例如求 ∫r sin xdx. 应用分部积分公式(2)，首先要将被积表达式sin xdx分成u与dv两部分 与的乘积.当然，将c sin xda分成u与dv的乘积有多种不同的分法.但是，要 求我们选取这样一种方法使vdu比ud简单，甚至不定积分∫vdu就是不定 积分公式表中的某个公式化 例如，选取u=sinx,dv=xdx.应用分部积分公式(2)，还要求出du与v,有 访问主页 du cos xdx,v= 2 标题页 由分部积分公式(2)，有 从炒 23 xsinxdx sina- cosxdx. 第22页603 2 2 返回 显然，它将函数rsi的不定积分化成了比rsim更复杂的函数 2cosx的 全屏显示 不定积分.这说明，这种选取u与dv的方法不合适，应另加选取. 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 22 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❳➛ R x sin xdx. ❆❫➞Ü➮➞ú➟(2),➘❦❻ò✚➮▲❼➟x sin xdx➞↕u❺dvüÜ➞ ❺✛➛➮. ✟✱,òx sin xdx➞↕u❺dv✛➛➮❦õ➠ØÓ✛➞④. ✂➫,❻ ➛➲❶➚✒ù✘➌➠➄④➛vdu✬udv④ü,✩➊Ø➼➮➞ R vduÒ➫Ø➼ ➮➞ú➟▲➙✛✱❻ú➟③. ⑦❳,➚✒u = sin x, dv = xdx. ❆❫➞Ü➮➞ú➟(2),❸❻➛Ñdu❺v,❦ du = cos xdx, v = x 2 2 . ❞➞Ü➮➞ú➟(2),❦ Z x sin xdx = x 2 2 sin x − Z x 2 2 cos xdx. ✇✱,➜ò➻êx sin x✛Ø➼➮➞③↕✡✬x sin x➁❊✱✛➻ê x 2 2 cos x✛ Ø➼➮➞. ù❵➨,ù➠➚✒u❺dv✛➄④ØÜ➲,❆✱❭➚✒
例1. 解 设l=x,dv=sinxdx,有du=dx,v=-cosx.由公式(2)， du 访问主页 =-ZCoS+ cos xda =-x cos sin+C. 标题页 W炒 显然，这种选取u与dv的方法是合适的.因为它将函数c sinx的不定积分 化简为求函数c0sx的不定积分，这可由不定积分公式表求得. 第23页603 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 23 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦1. ➛ Z x 2 1 + x 2 dx. ✮ ✗u = x, dv = sin xdx,❦du = dx, v = − cos x. ❞ú➟(2), Z x|{z} u sin xdx | {z } dv = −x cos x | {z } uv − Z (− cos x) | {z } v dx |{z} du = − x cos x + Z cos xdx = −x cos x + sin x + C. ✇✱,ù➠➚✒u❺dv✛➄④➫Ü➲✛. Ï➃➜ò➻êx sin x✛Ø➼➮➞ ③④➃➛➻êcos x✛Ø➼➮➞,ù➀❞Ø➼➮➞ú➟▲➛✚
例2.求 In xdz. 解 设u=lnx,dn=dz,有du=上dr,0=x Inzdx=xInx dx=xInx-x+C. 访问主页 例3.求 InT dz. 22 标题页 解设u=lnx,dv= 点有=，心= 炒 2 第24页603 返回 1 =zlnx-+C=-(Inz+1)+C. 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 24 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦2. ➛ Z ln x d x . ✮ ✗ u = ln x, d v = d x , ❦ d u = 1x dx, v = x . Z ln x d x = x ln x − Z x 1x d x = x ln x − Z d x = x ln x − x + C. ⑦3. ➛ Z ln x x 2 d x . ✮ ✗ u = ln x, d v = d xx2 , ❦ d u = 1x dx, v = − 1x . Z d xx2 d x = − ln x x + Z d xx2 = − ln x x − Z d x = x ln x − 1x + C = − 1x (ln x + 1) + C
例4.求 x arctan xda. dx 解 设l=arctanx,dv=xdx,有du= 23 1+x2,0= a2 1 23 x arctan xdx arctan x 2 dx 1 +x2 23 访问主页 1 2 arctan x 2 1+x2 标题页 2 1 W 2 dx+ 1+x2 1 第25页603 arctanx- x+arctan x+☑ 2 返回 arctanx-x arctan x)+C. 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 25 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦4. ➛ Z x arctan x d x . ✮ ✗ u = arctan x, d v = x d x , ❦ d u = d x 1 + x 2 , v = x 22 . Z x arctan x d x = x 22 arctan x − 12 Z x 2 1 + x 2 d x = x 22 arctan x − 12 Z 1 − 1 1 + x 2 d x = x 22 arctan x − 12 Z d x + 12 Z d x 1 + x 2 = x 22 arctan x − 12 x + 12 arctan x + C = 12 ( x 2 arctan x − x + arctan x) + C
应用分部积分，可省略“设”的步骤使书写简化.例如： 例5.求 r2e'dr. 解 对这个不定积分要连续使用两次分部积分公式(2) re业=zde=re-ed2 访问主页 =x2e-2 xe'dz=x2et-2 标题页 =rw-2(e-∫rd） 炒 =x2e-2(xe2-e)+C 第26页603 =e(x2-2x-2)+C. 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 26 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❆❫➞Ü➮➞,➀➂Ñ✴✗✵✛Ú➼➛Ö✕④③. ⑦❳: ⑦5. ➛ Z x 2 e x dx. ✮ éù❻Ø➼➮➞❻ë❨➛❫ü❣➞Ü➮➞ú➟(2). Z x 2 e x dx = Z x 2 dex = x 2 e x − Z e x d(x 2 ) =x 2 e x − 2 Z xe x dx = x 2 e x − 2 Z xdex =x 2 e x − 2 xe x − Z e x dx =x 2 e x − 2(xe x − e x ) + C =ex (x 2 − 2x − 2) + C