如果l=p(x,y)及ν=y(x,y)都在点x,y) 具有对x和y的偏导数,且函数z=∫(u,v)在对应 点(u,ν)具有连续偏导数,则复合函数 z=∫[y(x,y),v(x,y)在对应点x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 oz az au az av az az au az av ax au ax av ax ay au ay av ay 链式法则如图示
如果u = (x, y)及v = ( x, y)都在点(x, y) 具有对x和y 的偏导数，且函数z = f (u,v)在对应 点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f [(x, y), (x, y)]在对应点(x, y) 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z + = ， y v v z y u u z y z + = . 链式法则如图示 z u v x y
az au az av 0aaa x au ax ay ax Oz Ou az ay 十 ou ayay ay 称为标准法则或2×2法则 这个公式的特征: (1)函数=∫(x,y)v(x,川有两个自变量x和y 故法则中包含0x0x两个公式; ax a
= x z u z x u + v z , x v = y z u z y u + v z . y v 称为标准法则或 22法则 这个公式的特征： ⑴函数 z = f[u(x, y),v(x, y)] 有两个自变量 x 和 y 故法则中包含 y z x z , 两个公式；
(2)由于在复合过程中有两个中间变量u和v 故法则中每一个公式都是两项之和,这两 项分别含有ax0z (3)每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似, 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对 自变量的导数” 多元复合函数的求导法则简言之即: “分道相加,连线相乘
⑵由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v 故法则中每一个公式都是两项之和，这两 项分别含有 v z u z , ⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似， 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对 自变量的导数” 多元复合函数的求导法则简言之即： “分道相加，连线相乘
类似地再推广,设u=p(x,y)、ν=v(x,y)、 W=w(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数,复 函数z=f1(x,y),v(x,y)2w(x,y)在对应点x,y) 两个偏导数存在,且可用下列公式计算 十 十 ax au ax oy ax ow ax az a au az av az aw 十 ay au ay av ay aw a
类似地再推广，设u = (x, y)、v = ( x, y)、 w = w( x, y)都在点(x, y)具有对x 和y 的偏导数，复合 函数z = f[(x, y), (x, y), w(x, y)]在对应点(x, y) 的 两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z + + = , y w w z y v v z y u u z y z + + = . z w v u y x
特殊地z=∫(u,x,y)其中=p(x,y) 即z=∫|p(x,y),x,y,令ν=x,W≡ Op Ow 0. ax dy 1, ay 区 az af du, af az-af au_af 别 ax au axax Oy au ay ay 类似 两者的区别 把z=f(u,x,y 把复合函数z=∫p(x,y),x,川中的及y看作不 中的y看作不变而对x的偏导数变而对x的偏导数
特殊地 z = f ( u, x, y ) 其中 u = ( x, y ) 即 z = f[(x, y), x, y], 令 v = x , w = y , = 1 , xv = 0 , xw = 0 , yv = 1 . yw , xf xu uf xz + = . yf yu uf yz + = 两者的区别 把复合函数 z = f[(x, y), x, y] 中的 y看作不变而对 x的偏导数 把 z = f (u, x, y) 中的 u 及 y 看作不 变而对x 的偏导数 区别类似