第11卷第2期 智能系统学报 Vol.11 No.2 2016年4月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Apr.2016 D0I:10.11992/is.201512015 欠驱动AUV全局无抖振滑模轨迹跟踪控制 马利民 (中国人民解放军海军驻锦州地区军事代表室，辽宁锦州121000) 摘要：研究了具有控制输入及速度约束的欠驱动自主水下航行器(Autonomous underwater vehicle,AUV)全局轨迹 跟踪控制问题。首先，将AUV运动学特性线性化，设计虚拟速度及航向角指令，解决传统反步法中速度跳变问题，满 足了控制输入及速度约束条件：然后，结合动力学特性，采用自适应无抖振滑模技术，设计了欠驱动AV的全局轨迹 跟踪控制器，解决了Y山等滑模控制中无法保证航向跟踪控制问题。从工程应用角度出发，有界估计的自适应滑模 控制器在AUV具有较大参数不确定及未知环境扰动条件下，表现出更好的控制性能。最后，基于Lyapunov稳定性 理论的完整分析证明及仿真实验，表明了该控制器对系统不确定的鲁棒性，能够实现控制输入及速度约束的欠驱动 AUV全局轨迹跟踪控制。 关键词：自主水下航行器：全局控制；滑模控制：轨迹跟踪；反步法；自适应；多约束条件；Lyapunov方法 中图分类号：TP391文献标志码：A文章编号：1673-4785(2016)02-0200-08 中文引用格式：马利民.欠驱动AUV全局无抖振滑模轨迹跟踪控制[J].智能系统学报，2016,11(2)：200-207. 英文引用格式：MA Limin.Global chattering--free sliding mode trajectory tracking control of underactuated autonomous underwater vehicles[J].CAAI transactions on intelligent systems,2016,11(2):200-207. Global chattering-free sliding mode trajectory tracking control of underactuated autonomous underwater vehicles MA Limin Navy Military Representative Office in Jinzhou,Jinzhou 121000,China) Abstract:To investigate the global trajectory tracking control problem of an underactuated autonomous underwater vehicle (AUV)with control input and velocity constraints,this study first linearized the kinematics to determine the commands of pseudo velocities and yaw angle.These commands solved the speed jump problem in the traditional backstepping method and ensured that the control input and velocity constraints were satisfied.In the second design of the dynamics,an adaptive chattering-free sliding mode technique was used to achieve the global trajectory track- ing control of an underactuated AUV,which improved the essential flaws in the work by Yu that cannot guarantee yaw angle tracking.The robust adaptive sliding mode controller with bound estimation achieved enhanced perform- ance for a general class of AUVs in the presence of possibly large parameter uncertainty and unknown environmental disturbances from a practical application viewpoint.Finally,complete stability analysis based on Lyapunov theorem and simulations demonstrated the robustness of the proposed controller to systematical uncertainties,as well as the global tracking ability of underactuated AUVs with control input and velocity constraints. Keywords:autonomous underwater vehicle;global control;sliding mode control;trajectory tracking;backstep- ping;adaptive;constraint;Lyapunov method 随着人类在海洋资源勘探和开发领域的不断加 收稿日期：2015-12-09. 深，使得自主水下航行器(autonomous underwater ve- 基金项目：国家自然科学基金项目(51179038,51105088). 通信作者：马利民.E-mail:1026809958@qq.com. hicle,AUV)越来越得到重视，对其运动控制技术的
