第章共力的平商 图2-31 擦力是多大?(b)求静摩擦系数的大小 解彭由图2-31(c) ()∑F-0→F0840°-Win40°f=0,F-70N木块刚好廾始移动→f-/m、=70(0.76)-60 (.643)-15.0(N) 244图2-32(a)中当悬挂的物体重220N时系统处于静止.求200N的物体受到摩擦力 的大小和方向 解丙为滑轮没有摩擦,绳子上的拉力处处相等两个物体的隔离物体图,如图232(b)和(c)所 示摩擦力f的方向渐斜面向上还是向下取决于题山木身在本题中由T=220N我们能马上断定摩 擦力沿斜面向下.与T方向相反并沿斜面方向的是200N的物体沿斜面向下的分量该分量肯定小 于200N故也没有了大所以摩擦力沿斜面向下巾∑F2=0(沿斜重)有1-200-=0→f =200200(0.574)=105(N) (在该题中无需计算支持力N.) 200N 图2-32
第三章一維运动学 3.1量纲和单位;恒加速问题 31一辆小车的里程表在旅程刚开始时为22687km,在旅程结束时的读数为22791km.整个 旅程共花了四个小时那么这辆车的平均速率是每小时多少千米?每秒多少米? 解E平均速率=,滤时离-(2122m-2k/h 也可以写成平均速率=26的(m=7,2m/ 32一辆汽车以25km/h的速度先前进了四分钟,然后以50km/h的速度前进了8分钟,最后 以20km/h的速度又前进了2分钟试问(a)总共前进了多少千米?(b)整个过程的平均 速度是每秒多少千米? 解(a)运动的距离=d1+d2+dy,其中 k(4 a,-(20)(22L- 所以d1+d2+d3=9km (b)平均速度=“总共时间-(9hm×100(460symh 33一跑步者在50s内在圆形跑道上走了1.5圈跑道的直径是40m,它的周长是126m (a)求跑步者的平均速率,(b)跑步者的平均速度的大小是多少? 解E()平均速本跳=(151)(20m1)37a (b)平均速度是矢量它等于与运动起止时间50秒所对应的位移矢量除以时间间隔既然走过的路程 是11,那么矢量位移的端点应该是从跑道的起点到画那一点上,正好穿过跑道的直径而平均 速度的大小等于位移的大小除以时间,所以平均速度的大小=40m/50s=0.80m/s 3.4利用量纲分析判断下列等式哪个是错的 其中λ和h都是长度,以及[F]=[MLT2]其它符号都具有它们通常代表的意义 解[]=[Lr=[1.而[x]=[L1],所以等式k=m是正确的,[m/1]=[MLT1 [T]=[MLT2],所以F=mv/t是正确的[x2/2g=[(12/T)(L/r2)=[L].所以[h]=[L], h=n2/2g从量纲上讲是正确的既然[v]=[LT1,[(2m)12]=[(L2r-1)12]=[Lr1],所以v =(2m)2也是正确的注意,那些纯数字是无量纲的 3.5如果s表示路程,t表示时间,那么在下列等式中c1、c2c3、c4它们的量纲是什么? t, s=casina t 提示:三角函数无量纲.) 解晒““的量纲为[L],所以在等式右边的所有表达式都有长度的量纲而[c1]=L/T],所以 [c1t]也等于[(LT)T]=[L],[c2]=[T2],Lc3]=[L].因为正弦函数无量纲,所以,三角函数无单 位于是4]=【T1
第三章一维运动学 3.6一绳波的波速v是由绳上的张力F和每单位的质量m/决定的如果[F]=[ML] T]2是已知的,试分析下列波速方程上的恒量a和b的量纲:v=常址.F(m/1)b 解巾题意知[v)-[F][m/].代入1v]和[F]的量纳代速式,得[MT1]=MLT2 iM!:1]b-[M][L|“b[T2].方程两边的幂指数应相等;冈此有,a+b-0,a-b=1,和 2a=1,得到a-和b-- 3.7用∫来衣示挂在一弹簧术端质量为m的物体的振动频率,弹簧的劲度系数是k,且满足 关系式f=常量·m“k,试用量纳分析求a和b的数值已知[f]=[T]-和[k]=[M k→[MT们]=[M][MT26]=[MT2)」 所以+b-0和-26--1或b--a-2 38物体初速为8m/s,以恒定加速度沿着直线前进,40s内前进了640m.