例4.求 dx sin2 x cos2 x 解 访问主页 dx sin2x+cos2 x dx 标题页 sin2rcos2元 sin2 x cos2 x 炒 dx dx tanx-cotx+C. cos2 x 第17页603 返回 全屏显示 关闭 退出☐
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 17 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦4. ➛ Z d x sin 2 x cos 2 x . ✮ Z d x sin 2 x cos 2 x = Z sin 2 x + cos 2 x sin 2 x cos 2 x d x = Z d x cos 2 x + Z d x sin 2 x = tan x − cot x + C
例5.求∫(10+cot2x)dz. 解 (10+cot2z)dx =/10*dz+ cot2xda =102dz+ 1二sindz三10dr+ sin2x ds-fdr sin? 10产 访问主页 -1n10 -cot x-x+C. 标题页 例6.求 1+2d 炒 解 第18页603 返回 全屏显示 =/+/ 1+2=x-arccotz+C网 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 18 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦5. ➛ R (10 x + cot 2 x)d x . ✮ Z (10 x + cot 2 x)d x = Z 10 x d x + Z cot 2 x d x = Z 10 x d x + Z 1 − sin 2 x sin 2 x d x = Z 10 x d x + Z 1 sin 2 x d x − Z d x = 10 x ln 10 − cot x − x + C. ⑦6. ➛ Z x 2 1 + x 2 d x . ✮ Z x 2 1 + x 2 d x = Z 1 + x 2 − 1 1 + x 2 d x = Z 1 + 1 1 + x 2 d x = Z d x + Z d x 1 + x 2 = x − arccot x + C
57.2 分部积分法与换元积分法 一般来说，求不定积分要比求导数困难得多.这是因为，如果函数 存在导数，根据导数运算法则和导数公式或者导数定义，总能求出函数的导 数.但是求函数的不定积分则不然.根据不定积分运算法则和不定积分公 式只能求出很少一部分比较简单的函数的不定积分，而对更广泛函数的不 访问主页 定积分要因函数不同的形式和不同类型选用不同的方法.因此，求不定积 标题页 N炒 分有很大的灵活性.本节所讲的分部积分法与换元积分法是求不定积分的 最基本最常用的两种重要方法.这两种方法都能化繁为简，也就是这两种 第19页603 方法都能将不定积分的被积函数化简，直到能应用不定积分表中的公式求 返回 出它的不定积分 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 19 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ §7.2 ➞Ü➮➞④❺❺✄➮➞④ ➌❸✺❵,➛Ø➼➮➞❻✬➛✓ê✭❏✚õ. ù➫Ï➃,❳❏➻ê ⑧✸✓ê,❾â✓ê✩➂④❑Ú✓êú➟➼ö✓ê➼➶,♦❯➛Ñ➻ê✛✓ ê. ✂➫➛➻ê✛Ø➼➮➞❑Ø✱. ❾âØ➼➮➞✩➂④❑ÚØ➼➮➞ú ➟➄❯➛Ñé✟➌Ü➞✬✖④ü✛➻ê✛Ø➼➮➞,✌é➁✷➁➻ê✛Ø ➼➮➞❻Ï➻êØÓ✛✴➟ÚØÓ❛✳➚❫ØÓ✛➄④. Ï❞,➛Ø➼➮ ➞❦é➀✛✭➵✺. ✢✦↕ù✛➞Ü➮➞④❺❺✄➮➞④➫➛Ø➼➮➞✛ ⑩➘✢⑩⑦❫✛ü➠➢❻➄④. ùü➠➄④Ñ❯③❸➃④,➃Ò➫ùü➠ ➄④Ñ❯òØ➼➮➞✛✚➮➻ê③④,❺✔❯❆❫Ø➼➮➞▲➙✛ú➟➛ Ñ➜✛Ø➼➮➞
、分部积分法 设u与v都是x的可导函数.由函数乘积的导数公式，有 (wv)'=uv'+vu'w=(wv)'-vu'. 由不定积分法则与不定积分法则与不定积分定义，有 w'dx= (wY'dr-vudz, 即 访问主页 wd'dr=w 标题页」 (1) W 或 vdu. (2) 第20页603 返回 (1)式或(2)式称为分部积分公式 全屏显示 有时求函数u'的不定积分不能直接应用不定积分公式，而函数v的不 关闭 定积分可应用不定积分公式或v比u简单.这时，分部积分法就能直到化 退出 繁为简的作用
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 20 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➌✦➞Ü➮➞④ ✗u❺vÑ➫x✛➀✓➻ê. ❞➻ê➛➮✛✓êú➟,❦ (uv) 0 = uv 0 + vu 0 ➼ uv 0 = (uv) 0 − vu 0 . ❞Ø➼➮➞④❑❺Ø➼➮➞④❑❺Ø➼➮➞➼➶,❦ Z uv 0 dx = Z (uv) 0 dx − Z vu 0 dx, ❂ Z uv 0 dx = uv − Z vu 0 dx. (1) ➼ Z udv = uv − Z vdu. (2) (1)➟➼(2)➟→➃➞Ü➮➞ú➟. ❦➒➛➻êuv0✛Ø➼➮➞Ø❯❺✚❆❫Ø➼➮➞ú➟,✌➻êvu0✛Ø ➼➮➞➀❆❫Ø➼➮➞ú➟➼vu0✬uv0④ü. ù➒,➞Ü➮➞④Ò❯❺✔③ ❸➃④✛❾❫
求某些函数（如lnx,xer等等）的不定积分，只能应用分部积分法，可见分 部积分法是求不定积分的一种重要的方法.那么求哪些函数的不定积分要 应用分部积分法呢？这处问题不易给以完满回答.一般来说，下列函数： 访问主页 k I,sin b,cos br,e, 标题页 xk arcsin ax,arctan b,x arccos bx,e sin bx. 炒 的不定积分要应用分部积分法 第21页603 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 21 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➛✱✡➻ê(❳ln x, xe x✤✤)✛Ø➼➮➞,➄❯❆❫➞Ü➮➞④,➀❸➞ Ü➮➞④➫➛Ø➼➮➞✛➌➠➢❻✛➄④. ❅♦➛❂✡➻ê✛Ø➼➮➞❻ ❆❫➞Ü➮➞④◗? ù❄➥❑Ø➫❽➧✑÷↔❽. ➌❸✺❵,❡✎➻ê: x k ln x, xk sin bx, xk cos bx, xk e αx , x k arcsin ax, xk arctan bx, xk arccos bx, e αx sin bx · · · ✛Ø➼➮➞❻❆❫➞Ü➮➞④