4万有引力理论的成就 [学习目标]1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路, 会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法 自主预习 预习新知夯实基础 计算天体的质量 1.称量地球的质量 (1)思路:地球表面的物体,若不考虑地球自转,物体的重力等于地球对物体的万有引力 (2)关系式:mg= (3)结果:M gR G,只要知道g、R.G的值,就可计算出地球的质量 2.太阳质量的计算 (1)思路:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力充当向心力 GMm4π2 (2)关系式:x=mE (3)结论:M6只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量. (4)推广:若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r,可计算行星的质量M 二、发现未知天体 1.海王星的发现:英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料,利用万有引力 定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星 海王星 2.其他天体的发现:近100年来,人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体 即学即用 1.判断下列说法的正误. (1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(×) (2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径,则可以求出太阳的质量.(×) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径,可以求出地球的质量.(×) (4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.(√) (5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.(×) (6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(√) 2已知引力常量G=6.67×10N·m2/kg2,重力加速度s=9.8m/s32,地球半径R=6.4×10m,则可知地球的质量 约为() ※推荐※下载※
※ 精 品 试 卷 ※ ※ 推 荐 ※ 下 载 ※ 4 万有引力理论的成就 [学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路， 会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法. 一、计算天体的质量 1.称量地球的质量 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力. (2)关系式：mg＝G Mm R 2 . (3)结果：M＝ gR 2 G ，只要知道 g、R、G 的值，就可计算出地球的质量. 2.太阳质量的计算 (1)思路：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力. (2)关系式：GMm r 2 ＝m 4π2 T 2 r. (3)结论：M＝ 4π2 r 3 GT 2 ，只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径 r 就可以计算出太阳的质量. (4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之间的距离 r，可计算行星的质量 M. 二、发现未知天体 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力 定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846 年 9 月 23 日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星 ——海王星. 2.其他天体的发现：近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体. 1.判断下列说法的正误. (1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.( × ) (2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量.( × ) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.( × ) (4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.( √ ) (5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.( × ) (6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.( √ ) 2.已知引力常量 G＝6.67×10－11N·m2 /kg2，重力加速度 g＝9.8 m/s2，地球半径 R＝6.4×106 m，则可知地球的质量 约为( )
g B.2×10kg C.6×102kg D.6×102kg 答案D 【考点】计算天体的质量 【题点】已知重力加速度求质量 重点探究 启迪思维探究重点 、天体质量和密度的计算 导学探究 1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地球质量的人” (1)他“称量”的依据是什么? (2)若还已知地球表面重力加速度g,地球半径R,求地球的质量和密度 答案(1)若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力 2)由题=得,MG 2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r,能求出太阳的质量吗?若要求太阳的密度,还需要哪些 答案OM_4x2 地下r知MG可以求出太阳的质量由密度公式= 4π2r 4可知,若要求太阳的密度还 Rx 需要知道太阳的半径 口知识深化 天体质量和密度的计算方法 重力加速度法 环绕法 已知天体(如地球)的半径R和天行星或卫星绕中心 情景 体(如地球)表面的重力加速度g天体做匀速圆周运动 行星或卫星受到的万有 物体在表面的重力近似等于天体引力充当向心力 思路(如地球)与物体间的万有引力: (g= ※推荐※下载※
