专题05万有引力与航天 【2018年高考考点定位】 高考试题的考察集中于以下几点: 1.物理学史中关于对天体运动认识的考察,对于开普勒三大定律的考察。 2.结合万有引力定律的公式对中心天体和环绕天体之间由于万有引力而做匀速圆周运动的考察 3.绕同一个中心天体的各个环绕天体之间追击相遇问题的考察。 4.根据表面卫星的运动对未知天体的探究,包括未知天体的密度,未知天体表面的重力加速度等。 5.根据地球公转和自转周期与其他星体的运动相类比的估算类问题。 【考点pk】名师考点透析 考点一、开普勒三大定律 1.内容:①开普勒第一定律:所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。②开 普勒第二定律:对任意一个行星的运动来说,它与太阳的连线在任意相等时间内扫过的面积相等。③所 有行星轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值都相等,即R3 k,的取值与中心天体有关,与其 他无关 2.虽然开普勒第二定律是关于行星绕太阳运动的描述,但是对于只收到万有引力的卫星,导弹在地球表 面的运动也同样适用,另外所有的卫星绕中心天体的圆周运动也都适用,因为圆周就是一个特殊的半长 轴等于半短轴的椭圆。 3.物理学史:d关于行星运动的三大定律是开普勒提出的万有引力定律是牛顿提出的色万有引力常量 是卡文迪许测量的 考点二、万有引力定律 1.内容:自然界中任意两个物体都相互吸引,引力大小跟这两个物体质量的乘积成正比,跟他们距离的 平方成反比。公式即.GMm,G为引力常量。适用范围:适用于质点之间的相互作用,对于天体 运动一般可以看做质点,此时距离为球心之间的距离。 2.万有引力提供向心力:卫星和环绕天体的运动分析中,以M表示中心天体质量,以m表示环绕天体 质量,以R表示天体之间的距离,则根据万有引力提供向心力有 GMm =md= m mRo=mR R 可得环绕天体或卫星的相信加速度a=R,线速度r=,/GM GM 周期T= 4x,角速 度 GM
【2018 年高考考点定位】 高考试题的考察集中于以下几点： 1．物理学史中关于对天体运动认识的考察，对于开普勒三大定律的考察。 2．结合万有引力定律的公式对中心天体和环绕天体之间由于万有引力而做匀速圆周运动的考察。 3．绕同一个中心天体的各个环绕天体之间追击相遇问题的考察。 4．根据表面卫星的运动对未知天体的探究，包括未知天体的密度，未知天体表面的重力加速度等。 5．根据地球公转和自转周期与其他星体的运动相类比的估算类问题。 【考点 pk】名师考点透析 考点一、开普勒三大定律 1．内容：○1 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。○2 开 普勒第二定律：对任意一个行星的运动来说，它与太阳的连线在任意相等时间内扫过的面积相等。○3 所 有行星轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值都相等，即 3 2 R k T = ，的取值与中心天体有关，与其 他无关。 2．虽然开普勒第二定律是关于行星绕太阳运动的描述，但是对于只收到万有引力的卫星，导弹在地球表 面的运动也同样适用，另外所有的卫星绕中心天体的圆周运动也都适用，因为圆周就是一个特殊的半长 轴等于半短轴的椭圆。 3．物理学史：○1 关于行星运动的三大定律是开普勒提出的○2 万有引力定律是牛顿提出的○3 万有引力常量 是卡文迪许测量的。 考点二、万有引力定律 1．内容：自然界中任意两个物体都相互吸引，引力大小跟这两个物体质量的乘积成正比，跟他们距离的 平方成反比。公式即： 2 GMm F R = ，G 为引力常量。适用范围：适用于质点之间的相互作用，对于天体 运动一般可以看做质点，此时距离为球心之间的距离。 2．万有引力提供向心力：卫星和环绕天体的运动分析中，以 M 表示中心天体质量，以 m 表示环绕天体 质量，以 R 表示天体之间的距离，则根据万有引力提供向心力有 2 2 2 2 2 GMm v 4 ma m mR mR R R T = = = = ， 可得环绕天体或卫星的相信加速度 2 GM a R = ，线速度 GM v R = ，周期 2 3 4 R T GM = ，角速度 3 GM R =
