§2-2凸集、凸函数与凸规划 当极值点x*能使f(*)在整个可行域中为最小值时,即在整 个可行域中对任一X都有f(X)≥f(X*)时,则x*就是最优点, 且称为全域最优点或整体最优点。若f(x*)为局部可行域中的 极小值而不是整个可行域中的最小值时,则称X*为局部最优点或 相对最优点。最优化设计的目标是全域最优点。为了判断某一极 值点是否为全域最优点,研究一下函数的凸性很有必要。 函数的凸性表现为单峰性。对于具有凸性特点的函数来说, 其极值点只有一个,因而该点既是局部最优点亦为全域最优点 为了研究函数的凸性,现引入凸集的概念:
当极值点X *能使f（X *）在整个可行域中为最小值时，即在整 个可行域中对任一X都有f（X）≥f（X *）时，则X *就是最优点， 且称为全域最优点或整体最优点。若f（X *）为局部可行域中的 极小值而不是整个可行域中的最小值时，则称X *为局部最优点或 相对最优点。最优化设计的目标是全域最优点。为了判断某一极 值点是否为全域最优点，研究一下函数的凸性很有必要。 函数的凸性表现为单峰性。对于具有凸性特点的函数来说， 其极值点只有一个，因而该点既是局部最优点亦为全域最优点。 为了研究函数的凸性，现引入凸集的概念： §2-2 凸集、凸函数与凸规划
凸集 设D为n维欧氏空间中的一个集合,若其中任意两点 ()、2)之间的联接直线都属于D,则称这种集合D为n维 欧氏空间的一个凸集。图2-3(a)是二维空间的一个凸集, 而图2-3(b)不是凸集。 X X (a) 图23二维空间的凸集与非凸集
一、凸集 设D为n维欧氏空间中的一个集合，若其中任意两点 X (1) 、X (2)之间的联接直线都属于D，则称这种集合D为n维 欧氏空间的一个凸集。图2-3（a）是二维空间的一个凸集， 而图2-3（b）不是凸集。 图2-3 二维空间的凸集与非凸集
x(1)、x(2)两点之间的联接直线,可用数学式表达为 X=aX+(1-a)X(2) 式中C为由0到1(0≤C≤1)间的任意实数。 凸集的性质: 1)若D凸集,久是一个实数,则集合D仍是凸集; 2)若F为凸集,则其和(或并)仍是凸集; 3)任何一组凸集的积(或交)仍是凸集
X（1） 、X（2）两点之间的联接直线，可用数学式表达为: (1) (2) X X X = + − (1 ) 式中 为由0到1（0≤ ≤1 ）间的任意实数。 凸集的性质： 1）若D为凸集， 是一个实数，则集合 D仍是凸集； 2）若D和F均为凸集，则其和（或并）仍是凸集； 3）任何一组凸集的积（或交）仍是凸集