第 １１ 卷第 ２ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１１ №．２ ２０１６ 年 ４ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ａｐｒ． ２０１６ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１５１２０１５ 欠驱动 ＡＵＶ 全局无抖振滑模轨迹跟踪控制 马利民 （中国人民解放军海军驻锦州地区军事代表室，辽宁 锦州 １２１０００） 摘 要：研究了具有控制输入及速度约束的欠驱动自主水下航行器（Ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒ ｖｅｈｉｃｌｅ， ＡＵＶ）全局轨迹 跟踪控制问题。 首先，将 ＡＵＶ 运动学特性线性化，设计虚拟速度及航向角指令，解决传统反步法中速度跳变问题，满 足了控制输入及速度约束条件；然后，结合动力学特性，采用自适应无抖振滑模技术，设计了欠驱动 ＡＵＶ 的全局轨迹 跟踪控制器，解决了 Ｙｕ 等滑模控制中无法保证航向跟踪控制问题。 从工程应用角度出发，有界估计的自适应滑模 控制器在 ＡＵＶ 具有较大参数不确定及未知环境扰动条件下，表现出更好的控制性能。 最后，基于 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 稳定性 理论的完整分析证明及仿真实验，表明了该控制器对系统不确定的鲁棒性，能够实现控制输入及速度约束的欠驱动 ＡＵＶ 全局轨迹跟踪控制。 关键词：自主水下航行器；全局控制；滑模控制；轨迹跟踪；反步法；自适应；多约束条件；Ｌｙａｐｕｎｏｖ 方法 中图分类号：ＴＰ３９１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１６）０２⁃０２００⁃０８ 中文引用格式：马利民． 欠驱动 ＡＵＶ 全局无抖振滑模轨迹跟踪控制［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１６， １１（２）： ２００⁃２０７． 英文引用格式：ＭＡ Ｌｉｍｉｎ． Ｇｌｏｂａｌ ｃｈａｔｔｅｒｉｎｇ⁃ｆｒｅｅ ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｕｎｄｅｒａｃｔｕａｔｅｄ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒ ｖｅｈｉｃｌｅｓ［Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１６， １１（２）： ２００⁃２０７． Ｇｌｏｂａｌ ｃｈａｔｔｅｒｉｎｇ⁃ｆｒｅｅ ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｕｎｄｅｒａｃｔｕａｔｅｄ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒ ｖｅｈｉｃｌｅｓ ＭＡ Ｌｉｍｉｎ （Ｎａｖｙ Ｍｉｌｉｔａｒｙ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅ Ｏｆｆｉｃｅ ｉｎ Ｊｉｎｚｈｏｕ， Ｊｉｎｚｈｏｕ １２１０００， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ａｎ ｕｎｄｅｒａｃｔｕａｔｅｄ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒ ｖｅｈｉｃｌｅ （ＡＵＶ） ｗｉｔｈ ｃｏｎｔｒｏｌ ｉｎｐｕｔ ａｎｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ， ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ ｆｉｒｓｔ ｌｉｎｅａｒｉｚｅｄ ｔｈｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｍｍａｎｄｓ ｏｆ ｐｓｅｕｄｏ ｖｅｌｏｃｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｙａｗ ａｎｇｌｅ． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｍｍａｎｄｓ ｓｏｌｖｅｄ ｔｈｅ ｓｐｅｅｄ ｊｕｍｐ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｂａｃｋｓｔｅｐｐｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｅｎｓｕｒｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｉｎｐｕｔ ａｎｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｗｅｒｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ． Ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ， ａｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ｃｈａｔｔｅｒｉｎｇ⁃ｆｒｅｅ ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｃｈｉｅｖｅ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｔｒａｃｋ⁃ ｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ａｎ ｕｎｄｅｒａｃｔｕａｔｅｄ ＡＵＶ， ｗｈｉｃｈ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｆｌａｗｓ ｉｎ ｔｈｅ ｗｏｒｋ ｂｙ Ｙｕ ｔｈａｔ ｃａｎｎｏｔ ｇｕａｒａｎｔｅｅ ｙａｗ ａｎｇｌｅ ｔｒａｃｋｉｎｇ． Ｔｈｅ ｒｏｂｕｓｔ ａｄａｐｔｉｖｅ ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｗｉｔｈ ｂｏｕｎｄ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｅｎｈａｎｃｅｄ ｐｅｒｆｏｒｍ⁃ ａｎｃｅ ｆｏｒ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｃｌａｓｓ ｏｆ ＡＵＶｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｓｉｂｌｙ ｌａｒｇｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ａｎｄ ｕｎｋｎｏｗｎ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓ ｆｒｏｍ ａ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｖｉｅｗｐｏｉｎｔ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｔｈｅ ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｔｏ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ， ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ｔｒａｃｋｉｎｇ ａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｕｎｄｅｒａｃｔｕａｔｅｄ ＡＵＶｓ ｗｉｔｈ ｃｏｎｔｒｏｌ ｉｎｐｕｔ ａｎｄ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒ ｖｅｈｉｃｌｅ； ｇｌｏｂａｌ ｃｏｎｔｒｏｌ； ｓｌｉｄｉｎｇ ｍｏｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌ； ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｔｒａｃｋｉｎｇ； ｂａｃｋｓｔｅｐ⁃ ｐｉｎｇ； ａｄａｐｔｉｖｅ； ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ； Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｍｅｔｈｏｄ 收稿日期：２０１５⁃１２⁃０９． 基金项目：国家自然科学基金项目（５１１７９０３８，５１１０５０８８）． 通信作者：马利民． Ｅ⁃ｍａｉｌ：１０２６８０９９５８＠ ｑｑ．ｃｏｍ． 随着人类在海洋资源勘探和开发领域的不断加 深，使得自主水下航行器（ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒ ｖｅ⁃ ｈｉｃｌｅ， ＡＵＶ）越来越得到重视，对其运动控制技术的
第2期 马利民：欠驱动AUV全局无抖振滑摸轨迹跟踪控制 ·201· 研究也提出了新的挑战。由于自身重量和经济 速度跳变问题，从而保证得到合理的控制输入，避免 成本等因素，目前多数AUV采用更少推进器来完成 推进器饱和。其次，在动力学设计过程中，利用滑模 多自由度耦合的运动控制，致使其成为典型二阶非 对参数变化不敏感和对扰动具有良好的抑制特性， 完整约束的欠驱动系统。因此，针对一般类非完 将文献[23-24]中滑模面加以改进完善，得到新的具 整速度约束的系统研究结论并不能直接应用到欠驱 有有界估计的自适应无抖振滑模控制器。且由于文 动航行器上[]，尤其是在系统建模参数不准确和存 献[23-24]中的理论存在一定缺陷，未定义航向角误 在未知环境扰动条件下，实现欠驱动AUV的轨迹跟 差和角速度误差，所设计的控制器并不能保证航向 踪控制更具有理论挑战与工程实际意义。 角跟踪，本文就此给出了严谨的理论分析和仿真实 轨迹跟踪控制要求控制律能够导引AUV跟踪 验验证。仿真结果表明，即使存在较大初始误差、建 一条具有时变特性的参考轨迹，对时间条件具有强 模参数不准确及未知外界扰动条件下，本文所设计 约束，因此与航迹点跟踪、路径跟踪控制相比，轨迹 的控制器仍较之前方法具有更好的跟踪控制性能， 跟踪控制更加难以实现o。文献[7]基于Lyapunov 且保证了控制输入及速度约束，更有利于实际工程 直接法设计输出反馈控制器，同时实现了欠驱动 应用。 AUV的全局渐近稳定及跟踪控制，但跟踪误差收敛 1欠驱动AUV的运动建模 半径依赖于环境扰动且无法通过系统增益进行适当 调整，控制器具有较弱的鲁棒性。为解决系统参数 目前，欠驱动AUV的轨迹跟踪控制大多解耦为 不确定和外界扰动问题，鲁棒自适应控制山、滑模 水平面和垂直面运动，且以水平面控制器设计为主。 控制1216]和神经网络[7-1)等控制方法在水下航行 本文考虑欠驱动AUV的平面轨迹跟踪控制，且满足 器上得到大量应用。文献[11]分别建立了五自由 如下假设条件：1)忽略由于风、浪、流等外界扰动力 度和三自由度海流模型，采用反步法和级联系统理 引起的纵向、横摇和纵倾运动：2)AUV的惯性矢量 论设计控制器，但满意的跟踪效果极大地依赖参考 矩阵和水动力阻尼矩阵是对角的，且高阶非线性水 模型，而且实际的设计与调试要比无模型方法复杂 动力阻尼项可忽略：3)可用的控制输入仅有纵向力 得多。文献[16]利用滑模技术对系统参数变化的 T。和偏航力矩T,,即AUV仅配备尾部推进器和垂 不敏感特性，将无抖振滑模控制器应用到全驱动 直舵。建立该欠驱动AUV的运动学与动力学模 AUV上，获得了较好的跟踪控制效果，但外界扰动 型(2) 未作考虑，且不能保证系统自适应估计项的有界性。 1)AUV运动学模型 文献[18]利用DRFNN设计了六自由度AUV的自 x=ucosψ-vsinψ 适应输出反馈控制器，虽然打破了对外界扰动及网 y=usin业+vcos少 络近似误差估计的限制条件，但系统在线自适应参 步=r 数估计的计算量很大，不利于时变轨迹跟踪控制和 2)AUV动力学模型 实际工程应用。另一方面，反步法02]在解决欠驱 m2 1 动水下航行器的运动控制问题上也表现出一定优越 du u=r-“u+—(Th+T.) 性。文献[20]利用虚拟速度量代替传统反步法中 m mu mu ur一 1 的姿态角误差变量，避免了控制律设计中的奇异值 v+-T2 问题：文献[21]采用仿生模型滤波反步法，解决了 m22 mn m2 较大初始误差条件下速度跳变问题；文献[22]基于 (m2-m）d uw-r+(TB+T,） 二阶滤波反步法增加了系统对噪声的鲁棒性，但以 m33 m331m33 上3种方法都未将系统内部参数不确定及外界扰动 (2) 同时考虑，且自适应估计误差的有界性得不到保证。 式中：m11=m-Xa,m22=m-Y:,m3=I-N:, 通过以上分析，从工程应用角度出发，需要通过 du=X。+X1du|ul,d2=Y。+Yide I v|,d3= 严谨且完整的理论分析，设计一种欠驱动AUV的轨 N,+Vidr I rl。状态变量(x,y,山)分别表示航行器 迹跟踪控制器，满足对系统参数不确定及未知扰动 在地面坐标系下的位置和航向角；(u,,r)分别表 的自适应和鲁棒性。除此之外，欠驱动AUV控制性 示载体坐标系下AUV的纵向速度、横向速度和偏航 能的实现，不能限制其初始条件、参考轨迹，且满足 角速度；m和m,分别表示AUV的惯性质量和包 控制输入及速度约束。为此，本文首先将欠驱动 含流体作用下的惯性质量，I,为绕z轴的转动惯量： AUV运动学特性线性化，设计满足速度约束的虚拟 X-,、Y和N~为粘性流体水动力系数；d,为非 速度及航向角指令，解决了在较大初始误差条件下 线性水动力阻尼项；T(和T,分别为AUV的控制