GMm 3.万有引力和重力:一般认为万有引力等于重力即mR2,重力加速度g=n2。在地球表面一 R GMm 般近似认为mg= 若考虑地球自转,则万有引力的一个分力提重力,另外一个分力提供圆周运动 GMm 的向心力。在赤道地区,由于两个分力方向一致,所以有 R2mg+mR,其中周期T为地球自 转周期。 考点三、卫星运动 R2=m,若卫星加速,则使得R下2 GMm GMm 1.卫星追击相遇:①卫星匀速圆周运动 ,卫星做离 心运动,轨道半径变大,万有引力做负功,到达更高的轨道做匀速圆周运动,此时轨道半径变大,线速 GM GM 变小。同理,减速则卫星向心运动,轨道半径变小,线速度 变大。两个不同轨 R 道但绕同一个中心天体的卫星设角速度分别为O1和O2,则有从某一次相遇到下一次相遇的过程,两个卫 星转过的圆心角相差2z即(a-2)M=2 2.若卫星沿星球表面做匀速圆周运动周期为T,则有轨道半径等于球体半径,则有 2R3 l GT VGM ,整理即P=3兀 3.三大宇宙速度:Φ第一宇宙速度是卫星脱离地球表面的最小发射速度,即环绕地球表面做匀速圆周运 GM 动的线速度v= 7.9km/s,同时也是最大的环绕速度。②卫星挣脱地球引力转而绕太阳运动的 R 最小发射速度大小为v=112m/s。@卫星挣脱太阳引力离开太阳系的最小发射速度大小为 v=16.7km/s 4.双星以及多星问题的核心是某一个行星受到其他星体万有引力的合力提供向心力,圆心即在合力的方 向上,而且各个星体圆运动的角速度都相等。周期相等。 【试题演练】 1.北京时间2012年10月,我国第16颗北斗导航卫星发射成功,它是一颗地球静止轨道 卫星(即地球同步卫星),现已与先期发射的15颗北斗导航卫星组网运行并形成区域服务能力。在这16 颗北斗导航卫星中,有多颗地球静止轨道卫星,下列关于地球静止轨道卫星的说法中正确的是: A.它们的运行速度都小于7.9km/s B.它们运行周期的大小可能不同 C.它们离地心的距离可能不同
3．万有引力和重力：一般认为万有引力等于重力即 2 GMm mg R = ，重力加速度 2 GM g R = 。在地球表面一 般近似认为 2 GMm mg R = ，若考虑地球自转，则万有引力的一个分力提重力，另外一个分力提供圆周运动 的向心力。在赤道地区，由于两个分力方向一致，所以有 2 2 2 GMm 4 mg mR R T = + ，其中周期 T 为地球自 转周期。 考点三、卫星运动 1．卫星追击相遇：○1 卫星匀速圆周运动 2 2 GMm v m R R = ，若卫星加速，则使得 2 2 GMm v m R R ，卫星做离 心运动，轨道半径变大，万有引力做负功，到达更高的轨道做匀速圆周运动，此时轨道半径变大，线速 度 GM v R = 变小。同理，减速则卫星向心运动，轨道半径变小，线速度 GM v R = 变大。○2 两个不同轨 道但绕同一个中心天体的卫星设角速度分别为 1 和 2 ，则有从某一次相遇到下一次相遇的过程，两个卫 星转过的圆心角相差 2 即 1 2 ( ) 2 − =t 。 2．若卫星沿星球表面做匀速圆周运动周期为 T ，则有轨道半径等于球体半径，则有 2 3 2 3 2 3 3 4 4 4 3 4 3 R R R T GM G v G R G = = = = ，整理即 2 3 GT = 。 3．三大宇宙速度：○1 第一宇宙速度是卫星脱离地球表面的最小发射速度，即环绕地球表面做匀速圆周运 动的线速度 7.9 / GM v km s R = = ，同时也是最大的环绕速度。○2 卫星挣脱地球引力转而绕太阳运动的 最小发射速度大小为 v km s =11.2 / 。○3 卫星挣脱太阳引力离开太阳系的最小发射速度大小为 v km s =16.7 / 。 4．双星以及多星问题的核心是某一个行星受到其他星体万有引力的合力提供向心力，圆心即在合力的方 向上，而且各个星体圆运动的角速度都相等。周期相等。 【试题演练】 1．北京时间2012年10月，我国第16颗北斗导航卫星发射成功，它是一颗地球静止轨道 卫星（即地球同步卫星），现已与先期发射的15颗北斗导航卫星组网运行并形成区域服务能力。在这16 颗北斗导航卫星中，有多颗地球静止轨道卫星,下列关于地球静止轨道卫星的说法中正确的是： （ ） A．它们的运行速度都小于 7.9km/s B．它们运行周期的大小可能不同 C．它们离地心的距离可能不同
D.它们的向心加速度小于静止在赤道上物体的向心加速度 【答案】A 【解析】 根据万有引力提供向心力Qtm_m2 M ,因为第一宇宙速度的轨道半径等于地球的半径,所 以卫星的速度小于第一宇宙速度.即它们的运行速度都小于7skns.故A正确;地球静止轨道卫星的周期 等于地球的自转周期,为1天,故B错误;地球同步卫星,距离地球的高度约为36000Ⅻm,高度一定,相 对地面静止,故C错误;根据向心加速度a ,地球静止轨道卫星与静止在赤道上物体具有相同的周 期,所以它们的向心加速度大于静止在赤道上物体的冋心加速度,故D错误;故选A。 名师点睛】解决本题的关键知道同步卫星的特点以及掌握万有引力提供向心力这一理论:地球的静止 轨道卫星处于赤道的上方,周期等于地球自转的周期,根据万有引力提供向心力得出线速度、加速度与 轨道半径的关系,从而比较出线速度与第一宇宙速度的大小,向心加速度与重力加速度的大小 2.【安徽省六安市第一中学2016届高三第九次月考理科综合试题】由中国航天科技集团公司五院自主 研制的电推进系中2015年1月2日取得重要成果;电推进系统在试验中已突破6000小时,开关机3000 次,具备确保该卫星在轨可靠运行15年的能力,如图所示为应用该系统的三颗卫星a、b、c绕地球做匀 速圆周运动的示意图,其中b、c都在半径为r的轨道上,a是地球同步卫星,此时a、b恰好相距最近 已知地球质量为M,半径为R,地球自转的角速度为,万有引力常量为G,则 、卫星b的周期小于24小时 B、卫星b和c的机械能相等 C、到卫星a和b下一次相距最近,还需经过时间t D、卫星a的动能较大 【答案】C
