第五章时频分析 4.共轭对称性蕌 当信号是实信号时,短时傅里叶变换和一般傅里叶变换 样具有共轭对称性,即 STFT(n,O)=STFT(n,-Q) (527 因此,其实部是偶函数,虚部是奇函数
第五章 时 频 分 析 4. 共轭对称性 当信号是实信号时, 短时傅里叶变换和一般傅里叶变换一 样具有共轭对称性, 即 STFT ( , ) STFT ( , ) * X n X n (5.2.7) 因此, 其实部是偶函数，虚部是奇函数
第五章时频分析 5.由短时傅里叶变换恢复信号 由定义(52)式得到短时傅里叶变换的反变换为 x(m)(n-m)= STFT(n, o endo 2兀 设n=m,则 x(m)= STFT(n, @eon da 2TO(O) (528)瑳 只要v(0)≠0,可以由STFT(n,ω)准确地恢复信号x(n)
第五章 时 频 分 析 5. 由短时傅里叶变换恢复信号 由定义(5.2.1)式得到短时傅里叶变换的反变换为 ( , )e d 2π 1 ( ) ( ) j π π m X x m w n m STFT n 设n=m, 则 STFT ( , )e d 2π (0) 1 ( ) j π π m X x n n (5.2.8) 只要w(0)≠0, 可以由STFTX (n, ω)准确地恢复信号x(n)
第五章时频分析 5.23短时傅里叶变换的时间、频率分辨率 由定义可知,STFT实际分析的是信号的局部谱,局部谱的 特性决定于该局部内的信号,也决定于窗函数的形状和长度 为了了解窗函数的影响,假设窗函数取两种极端情况。第一种 极端情况是取v(n)=1,-∞<n<∞,此时 STFT(n,@)=>x(m)e om=FT[x(n) n=-00 这种情况下,STFT退化为信号的傅里叶变换,没有任何时间分 辨率,却有最好的频域分辨率。第二种极端情况是取ν(η)-δ(η), 此时 STFT n, n=x(ne 3 NTF退化为信号有理想的时间分辨率,但不提供任何频率分辨率
第五章 时 频 分 析 5.2.3 短时傅里叶变换的时间、频率分辨率 由定义可知，STFT实际分析的是信号的局部谱，局部谱的 特性决定于该局部内的信号，也决定于窗函数的形状和长度。 为了了解窗函数的影响，假设窗函数取两种极端情况。第一种 极端情况是取w(n)=1， -∞<n<∞ , 此时 STFT ( , ) ( )e F [ ( )] -j n x m T x n m m X 这种情况下，STFT退化为信号的傅里叶变换，没有任何时间分 辨率，却有最好的频域分辨率。第二种极端情况是取w(n)=δ(n)， 此时 n x(n,ωn x n j STFT ( )e STFT退化为信号，有理想的时间分辨率，但不提供任何频率分辨率
第五章时频分析 短时傅里叶变换由于使用了一个可移动的时间窗函数,使 其具有一定的时间分辨率。显然,短时傅里叶变换的时间分辨 率取决于窗函数v(m)的长度。为了提高信号的时间分辨率,希 望w(η)的长度愈短愈好。但频域分辨率取决于(n)窗函数的频 域函数宽度,也就是低通滤波器w(m)的带宽或者说带通滤波器 (m)ejon的带宽,为了提高频域分辨率,希望尽量加宽v(n)窗 口宽度,这样必然又会降低时域分辨率。因此,錞STFT的时间 分辨率和频率分辨率不能同时任意提高。这种时域分辨率和 频域分辨率相互制约的性质,也正反映了已为理论所证明了 的“不确定原理”: △t△f≥ (52.9) 4兀
第五章 时 频 分 析 短时傅里叶变换由于使用了一个可移动的时间窗函数， 使 其具有一定的时间分辨率。显然, 短时傅里叶变换的时间分辨 率取决于窗函数w(n)的长度。为了提高信号的时间分辨率,希 望w(n)的长度愈短愈好。但频域分辨率取决于w(n)窗函数的频 域函数宽度，也就是低通滤波器w(n)的带宽或者说带通滤波器 w(n)e jωn的带宽，为了提高频域分辨率，希望尽量加宽w(n)窗 口宽度，这样必然又会降低时域分辨率。因此, STFT的时间 分辨率和频率分辨率不能同时任意提高。这种时域分辨率和 频域分辨率相互制约的性质，也正反映了已为理论所证明了 的“不确定原理” ： 4π 1 tf （5.2.9）
第五章时频分析 式中△表示信号有效持续时间,/表示信号的有效带宽。上面 公式说明,对于窗函数,它的时间宽度和在频率域的宽度不能 同时任意小,也就是说,频域分辨率和时域分辨率不能同时任意 小。但可以选择合适的窗函数,使△t和Δ都比较小,其乘积接 近于1/(4)。窗函数的形式有很多,可以证明从有效时宽和有效 频宽乘积为最小的意义上讲,高斯波形信号是最好的,但是它 在时间轴和频率轴上是无限扩张的,因此它并不是一种最好的 波形。我们知道,不可能存在既是带限又是时限的信号波形, 实际应用中采用放松条件,研究在有限时宽的情况下,使频率 有效带宽为最小的波形是什么,或者研究在有限带宽情况下, 使时宽最小的波形是什么,这部分内容可参考文献[8] 2]
第五章 时 频 分 析 式中Δt表示信号有效持续时间，Δf表示信号的有效带宽。上面 公式说明, 对于窗函数，它的时间宽度和在频率域的宽度不能 同时任意小,也就是说, 频域分辨率和时域分辨率不能同时任意 小。 但可以选择合适的窗函数，使Δt和Δf都比较小, 其乘积接 近于1/(4π)。窗函数的形式有很多, 可以证明从有效时宽和有效 频宽乘积为最小的意义上讲，高斯波形信号是最好的，但是它 在时间轴和频率轴上是无限扩张的， 因此它并不是一种最好的 波形。我们知道，不可能存在既是带限又是时限的信号波形， 实际应用中采用放松条件，研究在有限时宽的情况下，使频率 有效带宽为最小的波形是什么， 或者研究在有限带宽情况下， 使时宽最小的波形是什么， 这部分内容可参考文献［8］、 ［2］