例1(12010芜湖)下列命题中是真命题的是( A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形 (2)(2009·凉山)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠, D 使C落在C′处,BC′交AD于点E,则下列结论不一定成立的是( A.AD=BC′ B.∠EBD=∠EDB C.△ABE∽△CBD AE D.sin∠ABE ED
(1)(2010·芜 湖)下列命题中是真命题的是( ) A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．两边相等的平行四边形是菱形 (2)(2009·凉 山)如图，将矩形 ABCD 沿对角线 B D 折叠， 使 C 落 在 C′处，B C′交 AD 于点 E，则下列结论不一定 ．．．成立的是( ) A．AD＝BC′ B．∠EBD＝∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE＝ AE ED
B (3)(2010宜昌)如图,在菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的 距离为() A.15 B 15 3 2 C.7.5 D.153 【点拨】本组题综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定. 【解答】(1)从“对角线”方面考查矩形的判定方法,故选C (2)△ABE和△CBD只满足∠A=∠C=90°,其余证相似的条件推不出,故选C (3)∵∠ADC=120°,∴∠A=60 ∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形 ∴BD=AB=15,即B、D两点之间的距离为15,故选A
(3)(2010·宜 昌)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝15，∠ADC＝120°，则 B、D 两点之间的 距离为( ) A．15 B. 15 3 2 C．7.5 D．1 5 3 【点拨】本组题综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定． 【解答】(1)从“对角线”方面考查矩形的判定方法，故选 C. (2)△ABE 和△CBD 只满足∠A＝∠C＝90°，其余证相似的条件推不出，故 选 C. (3)∵∠ADC＝120°，∴∠A＝60°. ∵AD＝AB，∴△ABD 是等边三角形． ∴BD＝AB＝1 5，即 B、D 两点之间的距离为 1 5，故 选 A
>例2(2010聊城)如图,在等边三角形ABC中,点D是BC边的中点,以AD为边 作等边三角形ADE (1)求∠CAE的度数 (2)取AB边的中点F,连结CF、CE,试证明四边形AFCE是矩形 【点拨】本题综合考查等边三角形的性质和矩形的判定 【解答】(1)在等边△ABC中,∵点D是BC边的中点,∴∠DAC=30°又∵△ADE是 等边三角形,∴∠DAE=60°∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°—30°=30 2)由(1)知,∠EAF=90° 由F为AB的中点知,∠CFA=90°,∴CF∥EA 在等边三角形ABC中,CF=AD 在等边三角形ADE中,AD=EA,∴CF=EA ∴四边形AFCE为平行四边形 又∠CFA=90°,∴四边形AFCE为矩形
(2010·聊 城)如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是 B C 边的中点，以 AD 为 边 作等边三角形 ADE. (1)求∠CAE 的度数； (2)取 AB 边的中点 F，连结 CF、CE，试证明四边形 AFCE 是矩形． 【点拨】本题综合考查等边三角形的性质和矩形的判定． 【解答】(1)在等边△AB C 中，∵点 D 是 BC 边的中点，∴∠DAC＝30°.又∵△ADE 是 等边三角形，∴∠DAE＝60°.∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝60°－30°＝30°. (2)由(1)知，∠EAF＝90°. 由 F 为 AB 的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA. 在等边三角形 ABC 中，C F＝AD. 在等边三角形 ADE 中，AD＝E A，∴CF＝EA. ∴四边形 AFCE 为平行四边形． 又∵∠CFA＝90°，∴四边形 AFCE 为矩形．
例3(2010·安徽)如图,AD∥FE,点B、C在AD上,∠1=∠2,BF=BC (1)求证:四边形BCEF是菱形; (2)若AB=BC=CD,求证:△ACF≌△BDE 【点拨】本题综合考查菱形的判定和全等三角形的判定 【解答】(1)证明:∵AD∥FE,∴∠FEB=∠2.∴∠1=∠2,∴∠FEB=∠1,∴BF=EF ∵BF=BC,∴BC=EF,∴四边形BCEF是平行四边形 又∵BF=BC,∴BCEF是菱形 2证明:∵EF=BC,AB=BC=CD,AD∥FE ∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形 ∴AF=BE,FC=ED,又∵AC=2BC=BD, ∴△ACF≌△BDE(SSS)
(2010·安 徽)如图，AD∥FE，点 B、C 在 AD 上，∠1＝∠2，BF＝BC. (1)求证：四边形 BCEF 是菱形； (2)若 AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌ △BDE. 【点拨】本题综合考查菱形的判定和全等三角形的判定． 【解答】(1)证明：∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.∵ ∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1，∴BF＝EF. ∵BF＝B C，∴BC＝EF，∴四边形 BCEF 是平行四边形． 又∵BF＝BC，∴▱BCEF 是菱形． (2)证明：∵EF＝B C，AB＝BC＝CD，AD∥FE. ∴四边形 ABEF、四边形 CDEF 均为平行四边形． ∴AF＝BE，F C＝ED，又∵AC＝2BC＝BD， ∴△ACF≌△BDE(SSS)．
举一反