D．它们的向心加速度小于静止在赤道上物体的向心加速度 【答案】A 【名师点睛】解决本题的关键知道同步卫星的特点以及掌握万有引力提供向心力这一理论；地球的静止 轨道卫星处于赤道的上方，周期等于地球自转的周期，根据万有引力提供向心力得出线速度、加速度与 轨道半径的关系，从而比较出线速度与第一宇宙速度的大小，向心加速度与重力加速度的大小。 2． 【安徽省六安市第一中学 2016 届高三第九次月考理科综合试题】由中国航天科技集团公司五院自主 研制的电推进系中 2015 年 1 月 2 日取得重要成果；电推进系统在试验中已突破 6000 小时，开关机 3000 次，具备确保该卫星在轨可靠运行 15 年的能力，如图所示为应用该系统的三颗卫星 a、b、c 绕地球做匀 速圆周运动的示意图，其中 b、c 都在半径为 r 的轨道上，a 是地球同步卫星，此时 a、b 恰好相距最近， 已知地球质量为 M，半径为 R，地球自转的角速度为 ω ，万有引力常量为 G，则： （ ） A、卫星 b 的周期小于 24 小时 B、卫星 b 和 c 的机械能相等 C、到卫星 a 和 b 下一次相距最近，还需经过时间 3 2 = - π t GM ω r D、卫星 a 的动能较大 【答案】C
【解析】 Mm 4x2 根据公式G mmr可得T GM 半径越大,周期越大,所以b的周期大于a的运动周期 即卫星b的周期大于舞4小时,A错误,由于b的质量关系未知,所以两者的机械能不一定相等,B错误 b、c在地球的同步孰道上,所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度.由万有引力提供向心力,即 xr=m,吗-7,根据(a-4)=2,解得! 故C正确;根据 Mm 可得v=oM 即a的速度最大,但是不知道a的质量,所以a的动能不一定最大,D错误; 【名师点睛】在万有引力这一块,涉及的公式和物理量非常多,掌握公式 Mm y2 n=mo?r 2 m在做题的时候,首先明确过程中的向心力,然后弄清楚各个物理 量表示的含义,最后选择合适的公式分析解题,另外这一块的计算量一是非常大的,所以需要细心计算 3.(多选)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统,质量比约为7:1,同时绕它们连线上某点 0做匀速圆周运动,由此可知,冥王星绕0点运动的: A.轨道半径约为卡戎的1 B.角速度大小约为卡戎的1 C.线速度大小约为卡戎的1倍 D.向心力大小约为卡戎的7倍 【答案】AC 【解析】 冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统.所以冥王星和卡戎周是相等的,角速度也是相等的。 它们之间的万有引力提供各自的向心力得:ma3r=Ma2R,质量比约为7:1,所以冥王星绕0点运动 的轨道半径约为卡戎的,故Δ正确;冥王星和卡戎周期是相等的,角速度也是相等的,故B错误;根据 线速度ν=x得冥王星线速度大小约为卡戎的,故C正确;它们之间的万有引力提供各自的向心力,冥 王星和卡戎向心力大小相等,故D错误。本题选AC。 【名师点睛】本题考察双星问题,冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统.所以冥王星和卡戎 周期是相等的,角速度也是相等的。这是解决问题的关键,再根据万有引力提供向心力,结合圆周运动 的知识,即可求解本题。 【三年高考】15、16、17年高考真题及其解析
【名师点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式 2 2 2 2 2 Mm v r 4 G m m r m ma r r T = = = = 在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理 量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算 3．（多选）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 7∶1，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕 O 点运动的： （ ） A．轨道半径约为卡戎的 1 7 B．角速度大小约为卡戎的 1 7 C．线速度大小约为卡戎的 1 7 倍 D．向心力大小约为卡戎的 7 倍 【答案】AC 【名师点睛】本题考察双星问题，冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统．所以冥王星和卡戎 周期是相等的，角速度也是相等的。这是解决问题的关键，再根据万有引力提供向心力，结合圆周运动 的知识，即可求解本题。 【三年高考】 15、16、17 年高考真题及其解析
