36+.·圆半径 r=7.2米士0.1米 若取x=3.14则求出的圆面积的最小相对误差为何? 解圆面积A=丌×7.22≈51.84丌(米2) A=丌(7.2十0.1)2-π·7.22=1.45丌 △2=」丌(7.2-0.1)2-x·7.22=1.43丌 A≤max(A1,42)=1.45(米2) 即一般的圆面积A为(51.84士1.45)丌(米2),故 51.84x<280% 37.对直角平行六面体测得 =24.7米士0.2米 y=6.5米士0.1米; z=1.2米±0.1米 这个平行六面体的体积v界于甚么范围内?若测量的各 结果都取其平均值,则求出的平行六面体的体积可能有 的绝对误差和相对误差为何? 解24.5×6.4×1.1≤V≤24.9×6.6×1.3 即172.480米≤V≤213642米3 当x,y,z均取平均值时, V=24.7×6.5×1.2=192.660米3 1=213.642-192.660=20:982(米3 A2=.192.660-172.480=20.180(米3) 题号右上角带“+”号表示题解答案与原习题集中译本所附答案不一致, 以后不再说明.中评本基本是按文第二版翻译的俄文第二版中有一些错误已 在俄文第三版中改正 23
于是, 4≤20.982米; 6≤ 20.982 172.480 ≈12.2% 38.测量正方形的边x,此处2米<x<3米,应有多小的绝 对误差,才能使此正方形面积有可能精确到0.001米2 解按题设我们有0<x2-4<0.001或0<9-x2< 0.001,解之得 2.99983<x<3或2<x<2.00024 因此,∠取二者中误差较小者,即 A≤0.00017(米)=0.17毫米, 故当边长x的绝对误差不超过0.17毫米时,就能使此正 方形的面积精确到0.001米2 39.假定矩形每边的长皆不超过10米,为了使根据测量所计 算出来的面积与原面积之差不超过0.01平方米,问测量 矩形的边x与y时,许可的绝对误差∠的值多大)? 解按题设我们有 (x+A)(y+)一xy≤0.01, 即2+(x+y)≤0.01, 由于x≤10及y≤10,所以只要 ∠2+20≤0.01或2+20A-0.01≤0 即可.解之,得 ≤=20+√20+0.0 =-10+20.0099 =0,00499<0.0005(米) *)此题假设x;y有相等的绝对误差.又原著上为“0.01 平方米”,面误译为“0.01平方厘米” 24
40.设8(x)及6(y)为数x和y的相对误差,8(xy)为数xy的 相对误差.求证: 6(xy)≤6(x)+(y)+6(x)(y) 证设 b+/ 其中a及b分別是x及y的精确值,厶r及∠、是绝 对误差,则有 xy-ab=b4+a∠,+x·∠y 于是, To b|·厶+|a|·A,+4·∠ 最后即得 ++ lab 此即 6(xy)≤(x)+6(y)+δ(x)d(y) s2.叙列的理论 1°叙列的极限的概念假设对于任何的c>0,有数N=N(9),使 当n>N时,1 则称叙列x1,x2…,x,,…有极限a(或者说,收敛于a)亦即 lim r= a 其中,若 limx =0, 则称xn为无穷小 没有极限的叙列,称为发教的 极限存在的准则 25
(1)设 ≤n≤ 及 li lime 则 (2)单调而且有界的叙列有极限 (3)哥西判别法叙列{xn}的极限存在的必要而且充分的条件 是:对于任何的>0,有数N=N(E),使当n>N和p>0时,|xn nt? E 3关于叙列的极碾的基本定理设 和 存在,则有 (1)若xn≤y,则 limc≤ lin y; (2川lim〔x士y)= limIn+lmyn (3)lim(nym)=liman limyn; (4)若 limy≠0,则lm 4°数ε,叙列 1 有确定的极限 lim 1+ =2.7182818284 5°无穷极限符号 1imx=∞ 表示对于任何的E>0,有数N=N(E),使 当n>N时 E 5°聚点设已知叙列xn(n=1,2,…)有子叙列 26
适合 IL+C 则称数(或符号∞)为已知数列an(n=1,2,…)的聚点 切有界的叙列至少有一个有夯的聚点〔波尔查诺外尔斯特 拉斯原理).若这个聚点是唯一的,则它即为已知叙列的有穷极限 叙列xn的最小聚点(有穷的或无穷的) lim c 称为下极限,而它的最大聚点 lima 称为此叙列的上极限 等式 imx。= limx 为叙列xn的(有穷或无夯)极限存在的必要而且充分的条件, 41.设 n=1,2 证明 limrn =1, 即:对于任一个给定的e>0,求数N=N(E) 使得 在n>N时,|xn-1|<E. 填下表 0.1 0.010.0010.0001 证 1 任给E>0,要|xn-1|<ε.只 27