研究也提出了新的挑战［１⁃３］ 。 由于自身重量和经济 成本等因素，目前多数 ＡＵＶ 采用更少推进器来完成 多自由度耦合的运动控制，致使其成为典型二阶非 完整约束的欠驱动系统［４］ 。 因此，针对一般类非完 整速度约束的系统研究结论并不能直接应用到欠驱 动航行器上［５］ ，尤其是在系统建模参数不准确和存 在未知环境扰动条件下，实现欠驱动 ＡＵＶ 的轨迹跟 踪控制更具有理论挑战与工程实际意义。 轨迹跟踪控制要求控制律能够导引 ＡＵＶ 跟踪 一条具有时变特性的参考轨迹，对时间条件具有强 约束，因此与航迹点跟踪、路径跟踪控制相比，轨迹 跟踪控制更加难以实现［６］ 。 文献［７］基于 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 直接法设计输出反馈控制器，同时实现了欠驱动 ＡＵＶ 的全局渐近稳定及跟踪控制，但跟踪误差收敛 半径依赖于环境扰动且无法通过系统增益进行适当 调整，控制器具有较弱的鲁棒性。 为解决系统参数 不确定和外界扰动问题，鲁棒自适应控制［８⁃１１］ 、滑模 控制［１２⁃１６］和神经网络［１７⁃１９］ 等控制方法在水下航行 器上得到大量应用。 文献［１１］ 分别建立了五自由 度和三自由度海流模型，采用反步法和级联系统理 论设计控制器，但满意的跟踪效果极大地依赖参考 模型，而且实际的设计与调试要比无模型方法复杂 得多。 文献［１６］利用滑模技术对系统参数变化的 不敏感特性，将无抖振滑模控制器应用到全驱动 ＡＵＶ 上，获得了较好的跟踪控制效果，但外界扰动 未作考虑，且不能保证系统自适应估计项的有界性。 文献［１８］利用 ＤＲＦＮＮ 设计了六自由度 ＡＵＶ 的自 适应输出反馈控制器，虽然打破了对外界扰动及网 络近似误差估计的限制条件，但系统在线自适应参 数估计的计算量很大，不利于时变轨迹跟踪控制和 实际工程应用。 另一方面，反步法［２０⁃２２］ 在解决欠驱 动水下航行器的运动控制问题上也表现出一定优越 性。 文献［２０］利用虚拟速度量代替传统反步法中 的姿态角误差变量，避免了控制律设计中的奇异值 问题；文献［２１］采用仿生模型滤波反步法，解决了 较大初始误差条件下速度跳变问题；文献［２２］基于 二阶滤波反步法增加了系统对噪声的鲁棒性，但以 上 ３ 种方法都未将系统内部参数不确定及外界扰动 同时考虑，且自适应估计误差的有界性得不到保证。 通过以上分析，从工程应用角度出发，需要通过 严谨且完整的理论分析，设计一种欠驱动 ＡＵＶ 的轨 迹跟踪控制器，满足对系统参数不确定及未知扰动 的自适应和鲁棒性。 除此之外，欠驱动 ＡＵＶ 控制性 能的实现，不能限制其初始条件、参考轨迹，且满足 控制输入及速度约束。 为此，本文首先将欠驱动 ＡＵＶ 运动学特性线性化，设计满足速度约束的虚拟 速度及航向角指令，解决了在较大初始误差条件下 速度跳变问题，从而保证得到合理的控制输入，避免 推进器饱和。 其次，在动力学设计过程中，利用滑模 对参数变化不敏感和对扰动具有良好的抑制特性， 将文献［２３⁃２４］中滑模面加以改进完善，得到新的具 有有界估计的自适应无抖振滑模控制器。 且由于文 献［２３⁃２４］中的理论存在一定缺陷，未定义航向角误 差和角速度误差，所设计的控制器并不能保证航向 角跟踪，本文就此给出了严谨的理论分析和仿真实 验验证。 仿真结果表明，即使存在较大初始误差、建 模参数不准确及未知外界扰动条件下，本文所设计 的控制器仍较之前方法具有更好的跟踪控制性能， 且保证了控制输入及速度约束，更有利于实际工程 应用。 １ 欠驱动 ＡＵＶ 的运动建模 目前，欠驱动 ＡＵＶ 的轨迹跟踪控制大多解耦为 水平面和垂直面运动，且以水平面控制器设计为主。 本文考虑欠驱动 ＡＵＶ 的平面轨迹跟踪控制，且满足 如下假设条件： １）忽略由于风、浪、流等外界扰动力 引起的纵向、横摇和纵倾运动；２）ＡＵＶ 的惯性矢量 矩阵和水动力阻尼矩阵是对角的，且高阶非线性水 动力阻尼项可忽略；３）可用的控制输入仅有纵向力 τｕ 和偏航力矩 τｒ ，即 ＡＵＶ 仅配备尾部推进器和垂 直舵。 建立该欠驱动 ＡＵＶ 的运动学与动力学模 型［２５］ １）ＡＵＶ 运动学模型 ｘ · ＝ ｕｃｏｓ ψ － ｖｓｉｎ ψ ｙ · ＝ ｕｓｉｎ ψ ＋ ｖｃｏｓ ψ ψ · ＝ ｒ ì î í ï ï ï ï （１） ２）ＡＵＶ 动力学模型 ｕ ̇ ＝ ｍ２２ ｍ１１ ｖｒ － ｄ１１ ｍ１１ ｕ ＋ １ ｍ１１ （τｄ１ ＋ τｕ ） ｖ · ＝ － ｍ１１ ｍ２２ ｕｒ － ｄ２２ ｍ２２ ｖ ＋ １ ｍ２２ τｄ２ ｒ · ＝ － （ｍ２２ － ｍ１１ ） ｍ３３ ｕｖ － ｄ３３ ｍ３３ ｒ ＋ １ ｍ３３ （τｄ３ ＋ τｒ） ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï （２） 式中： ｍ１１ ＝ ｍ － Ｘｕ ¨ ， ｍ２２ ＝ ｍ － Ｙｖ · ， ｍ３３ ＝ Ｉｚ － Ｎｒ · ， ｄ１１ ＝Ｘｕ ＋ Ｘ｜ ｕ｜ ｕ ｜ ｕ ̇ ｜ ， ｄ２２ ＝ Ｙｖ ＋ Ｙ｜ ｖ｜ ｖ ｜ ｖ ｜ ， ｄ３３ ＝ Ｎｒ ＋Ｎ｜ ｒ｜ ｒ ｜ ｒ ｜ 。 状态变量 （ｘ，ｙ，ψ） 分别表示航行器 在地面坐标系下的位置和航向角； （ｕ，ｖ，ｒ） 分别表 示载体坐标系下 ＡＵＶ 的纵向速度、横向速度和偏航 角速度； ｍ 和 ｍ（·） 分别表示 ＡＵＶ 的惯性质量和包 含流体作用下的惯性质量， Ｉｚ 为绕 ｚ 轴的转动惯量； Ｘ（·） 、 Ｙ（·） 和 Ｎ（·） 为粘性流体水动力系数； ｄ（·） 为非 线性水动力阻尼项； τ（·） 和 τｄ（·） 分别为 ＡＵＶ 的控制 第 ２ 期 马利民：欠驱动 ＡＵＶ 全局无抖振滑模轨迹跟踪控制 ·２０１·
.202· 智能系统学报 第11卷 输入和外界扰动力作用在载体坐标系下的分量。考 sin tanh(ky.) 虑到实际航行器的控制输入及速度限制，本文做出 如下假设： 了=v4+sinψk,tanh(k,xe)- 假设1欠驱动AUV的控制输入及速度约束满 cos中ak,tanh(kye) 为得到速度u和v的虚拟控制量，将式(7)进一 足：|T.|≤Tmar,IT,|≤Tmm,|ul≤um,|vl≤ 步变换，得到， vnx和|rl≤Tm。 Cosψ。 -sin. -11 e 2轨迹跟踪控制器设计 sin中. cosψ。」 2.1虚拟参考信号的设计 u-Xcosψ.-Ysin中. 本文的设计目标是实现欠驱动AUV的平面轨 (8) 迹跟踪控制，可能存在较大的初始误差条件、系统建 v+Xsin。-Ycos. 模不准确及未知外界扰动情况。如何避免常规反步 从式(8)可以很容易得到虚拟速度控制量u.和 法中，虚拟速度设计直接跟位置误差变量相关，容易 v.如式(9)所示，这也正是文献[23-24]中的控制器 引起速度跳变，导致控制器输入饱和，是本节需解决 设计思路。虽然位置跟踪可以实现，但航向跟踪并 的重点问题。航行器的平面参考轨迹由式(3)产 不能保证，例如跟踪控制出现反向，这一点在本文仿 生，即 真对比实验中得到进一步验证。所以，本文采用纵 向速度u。和航向角少。