★ z07年高考真题 ★ 1.【2017·北京卷】利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是 A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 【答案】D 【解析】在地球表面附近,在不考虑地球自转的情况下,物体所受重力等于地球对物体的万有引力,有 Gmm P2ˉ8,可得M=S,A能求出地球质量。根据万有引力提供卫星、月球、地球做圆周运动的 向心力,由GMm_my GMm T=2πR,解得M= 由 R- R 2IG ,解得M=4 GT2 GMM,,2π =M(),会消去两边的故BC能求出地球质量,D不能求出 【名师点睛】利用万有引力定律求天体质量时,只能求“中心天体”的质量,无法求“环绕天体”的质 量 2.【2017·江苏卷】(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发 射升空,与“天宫二号”空间实验室对接前,“天舟一号”在距离地面约380km的圆轨道上飞行,则其: (A)角速度小于地球自转角速度 (B)线速度小于第一宇宙速度 (C)周期小于地球自转周期 (D)向心加速度小于地面的重力加速度 【答案】BCD 【解析】根据Gx2=ma2=ma知,“天舟一号的角速度大于同步卫星的角速度,而同步卫星的角速度等 于地球自转的角速度,所以“天舟一号的角速度大于地球自转角的速度,周期小于地球自转的周期,故A 错误;￠正确;第一宇宙速度为最大的环绕速度,所以夭舟一号ˆ的线速度小于第一宇宙速度,B正确;地 面重力加速度为g GM 故天舟一号”的向心加速度a小于地面的重力加速度g,故D正确 【名师点睛】卫星绕地球做圆周运动,考査万有引力提供向心力.与地球自转角速度、周期的比较,要 借助同步卫星,天舟一号与同步卫星有相同的规律,而同步卫星与地球自转的角速度相同 3.【2017·新课标Ⅲ卷】2017年4月,我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了
1．【2017·北京卷】利用引力常量 G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是： （ ） A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转） B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 【答案】D 【解析】在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体的万有引力，有 2 GMm mg R = ，可得 2 gR M G = ，A 能求出地球质量。根据万有引力提供卫星、月球、地球做圆周运动的 向心力，由 2 2 GMm mv R R = ， vT R = 2π ，解得 3 2π v T M G = ；由 2 2 2π ( ) GMm m r r T = 月 月 月 ，解得 2 3 2 4π r M GT = 月 ； 由 2 2 2π ( ) GM M M r r T = 日 日 日 日 ，会消去两边的 M；故 BC 能求出地球质量，D 不能求出。 【名师点睛】利用万有引力定律求天体质量时，只能求“中心天体”的质量，无法求“环绕天体”的质 量。 2． 【2017·江苏卷】（多选）“天舟一号”货运飞船于 2017 年 4 月 20 日在文昌航天发射中心成功发 射升空，与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距离地面约 380 km 的圆轨道上飞行，则其： （ ） （A）角速度小于地球自转角速度 （B）线速度小于第一宇宙速度 （C）周期小于地球自转周期 （D）向心加速度小于地面的重力加速度 【答案】BCD 【名师点睛】卫星绕地球做圆周运动，考查万有引力提供向心力．与地球自转角速度、周期的比较，要 借助同步卫星，天舟一号与同步卫星有相同的规律，而同步卫星与地球自转的角速度相同． 3．【2017·新课标Ⅲ卷】2017 年 4 月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了