※ 精 品 试 卷 ※ ※ 推 荐 ※ 下 载 ※ A.2×1018kg B.2×1020kg C.6×1022kg D.6×1024kg 答案 D 【考点】计算天体的质量 【题点】已知重力加速度求质量 一、天体质量和密度的计算 1.卡文迪许在实验室测出了引力常量 G 的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”. (1)他“称量”的依据是什么？ (2)若还已知地球表面重力加速度 g，地球半径 R，求地球的质量和密度. 答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力. (2)由 mg＝G Mm R 2得，M＝ gR 2 G ρ＝ M V ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3g 4πGR . 2.如果知道地球绕太阳的公转周期 T 和它与太阳的距离 r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些 量？ 答案 由 Gm地M太 r 2 ＝m 地 4π2 T 2 r 知 M 太＝ 4π2 r 3 GT 2 ，可以求出太阳的质量.由密度公式 ρ＝ M太 4 3 πR太 3 可知，若要求太阳的密度还 需要知道太阳的半径. 天体质量和密度的计算方法 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体(如地球)的半径 R 和天 体(如地球)表面的重力加速度 g 行星或卫星绕中心 天体做匀速圆周运动 思路 物体在表面的重力近似等于天体 (如地球)与物体间的万有引力： mg＝G Mm R 2 行星或卫星受到的万有 引力充当向心力： G Mm r 2 ＝m( 2π T ) 2 r (G Mm r 2 ＝m v 2 r
或 a2r 中心天体质量 天体(如地球)质量: 4π2r3 天体质量 r 或M=-x) 3R 4I RG (以T为例) 天体密度 M 利用mg=m求M是忽略了天体由Fa=F向求M求得的是中心 说明自转,且g为天体表面的重力加 天体的质量,而不是做圆周运动 的天体质量 速度 【例1假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T,已 知引力常量为G,忽略该天体的自转 (1)则该天体的密度是多少? (2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该处做圆周运动的周期为Z2,则该天体的密度又是多少? 3(2)3丌(B+b 答案(1)=(2) 解析设卫星的质量为m,天体的质量为M 42H (1)卫星贴近天体表面运动时有 -A2N, 根据几何知识可知天体的体积为V==IR M42R3 故该天体的密度为p (2)卫星距天体表面的高度为h时,忽略自转有 Mm 4 (R+m)27 4 I(R+ h) M4(R+b)3(R+b) GT·3 R 【考点】天体密度的计算 【题点】已知周期、半径求密度 ※推荐※下载※
※ 精 品 试 卷 ※ ※ 推 荐 ※ 下 载 ※ 或 G Mm r 2＝mω 2 r) 天体质量 天体(如地球)质量： M＝ gR 2 G 中心天体质量： M＝ 4π2 r 3 GT 2 (M＝ rv 2 G 或 M＝ r 3ω 2 G ) 天体密度 ρ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3g 4πRG ρ＝ M 4 3 πR 3 ＝ 3πr 3 GT 2 R 3 (以 T 为例) 说明 利用 mg＝ GMm R 2 求 M 是忽略了天体 自转，且 g 为天体表面的重力加 速度 由 F 引＝F 向求 M，求得的是中心 天体的质量，而不是做圆周运动 的天体质量 例 1 假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已 知引力常量为 G，忽略该天体的自转. (1)则该天体的密度是多少？ (2)若这颗卫星距该天体表面的高度为 h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为 T2，则该天体的密度又是多少？ 答案 (1)3π GT1 2 (2)3π(R＋h) 3 GT2 2 R 3 解析 设卫星的质量为 m，天体的质量为 M. (1)卫星贴近天体表面运动时有 G Mm R 2＝m 4π2 T1 2 R，M＝ 4π2 R 3 GT1 2 根据几何知识可知天体的体积为 V＝ 4 3 πR 3 故该天体的密度为 ρ＝ M V ＝ 4π2 R 3 GT1 2· 4 3 πR 3 ＝ 3π GT1 2. (2)卫星距天体表面的高度为 h 时，忽略自转有 G Mm (R＋h) 2＝m 4π2 T2 2 (R＋h) M＝ 4π2 (R＋h) 3 GT2 2 ρ＝ M V ＝ 4π2 (R＋h) 3 GT2 2· 4 3 πR 3 ＝ 3π(R＋h) 3 GT2 2 R 3 【考点】天体密度的计算 【题点】已知周期、半径求密度
易错警示 求解天体质量和密度时的两种常见错误 4π2 1.根据轨道半径r和运行周期,求得∥产是中心天体的质量,而不是行星(或卫星)的质量 2.混淆或乱用天体半径与轨道半径,为了正确并清楚地运用,应一开始就养成良好的习惯,比如通常情况下天体半 径用R表示,轨道半径用r表示,这样就可以避免如p=误约分:只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时, 如近地卫星,轨道半径r才可以认为等于天体半径R 针对训练1过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“5 l pegb”的发现拉开了研究太阳系 外行星的序幕.“5 Mpeg”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为4天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 该中心恒星与太阳的质量的比值约为() A.B.1C.5D.10 答案B 解析由p=mrr得款7 已知2=1,=4,则4=(1)×5)≈1,B项正确 【考点】计算天体的质量 【题点】已知周期、半径求质量 【例2]有一星球的密度与地球相同,但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍,求 (1)星球半径与地球半径之比 (2)星球质量与地球质量之比 答案(1)4:1(2)64:1 解析(的G·所以=14xmR=4x6p’4GD344 g 4IGp感少 (2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍.根据M z=64. 【考点】计算天体的质量 【题点】已知重力加速度求质量 二、天体运动的分析与计算 1.基本思路:一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动,所需向心力由中心天体对它的万有引力提供,即F 2.常用关系: ※推荐※下载※
