y 图1-2面心立方晶体的菱形初基原胞。平移基矢飄,b,c联 结原点和位于面心的格点,如图所示,平移基矢为t (x +y) b′=(y+2),c=(z+x) 轴间交角为60° ·六角密谁(hcp)结构。证明理想六角密堆结构的轴比 c/a等于(8/3)1=1.633.如果c/a明显大于此值,则晶体结构 可以认为是由原子密排面所组成,但这些平面之间是疏松堆积的 佩解 如图1一3所示,六角层内最近邻原子间距为a,而相邻两
层间的最近邻原子间距为 d=(a2/3+c2/4) c2g 图1-3六角密堆结构。 当d=a时构成理想的密堆六角结构,此时有 a=(a2/3+c2/4)4, 由此解出,c/a=(8/3)2=1.633 若c/a>1.63时,则表示原子平面的层间距较理想结构的层 间距大,因此层间堆集不够紧密
第二章晶体衔射与倒易格子 傅里叶级效的燃变换 a)证明方程式 n(x)=∑nexp(￥2πpx/a) 中的傅里叶系数n为。 np=a" dxn(x)exp(-i2Tpx/a). (b)证明 n(r)=∑nexp(iGr 的逆变换为 dwn;(r)exp(-i“r) calf 式中V为晶体原胞的体积。 解 (a)若n(x)展为傅氏级数 n(x)=∑ next(#2Bx/a) 式中p为整数,上式两边乘以aexp(-2πpxa),并对x积分,得 dxn(x)exp(-设2xpx/a) dxexp(i2T(p′-p)x/a〕 而 dxexp[12x(p'-p)x/a〕
当p’=p时; =b(p′-p)= 0 当p'年p时 所以有4 ne dxn(x)exp(“丌px/a)。 (b)若有三维傅氏级数 n(r)= ∑ n:exp(iG.r), 为计算nc,可在上式两边乘以 Ucexp(-iG"r),并对原胞c积 分,则得 Ve-i dun(rexp(-iGr) (1) 其中V为原胞体积,G,G′为倒易矢量.上式右边的积分有如下 的结果 deep〔t(G-G):r〕=vd(G′-G) 当G′=G时; (2) 0 当G′÷G时 G′=G的结果是显然的。现只需证明G+G的情况。令G′一G= G",只需证明 dvexp(ig"r)=0 G=0 即可。因为G′,G均为晶体的倒易矢量,G″也应为倒易矢量, 所以exp(iG”r)必具有晶格周期性,故上式对原胞的积分与原胞 的选择无关。若将原胞平移任意矢量d,积分区域就平移至原胞 c,于是有 6
duexp〔iG"·(r+d)〕= duexp(iG″·r) dvexp(iG"·r), 所以 〔exp(i"·d)-1) i dvexp(G"·r)=0 因d是任意一个矢量,exp(i"d)午1,故G"+0时,必 deep(iG"“r)=0 于是,(2)式成立。将(2)式代入(1)式,得 ve dun(r)exp(-iGr) ·晶面间距.设晶格中的一个平面为h.(B)证明倒易矢 量G=1A+kB+C垂直于这个乎面。(b)证明晶格的两相邻 平行乎面(这些平面通过格点)之间的距离为a(mk)=2x/|Gl, G=hA+kB+C。(c)对于简单立方晶格,证明d2=a/(加2+ 解) (a)晶面(hk)在基矢、b、c上的截距为a/h,b/k,c/l 作矢量 a/h-b b/k-c/l, c/-a/h 显然这三个矢量互不平行,均落在(hk)晶面上,且 m,G=(a/h-b/k).(hA+kB +Ic) =(a/h-b/k)·2mh b× +2 cx a·bxc a·bxc