在这40s的时 间内,试求(a)平均速度,(b)末速度,(c)加速度 (a)平均速度 640n 16m/s (b,c;vr=+at.我们知道v-8m/s和:-40,但我们不知道a.而x=v!+at2或640m 8m/s)(40s)“2 解之,我们得到a-2(640-320)m=0.0m/2 600x2 代入速度计算式,v-8m/s+(0,40m/s2)(40)-24m/s 3.9一卡车从静止开始以恒定加速度5m/s2运动试计算运动4s后的速率和距离 0+(5m/s2)(4s)-20m 此题中走过的距离与位移的大小相等,所以有 3.1一箱子以恒定的加速度沿一斜面下滑.从静止开始,经过3s,速率达到2.7m/s.试求 (a)加速度,(b)在前6s内走过的距离 解瑟没x,表示沿斜面运动的位移和速度 (x)v-vn+a,我们已知ve=0,vy=2.7m/s,t=3.0s;于是有2.7m/s=0+a(3.0s),所以a= 09如:现在(b+a2=0+(0.9m96.02162a 311一轿车从靜止出发,以恒定加速度沿一山坡下滑.如它在8s内走了90m,试求(a)加速 度,(b)8s后的速度 解(a)s=1a2(v=0),90 8),a-64-2.8m/s2(b)n-at=2.8×8=22.4m/s 312轿车以恒定加速度经过相距30m的两个检查站,所花时间是4.0s轿车经过第一 个检杳站时的速率是5.0m/s.试求这辆轿车的加速度及经过第二个检查站时的速率 解拦第一位查蛄作为起点,把第二检查站作为终点.则,v-5.0m/s,z30m,t=+.0s.我们 用位移方程求a r=vnt+2at30m=(5.0m/s(4.)+2a(4.0s3.a=1.25m2 得出v:=5.0m/s+(1.25m/s2)(4.0s)=10m/s 313一汽车的速度从6.0m/s均匀地加速到20m/s,经过的距离70m.求加速度和所用时 间
3.!量纲和单位;恒加速问憝 解已知=20m/s和v0=6.0m/s及经过距离是70m既然所花时间没给出,我们用公式 v=n+2ax来求解a,有(2m/s)2=(6.0m/s)2+2a(7m)得出a=26m/s2那么t立即从下式 得出 vy=c+an,20m/s=6.0m/s+(2.6m/x2)t,t=5.4s 3.14一飞机从静止出发,在起飞前一直沿地面加速.在12s内走了600m.试求(a)加速度 (b)12s末的速度,(c)第12s内走过的距离 已知vo=0,x=600m,t=12s )2=w+2a,有6m=-0+a(12),所以a=8,3m2 (b)v/Uo+at. A vr=v0+(8. 33m/x)(12)=v/100m/s (c)考虑到第秒意味着是介于t=0和t=1s之间,因此第12s是介十t=11和t=12s之间既然我 们已经知道x(t=12s),我们求解x(t=1ls) r=m+a2得到x=0+3(8.3m/s2)(1l)2=504m 得到答案△x(第十二秒内)=x(t=12s)-x(t=1ls}=96m 3I5一火车以初速30m/s作匀减速运动一直到停止,只花了44s.试求加速度和经过的距 离 解已知v=30m/s及v=0及t=44s vf=vn+at=0=30m/s+a(44),得到a=-0.68m/s2 3.16一物体初速为13m/s,以每秒改变2.0m/s的变化率作匀减速运动,运动时间为6s.试 分析(a)末速率,(b)在6s内的平均速率,(c)在6s中走过的距离 解以“每秒改变2.0ms"减速意味着a=-2.0m/s2.