作为虚拟控制量，从动力学模 x4=uacosψ：-vasin a 型(2)可以看出，这样设计控制器可以更好地实现 ya=uasin a+"acosψa (3) 位置与航向跟踪控制。 虚拟速度控制量设计为 ψa=ra 显然，根据假设1的条件，参考轨迹需满足下面 u。=cos中X+sin少Y 的假设，具体论证稍后给出。 e=-sinψeX+cos中eY (9) 假设2参考轨迹的速度u4、"a和ra需满足： 式中：中。=中。一少：。为得到航向角山.的控制设计， |ual+l4l≤umr和lra|≤ras。 可根据式(7)，令e.和e,都为零，先得到航向角误差 首先，定义AUV的位姿跟踪误差为 虚拟量： x。=x-x,y。=y-y4,中.=ψ-中。(4) =0-9或中=T+日-p(10) 对位置误差求导，结合式(1)和(3)得到， 式中：B=arctant(Y/X)和p=arctan(/u）。当期望 速度uu为正值时，中=0-p;当uu为负值时，山= x。+k,tanh(k,x.)=X (5) π+0-p。至此，虚拟速度控制量u。和航向角山总 y.kptanh(ky)=Y 结为 式中：k。和k。均为待设计的正常数，且 u。=cosψ.X+sinψ.Y X=ucos中-sin中-uacos中：+ 少。=中+中a vasin va ktanh(kx) ψ.=0-p或中。=T+0-9 (11) Y=usinψ+vcosψ-u,sin中a- 通过上述分析可知，当u=u。和业=中。，即可实 现位置与航向跟踪控制。 vacosψa+ktanh(knye) 2.2滑模控制器设计 定义新的误差变量e,和e,为 接下来，需要设计控制器T,和T,实现速度山和 -sina 6 航向角少分别跟踪虚拟参考信号山。和中。。根据上 sin cosψa 述分析，需要对文献[23-24]中滑模面设计加以改进 则e.和e,收敛到零，意味着x。和y.也收敛到零。根 完善，首先考虑纵向速度控制，取滑模面$，为 据式(6)，进一步整理得到 S1=4。+入u。+入2u (12) cos中. -sin 式中：u。=u-u。,入，为正常数。对式(12)求导： sin业. 7) cos 8- S1= 式中： x=uu-cos中ak,tanh(kpx.） 入(m2r-du+Tn+T。-m4,）+入业， u。+
输入和外界扰动力作用在载体坐标系下的分量。 考 虑到实际航行器的控制输入及速度限制，本文做出 如下假设： 假设 １ 欠驱动 ＡＵＶ 的控制输入及速度约束满 足： ｜ τｕ ｜ ≤ τｕｍａｘ ， ｜ τｒ ｜ ≤ τｒｍａｘ ， ｜ ｕ ｜ ≤ ｕｍａｘ ， ｜ ｖ｜ ≤ ｖｍａｘ 和 ｜ ｒ ｜ ≤ ｒｍａｘ 。 ２ 轨迹跟踪控制器设计 ２．１ 虚拟参考信号的设计 本文的设计目标是实现欠驱动 ＡＵＶ 的平面轨 迹跟踪控制，可能存在较大的初始误差条件、系统建 模不准确及未知外界扰动情况。 如何避免常规反步 法中，虚拟速度设计直接跟位置误差变量相关，容易 引起速度跳变，导致控制器输入饱和，是本节需解决 的重点问题。 航行器的平面参考轨迹由式（３） 产 生，即 ｘ · ｄ ＝ ｕｄ ｃｏｓ ψｄ － ｖｄ ｓｉｎ ψｄ ｙ · ｄ ＝ ｕｄ ｓｉｎ ψｄ ＋ ｖｄ ｃｏｓ ψｄ ψ · ｄ ＝ ｒｄ ì î í ï ï ï ï （３） 显然，根据假设 １ 的条件，参考轨迹需满足下面 的假设，具体论证稍后给出。 假设 ２ 参考轨迹的速度 ｕｄ 、 ｖｄ 和 ｒｄ 需满足： ｜ ｕｄ ｜ ＋｜ ｖｄ ｜ ≤ ｕｍａｘ 和 ｜ ｒｄ ｜ ≤ ｒｍａｘ 。 首先，定义 ＡＵＶ 的位姿跟踪误差为 ｘｅ ＝ ｘ － ｘｄ ， ｙｅ ＝ ｙ － ｙｄ ， ψｅ ＝ ψ － ψｄ （４） 对位置误差求导，结合式（１）和（３）得到， ｘ · ｅ ＋ ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｘｅ） ＝ Ｘ ｙ · ｅ ＋ ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｙｅ） ＝ Ｙ （５） 式中： ｋｐ 和 ｋ － ｐ 均为待设计的正常数，且 Ｘ ＝ ｕｃｏｓ ψ － ｖｓｉｎ ψ － ｕｄ ｃｏｓ ψｄ ＋ ｖｄ ｓｉｎ ψｄ ＋ ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｘｅ） Ｙ ＝ ｕｓｉｎ ψ ＋ ｖｃｏｓ ψ － ｕｄ ｓｉｎ ψｄ － ｖｄ ｃｏｓ ψｄ ＋ ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｙｅ） 定义新的误差变量 ｅｘ 和 ｅｙ 为 ｅｘ ｅｙ é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｃｏｓ ψｄ － ｓｉｎ ψｄ ｓｉｎ ψｄ ｃｏｓ ψｄ é ë ê ê ù û ú ú －１ Ｘ Ｙ é ë ê ê ù û ú ú （６） 则 ｅｘ 和 ｅｙ 收敛到零，意味着 ｘｅ 和 ｙｅ 也收敛到零。 根 据式（６），进一步整理得到 ｅｘ ｅｙ é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｃｏｓ ψｅ － ｓｉｎ ψｅ ｓｉｎ ψｅ ｃｏｓ ψｅ é ë ê ê ù û ú ú ｕ ｖ é ë ê ê ù û ú ú － Ｘ － Ｙ － é ë ê êê ù û ú úú （７） 式中： Ｘ － ＝ ｕｄ － ｃｏｓ ψｄ ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｘｅ） － ｓｉｎ ψｄ ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｙｅ） Ｙ － ＝ ｖｄ ＋ ｓｉｎ ψｄ ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｘｅ） － ｃｏｓ ψｄ ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｙｅ） 为得到速度 ｕ 和 ｖ 的虚拟控制量，将式（７）进一 步变换，得到， ｃｏｓ ψｅ － ｓｉｎ ψｅ ｓｉｎ ψｅ ｃｏｓ ψｅ é ë ê ê ù û ú ú －１ ｅｘ ｅｙ é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｕ － Ｘ － ｃｏｓ ψｅ － Ｙ － ｓｉｎ ψｅ ｖ ＋ Ｘ － ｓｉｎ ψｅ － Ｙ － ｃｏｓ ψｅ é ë ê ê ê ù û ú ú ú （８） 从式（８）可以很容易得到虚拟速度控制量 ｕｃ 和 ｖｃ 如式（９）所示，这也正是文献［２３－２４］中的控制器 设计思路。 虽然位置跟踪可以实现，但航向跟踪并 不能保证，例如跟踪控制出现反向，这一点在本文仿 真对比实验中得到进一步验证。 