机电工程学院：《机械优化设计》课程教学资源（PPT课件）第二章 优化方法的数学基础

第二章优化方法的数学基础 §2-1方向导数与梯度 §2-2凸集、凸函数与凸规划 §23二次函数及正定矩阵 §2-4无约束优化问题的极值条件 §2-5有约束优化问题的极值条件

第二章 优化方法的数学基础 §2-1 方向导数与梯度 §2-2 凸集、凸函数与凸规划 §2-3 二次函数及正定矩阵 §2-4 无约束优化问题的极值条件 §2-5 有约束优化问题的极值条件

§2-1方向导数与梯度 方向导数 二元函数在点x处沿某一方向s的方向导数 OF F(x10+△x1,x20+△x2)-F(x0,x20 as △S→0 △s 方向导数是偏导数概念的推广 方向导数与偏导数之间的数量关系是 aF aF OF cos 6+ cos e as ax 2x0

§2-1 方向导数与梯度 0 10 1 20 2 10 20 0 ( , ) ( , ) lim S F F x x x x F x x s s  →  +  +  − =   x 0 0 0 1 2 1 2 cos cos F F F s x x      = +    x x x 一、方向导数 二元函数在点x0处沿某一方向s的方向导数 方向导数是偏导数概念的推广。 方向导数与偏导数之间的数量关系是

n元函数在点x0处沿s方向的方向导数 OF OF OF aF cos0+ cose.+ cose as 四OF cose △ △ △ 图2

n元函数在点x0处沿s方向的方向导数 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 cos cos cos cos n n n i i i F F F F s x x x F x     =     = + + +      =   x x x x x O x2 x10 x1 x20 x0 x1 x2 s x S  1  2 图2-1

梯度 二元函数的梯度 aF aF aF coS cose OFOF COS 6 Ox1Ox2」 COS OF ax OFOF VF(x) 为函数F(x1,x2) OF Ox1Ox⊥.在x0点处的梯度

二、 梯度 二元函数的梯度 0 0 0 1 2 1 2 cos cos F F F s x x      = +    x x x 0 1 1 2 2 cos cos F F x x         =         x   0 0 1 0 1 2 2 ( ) T F x F F F F x x x            = =                x x x 为函数F(x1，x2 ) 在x0点处的梯度

cOS 设 cose OF OF OF‖cosO ax. a COS VF. S=VF.scos(VF, s 梯度方向和s方向重合时,方向导数值最大。 梯度的模: OF OF VE

梯度的模： ( ) 1 1 2 2 cos cos cos , T F F F s x x F s F s F s         =          =   =    2 2 1 2 F F F x x        = +           设 1 2 cos cos s     =     梯度方向和s方向重合时，方向导数值最大