※ 精 品 试 卷 ※ ※ 推 荐 ※ 下 载 ※ 求解天体质量和密度时的两种常见错误 1.根据轨道半径 r 和运行周期 T，求得 M＝ 4π2 r 3 GT 2 是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量. 2.混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半 径用 R 表示，轨道半径用 r 表示，这样就可以避免如 ρ＝ 3πr 3 GT 2 R 3误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时， 如近地卫星，轨道半径 r 才可以认为等于天体半径 R. 针对训练 1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系 外行星的序幕.“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 1 20. 该中心恒星与太阳的质量的比值约为( ) A. 1 10B.1C.5D.10 答案 B 解析 由 G Mm r 2＝m 4π2 T 2 r 得 M∝ r 3 T 2 已知r51 r地 ＝ 1 20， T51 T地 ＝ 4 365，则M恒 M太 ＝( 1 20) 3×( 365 4 ) 2≈1，B 项正确. 【考点】计算天体的质量 【题点】已知周期、半径求质量 例 2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的 4 倍，求： (1)星球半径与地球半径之比； (2)星球质量与地球质量之比. 答案 (1)4∶1 (2)64∶1 解析 (1)由 GMm R 2 ＝mg 得 M＝ gR 2 G ，所以 ρ＝ M V ＝ gR 2 G 4 3 πR 3 ＝ 3g 4πGR ，R＝ 3g 4πGρ ， R R地 ＝ 3g 4πGρ · 4πGρ地 3g地 ＝ g g地 ＝4. (2)由(1)可知该星球半径是地球半径的 4 倍.根据 M＝ gR 2 G 得 M M地 ＝ gR 2 G · G g地R地 2＝64. 【考点】计算天体的质量 【题点】已知重力加速度求质量 二、天体运动的分析与计算 1.基本思路：一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即 F 引 ＝F 向. 2.常用关系：
an=r=mo=Irl (2)忽略自转时,m=6m(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力),整理可得:g=6M该公式通常被 称为“黄金代换式”. 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 得=,越大,越小 2)由 r得 p37越大,@越小 学代)得=2(越大,7越大 由一m得a=,r越大,么越小 【例3]2009年2月11日,俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生 碰撞,这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、 乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆,甲的运行速率比乙的大,则下列说法中正确的是() A.甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的向心加速度一定比乙的大 答案D 解析甲的运行速率大,由如=m得=1 由此可知,甲碎片的轨道半径小,故B错;由 得7=~/4x2r2 可知甲的周期小,故A错;由于未知两碎片的质量,无法判断向心力的大小,故C错:由 m得a=P,可知甲的向心加速度比乙的大,故D对 【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系 针对训练2如图1所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是R和2R(R为 地球半径).下列说法中正确的是() 图 A.a、b的线速度大小之比是2:1 ※推荐※下载※
※ 精 品 试 卷 ※ ※ 推 荐 ※ 下 载 ※ (1)G Mm r 2 ＝man＝m v 2 r ＝mω 2 r＝m 4π2 T 2 r. (2)忽略自转时，mg＝G Mm R 2 (物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR 2＝GM，该公式通常被 称为“黄金代换式”. 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 (1)由 G Mm r 2＝m v 2 r 得 v＝ GM r ，r 越大，v 越小. (2)由 G Mm r 2＝mω2 r 得 ω＝ GM r 3 ，r 越大，ω 越小. (3)由 G Mm r 2＝m 2π T 2 r 得 T＝2π r 3 GM ，r 越大，T 越大. (4)由 G Mm r 2＝man 得 an＝ GM r 2 ，r 越大，an 越小. 例 3 2009 年 2 月 11 日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约 805km 处发生 碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、 乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( ) A.甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的向心加速度一定比乙的大 答案 D 解析 甲的运行速率大，由 G Mm r 2＝m v 2 r ，得 v＝ GM r ，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故 B 错；由 G Mm r 2 ＝mr 4π2 T 2 ， 得 T＝ 4π2 r 3 GM ，可知甲的周期小，故 A 错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故 C 错；由GMm r 2 ＝ man 得 an＝ GM r 2，可知甲的向心加速度比乙的大，故 D 对. 【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系 针对训练 2 如图 1 所示，a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是 R 和 2R(R 为 地球半径).下列说法中正确的是( ) 图 1 A.a、b 的线速度大小之比是 2∶1