所以，本文采用纵 向速度 ｕｃ 和航向角 ψｃ 作为虚拟控制量，从动力学模 型（２）可以看出，这样设计控制器可以更好地实现 位置与航向跟踪控制。 虚拟速度控制量设计为 ｕｃ ＝ ｃｏｓ ψｅｃＸ － ＋ ｓｉｎ ψｅｃＹ － ｖｃ ＝ － ｓｉｎ ψｅｃＸ － ＋ ｃｏｓ ψｅｃＹ － （９） 式中： ψｅｃ ＝ ψｃ － ψｄ 。 为得到航向角 ψｃ 的控制设计， 可根据式（７），令 ｅｘ 和 ｅｙ 都为零，先得到航向角误差 虚拟量： ψｅｃ ＝ θ － φ 或 ψｅｃ ＝ π ＋ θ － φ （１０） 式中： θ ＝ ａｒｃｔａｎ（Ｙ － ／ Ｘ － ） 和 φ ＝ ａｒｃｔａｎ（ｖ／ ｕ） 。 当期望 速度 ｕｄ 为正值时， ψｅｃ ＝ θ － φ ；当 ｕｄ 为负值时， ψｅｃ ＝ π ＋ θ － φ 。 至此，虚拟速度控制量 ｕｃ 和航向角 ψｃ 总 结为 ｕｃ ＝ ｃｏｓ ψｅｃＸ － ＋ ｓｉｎ ψｅｃＹ － ψｃ ＝ ψｅｃ ＋ ψｄ ψｅｃ ＝ θ － φ 或 ψｅｃ ＝ π ＋ θ － φ （１１） 通过上述分析可知，当 ｕ ＝ ｕｃ 和 ψ ＝ ψｃ ，即可实 现位置与航向跟踪控制。 ２．２ 滑模控制器设计 接下来，需要设计控制器 τｕ 和 τｒ 实现速度 ｕ 和 航向角 ψ 分别跟踪虚拟参考信号 ｕｃ 和 ψｃ 。 根据上 述分析，需要对文献［２３⁃２４］中滑模面设计加以改进 完善，首先考虑纵向速度控制，取滑模面 Ｓ１ 为 Ｓ１ ＝ ｕ ̇ ｅ ＋ λ１ ｕｅ ＋ λ２ ∫ｕｅ （１２） 式中： ｕｅ ＝ ｕ － ｕｃ ， λ１ 为正常数。 对式（１２）求导： Ｓ · １ ＝ ｕ ¨ ｅ ＋ λ１ ｍ１１ （ｍ２２ ｖｒ － ｄ１１ ｕ ＋ τｄ１ ＋ τｕ － ｍ１１ ｕ ̇ ｃ） ＋ λ２ ｕｅ ·２０２· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷
第2期 马利民：欠驱动AUV全局无抖振滑模轨迹跟踪控制 ·203· 考虑到系统建模不准确，可能引起控制器性能 S2为 极度下降，定义系统不确定项为 S2=r.+ew+入3(m.+ew) (20) f=(m-m)(a.-元 、u）- 式中：。=r-T4,ew=业-中。=少。-中e,入3为正常 数。同样，对式(20)求导，得到 (mz-mz2)vr +(du-du)u (13) 控制器T。设计为 5:-I[(mn -ma)un-dar+a+rm+ m33 u。入2 7=m（u: u.）-m2r+ ew+入3(r。+ew) (21) 定义系统不确定项为 duu+f-k S:-B (14) f5=(m33-mg)(ra-ew-入3(r。+ew））- 式中：考虑到计算u.的复杂性，采用反馈控制量 (mn-m2-m1+mz）uw+（d3-d3)r .=一k山.。为不确定项f的估计值，k,为正常 (22) 数，B(i=1,2)为鲁棒项，定义为 控制器7，设计为 S 5.Ts.I' S≠0 T,=m3[ra-ew-入，(r。+e）]-(m1-mz2)uw+ B:= (15) 0, S:=0 daar +f2-k2S2-B2 (23) 式中：δ，为有界扰动δ，的估计值，即1TnI≤6。设 式中：方为不确定项f方的估计值，k,为待设计的正常 计的控制器自适应律为 数，B,为鲁棒项，定义如式(15)。82为有界扰动8，的 估计值，即|TB|≤⊙2。设计控制器自适应律为 f=-TS,-o「i (16) 6=-「⅓S2-0,「5 8,=I1S,l-os6, δ2=T6a1S21-0o,Tsδ2 (24) 式中：「、「d,为待设计正常数。%、06(i=1,2) 式中：「2和「，为待设计的正常数，控制器切换参数 为控制器切换参数： 如式(17)中定义。下面进一步验证控制器T,能够实 0,IfI≤No 现航向角及角速度跟踪控制，选取Lyapunov函数为 -), o=c。N6 N%≤IfI≤2Na 4=2m+公7,2+「8，(25) 1 fo, 1fI≥2N6 式中：了2=-，82=62-δ2。对式(25)求导，得到 0,161≤No 2≤-kS2+ghf6+06,⊙2(26) 因此，航向角和角速度跟踪误差都将收敛到原 s so Nao -1), No≤IδI≤2N60 点附近的一个小的邻域。 18I≥2N如 3 稳定性分析 (17) 定理1对给定AUV参考轨迹如式(3)，满足 式中：N。、N,、·%和o,均为正常数。下面验证 假设条件1和2，虚拟控制量如式(11)，控制器设 控制器t.能够实现纵向速度控制。选取Lyapunov 计如式(14)和(23)，自适应律为(16)和(24)，以及 函数为 鲁棒控制采用式(15)和(17)，通过合理的选择控制 =2六m+以7，+8a) 器参数k,、k、k、k、k、「h、Th、T6、 0Oh、0,和、实现欠驱动AUV轨迹跟踪误差 式中：了1=f-f,δ=8，-6。对式(8)求导得到： 的全局一致最终有界，且满足控制输入及速度约束 71≤-k+0了f+068,δ：(19) 条件。 因此，纵向速度跟踪误差和自适应估计误差将渐近 证明首先，给出速度跟踪误差的收敛性证 收敛到原点附近的一个小的邻域内。具体理论分析 明。根据上述控制器设计分析，构造Lyapunov函数 证明将在下面的稳定性分析中给出。 V3=V,+V2,对其求导，得到 然后，考虑航向角和角速度跟踪控制，取滑模面 V3=V1+V2≤
考虑到系统建模不准确，可能引起控制器性能 极度下降，定义系统不确定项 ｆ １ 为 ｆ １ ＝ （ｍ１１ － ｍ ＾ １１ ）（ｕ · ｃ － ｕ ¨ ｅ λ１ － λ２ λ１ ｕｅ） － （ｍ２２ － ｍ ＾ ２２ ）ｖｒ ＋ （ｄ１１ － ｄ ＾ １１ ）ｕ （１３） 控制器 τｕ 设计为 τｕ ＝ ｍ ＾ １１（ｕ ̇ ｃ － ｕ ¨ ｅ λ１ － λ２ λ１ ｕｅ） － ｍ ＾ ２２ ｖｒ ＋ ｄ ＾ １１ ｕ ＋ ｆ ＾ １ － ｋ１ Ｓ１ － Ｂ１ （１４） 式中：考虑到计算 ｕ ¨ ｅ 的复杂性，采用反馈控制量 ｕ ¨ ｅ ＝ － ｋｕ ｕ ̇ ｅ 。 ｆ ＾ １ 为不确定项 ｆ １ 的估计值， ｋ１ 为正常 数， Ｂｉ（ｉ ＝ １，２） 为鲁棒项，定义为 Ｂｉ ＝ δ ＾ ｉ Ｓｉ Ｓｉ ， Ｓｉ ≠ ０ ０， Ｓｉ ＝ ０ ì î í ï ï ïï （１５） 式中： δ ＾ １ 为有界扰动 δ１ 的估计值，即 ｜ τｄ１ ｜ ≤ δ１ 。 设 计的控制器自适应律为 ｆ ＾ · １ ＝ － Γｆ１ Ｓ１ － σｆ１ Γｆ１ ｆ ＾ １ δ ＾ · １ ＝ Γδ１ ｜ Ｓ１ ｜ － σδ１ Γδ１ δ ＾ １ （１６） 式中： Γｆ１ 、 Γδ１ 为待设计正常数。 