我们已知vo=13:m/s和t=6.0s(a)v /s+(-2.0m/s2)(6.0s)=1.0m/s因为瞬时速率指瞬时速度的大小,答案是1.0m/s 当物体作单方向直线运动时,距离和位移的大小是一致的在本题中6s末的速度仍然是正的,说明 没有作返回运动对于位移,x=v:+1a2=(13m/(6.0)+1(-2.0m/3)(6.m)2=42m,平 均速率=42m/6,0s=7,0m/s 317火箭推进式小车由静止从原点出发,以a=5m/s2的恒定加速度沿x轴正方向运动 8s直到汽油耗尽随后以恒定速度前进问这辆轿车在12s内行进的距离是多少? 解钫从x到燃料耗尽的距离是x1=(0)(8)+(5)(8)2=160(m),在这一时刻v=(2axt)2 =40ms.因此在12s内的距离是x2=x1+v(12-8)=160+(40)(4)=320(m) 3.18一质点如图3-1以匀加速度-4m/s2沿x轴运动当它经过原点时,速度是20m/s.在 这个问题中,时间t是从质点在原点开始计算的.(a)当距离x和时间t分别是多少时 v=0?(b)当x=15m时,时间是多少?在这一时刻质点的速度是多少?(c)质点在x +25m的速度是多少?在x=-25m呢?并求出质点在x=55m时的速度大小 解(a)应用公式v=vo+ar,0=20+(-4)t 那么了=2+a2=(0355(-4)5=0m或着从公式2=+2a 0=(20)2+2(-4)x得出 b)15=20+(-4)t,2 解这方程,1=2±(20)2-42(15=1(20:167
第三章一维运动学 得出t1=0.8s,12=92s,其中t1是从原点到x-15m的时间,42是质点从O点出发经过x=15m 处,继续前进又返回到该点所花的时间在x=15m, m/s2 _4 m's 质点 图3-1 发现速度大小是相等e (c)在x=25m,v2=(20)2+2(-4)(25),有v=±14.1m/s;在x=-25m、v2=202+2(-4)(-25), 得出=-24.5m/s.(为什么=+245m/s被舍去了? 、C 3.19物体从静止作自田落体运动试求(a)加速度,(b)在3s内下降的高度,(c)下降70m 后的速度大小,(d)速度到达25m/s所花的时间,(e)下落300m所花时间 解:(a)设向下y为正得出a=g=98m/2 (b)当:=3.0s,y-v04+1a2-=0-1(9,m/3)(3.052=4m (c)设y=70m,我们有v1=+2ay=0+2(9.8m/2)(70m)=1372m2/2→v=3 (d)设v=25m/s有v=v+at,25m/s=0+(9.8m/s2)t→t=2.55 (c)我们设y-30m,有y=n2“,.30m=0+3 320从一座桥上掉下的一球碰到水面用了5s.计算(a)球碰到水面时的速率,(b)桥离水面 的高度 解取y轴向下作为方向有a“g=9.8m/s2,C知v=0,t-5s时球碰到水面设v (a)7=v+at=0+(9.8m/2)(5s=49ms,(b)y=4+a2=0+2(.8%m2)(532=123m 3.21球以初速25ft/s从一高崖边缘被竖直抛下.(a)当它在1.5s后运动的速率是多少? (b)在1.5s后它已移动了多少距离? 解(a)v=t+at:=25+32(1.5)→v=73i/s(a=g=32f/x2) (b)因加速度恒定,5=(+v)=)(73+25)-49(t/s) s=5t=49(1.5)=73.5(t),S=0t+1a2-25(1.5)+1(32)(1.5}2-37:5-36-73.5(f 322一石头从高度为25m处以初速8m/s向下抛出.试求(a)石头到达地面的时间,(b)碰到 地面时的速率 解选择向下为正,a=g=9.5m/52得出v6=8m/s,(a}可以通过直接求解y0t++at2,即 5m=(8m/s)x+1(9.8m/2)…2求r,但先求得末速度更方便(b)a=t+2y=(8m/s)2 2(9.8m/s)(25 54m2/s,得vy-23.5m/s再阿到(a),v-v+at结果23.5m/s-8m/s+ (9.8m/x2)t,得出t=1.58s 3.23一球被竖直抛出又返回到起点月了4s.试求它的初速