例6. 求1= eaz cos3adz(a≠0) 解 eax cos Bxdx= sau(） cos Bx- ead cos Bx =eax cos Bx+ ea sin Bxdx. (3) a 访问主页 求不定积分I= ea sin Bxdx在应用两次分部积分公式(2) 标题页 炒 ea sin Bxdx sin Bxd 第27页603 ear sin Bx- ead sin Bx 返回 3 全屏显示 -ear sin Bx+ ea cos Brdx Q 关闭 -ea sin Bx+I. (4) 退出 Q
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 27 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦6. ➛ I = Z e αx cos βx d x ( α 6= 0) . ✮ I = Z e αx cos βx d x = Z cos βx d 1α e x = 1α e αx cos βx − 1α Z e αxd cos βx = 1α e αx cos βx + βα Z e αx sin βx dx. (3) ➛ Ø ➼ ➮ ➞ I = Z e αx sin βx d x ✸❆❫ ü ❣ ➞ Ü ➮ ➞ ú ➟(2). Z e αx sin βx d x = Z sin βx d 1α e x = 1α e αx sin βx − 1α Z e αxd sin βx = 1α e αx sin βx + βα Z e αx cos βx d x = 1α e αx sin βx + βα I. (4)
将(4)式代入(3)式，得 I=Le sin+ 3 /1 ea sin Bx+ a\a a y =ear sin Bx+ a gze sin 访问主页 或 标题页 1=/ cosd(sin ac)C. 炒 a2+32 同样方法，可得 第28页603 I- sind(asincos )C. 返回 a2+32 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 28 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ò(4)➟➇❭(3)➟,✚ I = 1 α e αx sin βx + β α 1 α e αx sin βx + β α I = 1 α e αx sin βx + β α2 e αx sin βx − β 2 α2 I. ➼ I = Z e αx cos βxdx = e αx(β sin βx − α cos βx) α2 + β 2 + C. Ó✘➄④,➀✚ I = Z e αx sin βxdx = e αx(α sin βx − β cos βx) α2 + β 2 + C
二、换元积分法 由复合函数求导法则，得到下面两种换元积分法.它是求不定积 分经常使用的极为重要的方法，常常在应用其它方法的同时，也要伴随着应 用换元积分法 访问主页 定理1.（第一换元积分法）若函数u=(x)在[a,b]可导，且a≤p(x)≤ 标题页 3,u∈[a,有F(u)=f(u),则函数f[(x】o(x)存在原函数F[(x小，即 H炒 /flo()d()dr =Foz)+C. (5) 第29页603 返回 证法 只需证明，{F[(x)]}'=f(x】(x): 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 29 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✓✦❺✄➮➞④ ❞❊Ü➻ê➛✓④❑,✚✔❡→ü➠❺✄➮➞④. ➜➫➛Ø➼➮ ➞➨⑦➛❫✛✹➃➢❻✛➄④,⑦⑦✸❆❫Ù➜➄④✛Ó➒,➃❻❾➅❳❆ ❫❺✄➮➞④. ➼♥1.(✶➌❺✄➮➞④) ❡➻êu = φ(x)✸[a, b]➀✓,❹α 6 φ(x) 6 β, ∀u ∈ [a, b],❦F 0 (u) = f(u),❑➻êf[φ(x)]φ 0 (x)⑧✸✝➻êF[φ(x)],❂ Z f[φ(x)]φ 0 (x)dx = F[φ(x)] + C. (5) ②④ ➄■②➨,{F[φ(x)]} 0 = f[φ(x)]φ 0 (x)
证明由复合函数求导法则，有 {F[(z}'=F'(u)o'(x)=f(u)6()=f[p(x)6(x).I 第一换元积分法指出，求（⑤）式等号左端的不定积分，设(x)=u,则化为 求不定积分∫f(u)d.若f(u)存在原函数F(u),则 /f(u)du=F(u)+C. 最后再将u=(x)代入上式等号的右端，就得到了所求的不定积分 访问主页 fl()io(r)dr=Flc)+C. 标题页 炒 由于'(x)dx=d(c),第一换元积分法可表为 fo(rlo'()d-fle(r)ido(r) 第30页603 f(u)du 返回 =F(u+CFo(r】+C 全屏显示 关闭 第一换元积分法是将被积表达式“凑”成微分的形式，亦称“凑微分 退出 法
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 30 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ②➨ ❞❊Ü➻ê➛✓④❑,❦ {F[φ(x)]} 0 = F 0 (u)φ 0 (x) = f(u)φ 0 (x) = f[φ(x)]φ 0 (x). ✶➌❺✄➮➞④➁Ñ,➛(5)➟✤Ò❺à✛Ø➼➮➞,✗φ(x) = u,❑③➃ ➛Ø➼➮➞ R f(u)du. ❡f(u)⑧✸✝➻êF(u),❑ Z f(u)du = F(u) + C. ⑩✷òu = φ(x)➇❭þ➟✤Ò✛♠à,Ò✚✔✡↕➛✛Ø➼➮➞ Z f[φ(x)]φ 0 (x)dx = F[φ(x)] + C. ❞✉φ 0 (x)dx = dφ(x),✶➌❺✄➮➞④➀▲➃ Z f[φ(x)]φ 0 (x)dx = Z f[φ(x)]dφ(x) φ(x)=u ==== Z f(u)du =F(u) + C φ(x)=u ==== F[φ(x)] + C. ✶➌❺✄➮➞④➫ò✚➮▲❼➟✴♥✵↕❻➞✛✴➟,➼→✴♥❻➞ ④✵
例7.求 Vx +5da. +5dr=e+5)idx+5)4是/udu +c++C 访问主页 例8. 求 sin(5x +8)dx. 标题页 解 炒 1 sin(5x+8)dx 5 sin(5x+8)d(5x+8) 第31页603 5x+8=u 1 sin udu = 5 cosu+ 返回 全屏显示 u=5x+8 c0s(5x+8)+C 关闭 5 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 31 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦7. ➛ Z √3 x + 5d x . ✮ Z √3 x + 5d x = Z ( x + 5) 13d( x + 5) x+5= u ==== Z u 13 d u = 34 u 43 + C x+5= u ==== 34 ( x + 5) 43 + C. ⑦8. ➛ Z sin(5 x + 8)d x . ✮ Z sin(5 x + 8)d x = 15 Z sin(5 x + 8)d(5 x + 8) 5 x+8= u ==== 15 Z sin u d u = − 15 cos u + C u=5 x+8 ==== − 15 cos(5 x + 8) + C