σｆ ｉ 、 σδｉ （ｉ ＝ １，２） 为控制器切换参数： σｆ ｉ ＝ ０， ｜ ｆ ｉ ｜ ≤ Ｎｆ０ σｆ０ （ ｆ ｉ Ｎｆ０ － １）， Ｎｆ０ ≤｜ ｆ ｉ ｜ ≤ ２Ｎｆ０ σｆ０ ， ｜ ｆ ｉ ｜ ≥ ２Ｎｆ０ ì î í ï ï ï ï ï ï σδｉ ＝ ０， ｜ δｉ ｜ ≤ Ｎδ０ σδ０ （ δｉ Ｎδ０ － １）， Ｎδ０ ≤｜ δｉ ｜ ≤ ２Ｎδ０ σδ０ ， ｜ δｉ ｜ ≥ ２Ｎδ０ ì î í ï ï ï ï ï ï （１７） 式中： Ｎβ０ 、 Ｎδ０ 、 σβ０ 和 σδ０ 均为正常数。 下面验证 控制器 τｕ 能够实现纵向速度控制。 选取 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数为 Ｖ１ ＝ １ ２λ１ ｍ１１ Ｓ ２ １ ＋ １ ２ Γ －１ ｆ１ ｆ ～ １ ２ ＋ １ ２ Γ －１ δ１ δ ～ １ ２ （１８） 式中： ｆ ～ １ ＝ ｆ １ － ｆ ＾ １ ， δ ～ １ ＝ δ１ － δ ＾ １ 。 对式（８）求导得到： Ｖ · １ ≤－ ｋ１ Ｓ ２ １ ＋ σｆ１ ｆ ～ １ ｆ ＾ １ ＋ σδ１ δ ～ １ δ ＾ １ （１９） 因此，纵向速度跟踪误差和自适应估计误差将渐近 收敛到原点附近的一个小的邻域内。 具体理论分析 证明将在下面的稳定性分析中给出。 然后，考虑航向角和角速度跟踪控制，取滑模面 Ｓ２ 为 Ｓ２ ＝ ｒｅ ＋ ｅψ ＋ λ３ ∫（ｒｅ ＋ ｅψ） （２０） 式中： ｒｅ ＝ ｒ － ｒｄ ， ｅψ ＝ ψ － ψｃ ＝ ψｅ － ψｅｃ ， λ３ 为正常 数。 同样，对式（２０）求导，得到 Ｓ · ２ ＝ １ ｍ３３ ［（ｍ１１ － ｍ２２ ）ｕｖ － ｄ３３ ｒ ＋ τｄ３ ＋ τｒ － ｍ３３ ｒ · ｄ ］ ＋ ｅ · ψ ＋ λ３（ｒｅ ＋ ｅψ） （２１） 定义系统不确定项 ｆ ２ 为 ｆ ２ ＝ （ｍ３３ － ｍ ＾ ３３ ）（ｒ · ｄ － ｅ · ψ － λ３（ｒｅ ＋ ｅψ）） － （ｍ１１ － ｍ２２ － ｍ ＾ １１ ＋ ｍ ＾ ２２ ）ｕｖ ＋ （ｄ３３ － ｄ ＾ ３３ ）ｒ （２２） 控制器 τｒ 设计为 τｒ ＝ ｍ ＾ ３３ ［ｒ · ｄ － ｅ · ψ － λ３（ｒｅ ＋ ｅψ）］ － （ｍ ＾ １１ － ｍ ＾ ２２ ）ｕｖ ＋ ｄ ＾ ３３ ｒ ＋ ｆ ＾ ２ － ｋ２ Ｓ２ － Ｂ２ （２３） 式中： ｆ ＾ ２ 为不确定项 ｆ ２ 的估计值， ｋ２ 为待设计的正常 数， Ｂ２ 为鲁棒项，定义如式（１５）。 δ ＾ ２ 为有界扰动 δ２ 的 估计值，即 ｜ τｄ３ ｜ ≤ δ２ 。 设计控制器自适应律为 ｆ ＾ · ２ ＝ － Γｆ２ Ｓ２ － σｆ２ Γｆ２ ｆ ＾ ２ δ ＾ · ２ ＝ Γδ２ ｜ Ｓ２ ｜ － σδ２ Γδ２ δ ＾ ２ （２４） 式中： Γｆ２ 和 Γδ２ 为待设计的正常数，控制器切换参数 如式（１７）中定义。 下面进一步验证控制器 τｒ 能够实 现航向角及角速度跟踪控制，选取 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数为 Ｖ２ ＝ １ ２ ｍ３３ Ｓ ２ ２ ＋ １ ２ Γ －１ ｆ２ ｆ ～ ２ ２ ＋ １ ２ Γ －１ δ２ δ ～ ２ ２ （２５） 式中： ｆ ～ ２ ＝ ｆ ２ － ｆ ＾ ２ ， δ ～ ２ ＝ δ２ － δ ＾ ２ 。 对式（２５）求导，得到 Ｖ · ２ ≤－ ｋ２ Ｓ ２ ２ ＋ σｆ２ ｆ ～ ２ ｆ ＾ ２ ＋ σδ２ δ ～ ２ δ ＾ ２ （２６） 因此，航向角和角速度跟踪误差都将收敛到原 点附近的一个小的邻域。 ３ 稳定性分析 定理 １ 对给定 ＡＵＶ 参考轨迹如式（３），满足 假设条件 １ 和 ２， 虚拟控制量如式（１１），控制器设 计如式（１４）和（２３），自适应律为（１６）和（２４），以及 鲁棒控制采用式（１５）和（１７），通过合理的选择控制 器参数 ｋｐ 、 ｋ － ｐ 、 ｋ１ 、 ｋ２ 、 ｋｕ 、 Γｆ１ 、 Γｆ２ 、 Γδ１ 、 Γδ２ 、 σｆ１ 、σｆ２ 、 σδ１ 和 σδ２ 、实现欠驱动 ＡＵＶ 轨迹跟踪误差 的全局一致最终有界，且满足控制输入及速度约束 条件。 证明 首先，给出速度跟踪误差的收敛性证 明。 根据上述控制器设计分析，构造 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数 Ｖ３ ＝ Ｖ１ ＋ Ｖ２ ，对其求导，得到 Ｖ · ３ ＝ Ｖ · １ ＋ Ｖ · ２ ≤ 第 ２ 期 马利民：欠驱动 ＡＵＶ 全局无抖振滑模轨迹跟踪控制 ·２０３·
·204. 智能系统学报 第11卷 -kS-kS号+∑(of+oδ6，)(27) 2)速度r的有界性：根据控制器设计，角速度r i=1,2 在控制器T,下可实现速度跟踪，即r=T,而参考轨 利用表达式 迹是有界的，所以角速度r有界。 0f=0∫f-f)≤ 3)速度：的有界性：根据AUV动力学模型(2)， -0:+0( 速度u、r和扰动项T2均有界，所以速度v有界。 4)横向速度跟踪误差，的收敛性：定义横向速 1 2产：+22 度误差U。=v-U。。根据虚拟控制量航向角中.=0- p,或中e=T+0-p可知： o666=o68(δ-6：)≤ Yu-Xv tan中oe= (33) -0682,+06( Xu Yu 进一步整理，得 1 1 -208+200 (28) v=t。+Tu (34) 根据式(17)，可知 式中：T=cos.F-sin 所以要保证横向速 0f2≤40%N。+o cos中.下+sin中了 (29) 0682≤4o6N,+046 度误差v.收敛，主要验证T,是否有界。而根据非线 结合式(28)和(29)，对式(27)整理得到 性理论，T的有界性可根据两点保证：1)Tu。有 ,≤-k-4-u产，+）+ 界；2)当4.=0时，T4.=0。第一点可由和.有 界，根据式(34)保证Tu。有界：针对第二点，已知 三(0+a)+如a%+如M 4。=0和ew=0,则式(8)等于零，即横向速度v=。, 再结合式(34)可知，T.u=0。综上所述，T.有界， -uV C 。=Tu。保证了横向速度误差的收敛性。 u=min2kA,2kAo(T万'n( 最后，验证位置跟踪误差的收敛性。针对外环 控制系统，我们假设速度控制环已完成很好跟踪效 G=如N+如N+￡.o+“8 果，即u=山。，0=.和r=4,且e=0,即.=中e。 根据位置误差定义 (30) 对式(30)进一步整理得到 x。=x-xa= 0≤'，(t)≤V,(0)e"+C/u (31) ucos中-vsin中-uacosψ.+vasin中u= 因此，系统的速度跟踪误差、航向角跟踪误差以 (cosψ.X+sinψ.Y)cosh-（-sinb.X+ 及自适应估计误差均收敛到原点附近的一个小的邻 域内，且收敛半径可通过适当增大式(30)中的增益 cos中.Y)siny-uacosψa+vasinψa= 值u来减小。 -k,tanh(k) 接下来，进一步验证速度跟踪控制量的有界性 及横向速度v跟踪误差的收敛性。 y。=y-ya= 1)速度u的有界性：根据上述分析，速度”在控 usinψ+vcos中-uasin中a-Vacos中a= 制器r。下可实现速度跟踪，即u=u。,所以虚拟速度 (cos业.X+sin.Y)sin业+(-sinψ.X+ 控制量u.有界，即可保证速度u的有界性。根据式 cosψY)cosψ-4 asin a-ucos中a= (11)得到， -kptanh(kpy.) |u.|=cosψ.X+sin中Y|≤ 所以，位置跟踪控制误差x。和y。均收敛到零。 1ua4I+lvaI+√2k。 (32) 根据假设L,1山.|≤u,所以控制参数k,应满 而航向跟踪误差山。=。，根据滑模面S,的设计，可 足0<长，≤太-一-，保证了虔拟 以保证收敛到零，同时也=山。一e。也收敛到零。再 √2 结合式(11)，可知虚拟速度量u.和v,分别收敛到u。 速度控制量“。的有界性，同时也验证了假设条件2。 和4。综上所述，本文给出了完整且严谨的轨迹跟
－ ｋ１ Ｓ ２ １ － ｋ２ Ｓ ２ ２ ＋ ｉ∑＝ １，２ （σｆ ｉ ｆ ～ ｉ ｆ ＾ ｉ ＋ σδｉ δ ～ ｉ δ ＾ ｉ） （２７） 利用表达式 σｆ ｉ ｆ ｉ ｆ ＾ ｉ ＝ σｆ ｉ ｆ ～ ｉ（ｆ ｉ － ｆ ～ ｉ） ≤ － σｆ ｉ ｆ ～ ２ ｉ ＋ σｆ ｉ （ ｆ ～ ２ ｉ ＋ ｆ ｉ ２ ２ ） ≤ － １ ２ σｆ ｉ ｆ ～ ２ ｉ ＋ １ ２ σｆ ｉ ｆ ｉ ２ σδｉ δｉ Ｔ δ ＾ ｉ ＝ σδｉ δ ～ Ｔ ｉ（δｉ － δ ～ ｉ） ≤ － σδｉ δ ～ ２ ｉ ＋ σδｉ （ δ ～ ２ ｉ ＋ δｉ ２ ２ ） ≤ － １ ２ σδｉ δ ～ ２ ｉ ＋ １ ２ σδｉ δｉ ２ （２８） 根据式（１７），可知 σｆ ｉ ｆ ｉ ２ ≤ ４σｆ０ Ｎｆ０ ＋ σｆ０ ｆ ｉ ２ σδｉ δｉ ２ ≤ ４σδ０ Ｎδ０ ＋ σδ０ δｉ ２ （２９） 结合式（２８）和（２９），对式（２７）整理得到 Ｖ · ３ ≤－ ｋ１ Ｓ ２ １ － ｋ２ Ｓ ２ ２ － １ ２ ｉ∑＝ １，２ （σｆ ｉ ｆ ～ ２ ｉ ＋ σδｉ δ ～ ２ ｉ） ＋ ｉ∑＝ １，２ （σｆ０ ｆ ｉ ２ ＋ σδ０ δｉ ２ ） ＋ ４σβ０ Ｎｆ０ ＋ ４σδ０ Ｎδ０ ≤ － μＶ３ ＋ Ｃ μ ＝ ｍｉｎ｛２ｋ１λ１ ，２ｋ２ ， σｆ ｉ λｍａｘ（Γ －１ ｆ ｉ ） ， σδｉ λｍａｘ（Γ －１ δ ｉ ） ｝ Ｃ ＝ ４σｆ０ Ｎｆ０ ＋ ４σδ０ Ｎδ０ ＋ ｉ∑＝ １，２ （σｆ０ ｆ ｉ ２ ＋ σδ０ δｉ ２ ） （３０） 对式（３０）进一步整理得到 ０ ≤ Ｖ３（ｔ） ≤ Ｖ３（０）ｅ －μｔ ＋ Ｃ ／ μ （３１） 因此，系统的速度跟踪误差、航向角跟踪误差以 及自适应估计误差均收敛到原点附近的一个小的邻 域内，且收敛半径可通过适当增大式（３０）中的增益 值 μ 来减小。 接下来，进一步验证速度跟踪控制量的有界性 及横向速度 ｖ 跟踪误差的收敛性。 １）速度 ｕ 的有界性：根据上述分析，速度 ｕ 在控 制器 τｕ 下可实现速度跟踪，即 ｕ ＝ ｕｃ ，所以虚拟速度 控制量 ｕｃ 有界，即可保证速度 ｕ 的有界性。 根据式 （１１）得到， ｜ ｕｃ ｜ ＝｜ ｃｏｓ ψｅｃＸ － ＋ ｓｉｎ ψｅｃＹ － ｜ ≤ ｜ ｕｄ ｜ ＋｜ ｖｄ ｜ ＋ ２ ｋｐ （３２） 根据假设 １， ｜ ｕｃ ｜ ≤ ｕｍａｘ ，所以控制参数 ｋｐ 应满 足 ０ ＜ ｋｐ ≤ ｋｐｍａｘ ＝ ｕｍａｘ －｜ ｕｄ ｜ －｜ ｖｄ ｜ ２ ，保证了虚拟 速度控制量 ｕｃ 的有界性，同时也验证了假设条件 ２。 ２）速度 ｒ 的有界性：根据控制器设计，角速度 ｒ 在控制器 τｒ 下可实现速度跟踪，即 ｒ ＝ ｒｄ ，而参考轨 迹是有界的，所以角速度 ｒ 有界。 ３）速度 ｖ 的有界性：根据 ＡＵＶ 动力学模型（２）， 速度 ｕ 、 ｒ 和扰动项 τｄ２ 均有界，所以速度 ｖ 有界。 ４）横向速度跟踪误差 ｖｅ 的收敛性：定义横向速 度误差 ｖｅ ＝ ｖ － ｖｃ 。 根据虚拟控制量航向角 ψｅｃ ＝ θ － φ ，或 ψｅｃ ＝ π ＋ θ － φ 可知： ｔａｎ ψｅｃ ＝ Ｙ － ｕ － Ｘ － ｖ Ｘ － ｕ ＋ Ｙ － ｖ （３３） 进一步整理，得 ｖ ＝ ｖｃ ＋ Τｕ ｕｅ （３４） 式中： Τｕ ＝ ｃｏｓ ψｅｃＹ － － ｓｉｎ ψｅｃＸ － ｃｏｓ ψｅｃＸ － ＋ ｓｉｎ ψｅｃＹ － 。 所以要保证横向速 度误差 ｖｅ 收敛，主要验证 Τｕ 是否有界。 而根据非线 性理论， Τｕ 的有界性可根据两点保证：１） Τｕ ｕｅ 有 界；２）当 ｕｅ ＝ ０ 时， Τｕ ｕｅ ＝ ０。 第一点可由 ｖ 和 ｖｃ 有 界，根据式（３４） 保证 Τｕ ｕｅ 有界；针对第二点，已知 ｕｅ ＝０ 和 ｅψ ＝ ０，则式（８）等于零，即横向速度 ｖ ＝ ｖｃ ， 再结合式（３４）可知， Τｕ ｕｅ ＝ ０。 综上所述， Τｕ 有界， ｖｅ ＝Τｕ ｕｅ 保证了横向速度误差的收敛性。 最后，验证位置跟踪误差的收敛性。 针对外环 控制系统，我们假设速度控制环已完成很好跟踪效 果，即 ｕ ＝ ｕｃ ， ｖ ＝ ｖｃ 和 ｒ ＝ ｒｄ ，且 ｅψ ＝ ０，即 ψｅ ＝ ψｅｃ 。 根据位置误差定义 ｘ · ｅ ＝ ｘ · － ｘ · ｄ ＝ ｕｃｏｓ ψ － ｖｓｉｎ ψ － ｕｄ ｃｏｓ ψｄ ＋ ｖｄ ｓｉｎ ψｄ ＝ （ｃｏｓ ψｅＸ － ＋ ｓｉｎ ψｅＹ － ）ｃｏｓ ψ － （ － ｓｉｎ ψｅＸ － ＋ ｃｏｓ ψｅＹ － ）ｓｉｎ ψ － ｕｄ ｃｏｓ ψｄ ＋ ｖｄ ｓｉｎ ψｄ ＝ － ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｘｅ） ｙｅ ＝ ｙ · － ｙ · ｄ ＝ ｕｓｉｎ ψ ＋ ｖｃｏｓ ψ － ｕｄ ｓｉｎ ψｄ － ｖｄ ｃｏｓ ψｄ ＝ （ｃｏｓ ψｅＸ － ＋ ｓｉｎ ψｅＹ － ）ｓｉｎ ψ ＋ （ － ｓｉｎ ψｅＸ － ＋ ｃｏｓ ψｅＹ － ）ｃｏｓ ψ － ｕｄ ｓｉｎ ψｄ － ｖｄ ｃｏｓ ψｄ ＝ － ｋｐ ｔａｎｈ（ｋ － ｐ ｙｅ） 所以，位置跟踪控制误差 ｘｅ 和 ｙｅ 均收敛到零。 而航向跟踪误差 ψｅ ＝ ∫ｒｅ ，根据滑模面 Ｓ２ 的设计，可 以保证收敛到零，同时 ψｅｃ ＝ ψｅ － ｅψ 也收敛到零。 再 结合式（１１），可知虚拟速度量 ｕｃ 和 ｖｃ 分别收敛到 ｕｄ 和 ｖｄ 。 综上所述，本文给出了完整且严谨的轨迹跟 ·２０４· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