《系统工程》（外文版） Systems Engineering

Formale Darstellung Seite 21 an der Stelle i-j der Matrix E-E steht der Wert l, wenn das element E, in Wechsel wir- kung mit dem element e steht an der Stelle i-i der Matrix E-e steht der Wert 0. wenn das element e nicht mit dem Element e in Wechselwirkung steht an der Stelle i-j der Matrix E-A steht der Wert l, wenn das element E das Attribut A hat, der Wert 0, wenn das element E, nicht die Eigenschaft A, hat Mathematische Operationen an in dieser Weise dargestellten Systemen erfolgen mit Hilfe der Matrizenalgebra und bei binarer Darstellung unter Verwendung der hierfur entwickelten Boo leschen Algebra Diese benutzt nur die Zahlenwerte 0"und"1". Als Rechenoperationen sind definiert logische Summe " logische Produkt"·" Negation 0+0=0 0·0=0 0+1=1 0=1-0=1 1+0=1 1·0=0 Anwendung der binaren matrizenalgebra Die anwendungen der binaren Matrizenalgebra auf Systeme die durch die elemente und de ren Relationen (Wechselwirkungen) gegeben sind, ermoglichen die berechnung des struk turellen Auf baus von Systemen Man kann zwei Klassen von Systemstrukturen unterscheiden I. Aufbaustruktur(zB. Hierachie A B E F Bild 4.3: Aufbaustruktur Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs

Formale Darstellung Seite 21 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs - an der Stelle i-j der Matrix E - E steht der Wert 1, wenn das Element Ei in Wechselwir￾kung mit dem Element Ej steht. - an der Stelle i-j der Matrix E - E steht der Wert 0, wenn das Element Ei nicht mit dem Element Ej in Wechselwirkung steht. - an der Stelle i-j der Matrix E - A steht der Wert 1, wenn das Element Ei das Attribut Aj hat, der Wert 0, wenn das Element Ei nicht die Eigenschaft Aj hat. Mathematische Operationen an in dieser Weise dargestellten Systemen erfolgen mit Hilfe der Matrizenalgebra und bei binärer Darstellung unter Verwendung der hierfür entwickelten Boo￾leschen Algebra. Diese benutzt nur die Zahlenwerte "0" und "1". Als Rechenoperationen sind definiert: logische Summe "+ & ": logisches Produkt "! ": Negation "-": 0 + & 0 = 0 0 ! 0 = 0 1 = 1 - 1 = 0 0 + & 1 = 1 0 ! 1 = 0 0 = 1 - 0 = 1 1 + & 0 = 1 1 ! 0 = 0 1 + & 1 = 1 1 ! 1 = 1 Anwendung der binären Matrizenalgebra Die Anwendungen der binären Matrizenalgebra auf Systeme, die durch die Elemente und de￾ren Relationen (Wechselwirkungen) gegeben sind, ermöglichen die Berechnung des struk￾turellen Aufbaus von Systemen. Man kann zwei Klassen von Systemstrukturen unterscheiden. 1. Aufbaustruktur (z.B. Hierachie) 1. 2. 3. A B D C E F Bild 4.3: Aufbaustruktur

Formale Darstellung Seite 22 2. Ablaufstruktur(Z B. Netzplan) A E Bild 44 ablaufstruktur 4.1 Beispiel Aufbaustruktur: Hierarchie Die Methode der auflosung von Subordinationsmatrizen (Unterordnungsmatrizen) eignet sich fur die Untersuchung hierarchischer Strukturen in einem System. Diese Strukturen lassen sich in einem zielbaum darstellen Die pfeile innerhalb eines zielbaumes sind als relationen zu verstehen E-E 9|10|11|12 000000000000 0000000000 23456789 000 000|0 000000 0000 00000 11 0000000 000|0 12000000|0000|10 Siehe dazu darstellung auf der nachsten Seite Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs

Formale Darstellung Seite 22 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs 2. Ablaufstruktur (z.B. Netzplan) A B E C D Bild 4.4: Ablaufstruktur 4.1 Beispiel Aufbaustruktur: Hierarchie Die Methode der Auflösung von Subordinationsmatrizen (Unterordnungsmatrizen) eignet sich für die Untersuchung hierarchischer Strukturen in einem System. Diese Strukturen lassen sich in einem Zielbaum darstellen. Die Pfeile innerhalb eines Zielbaumes sind als Relationen zu verstehen. E-E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 5 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Siehe dazu Darstellung auf der nächsten Seite

Formale Darstellung Seite 23 8 7 6 10 12 Bild 4.5: Subordinationsmatrix und Zielbaum Sind die pfeile im Zielbaum nach oben gerichtet, bedeutet dies: Element 4 berichtet element 5 (siehe Beispiel). Dieser Zielbaum beantwortet die frage Wer berichtet wem Diese Darstellung ist im"angelsachsischen"Bereich ublich Im"mitteleuropaischen"Bereich st die pfeilrichtung von oben nach unten ublich: element i befiehlt element 2. Die daten uber die in einem System auftretenden relationen konnen in einer entsprechend definierten Matrix -der Subordinationsmatrix-vollstandig dargestellt werden Fur den "angelsachsischen"Fall gelten folgende regeln 1. Wenn i die Zeile undj die Spalte bezeichnet, dann ist die Subordinationsmatrix E gegeben durch die Menge der Matrixelemente ei> e= ei1 2. Die Subordinationsmatrix ist immer quadratisch: die anzahl der zeilen i ist genauso groB wie die anzahl der Spalten j, weil beide gleich der Anzahl der elemente n des betrachteten Systems sind 3. Wenn das Element i des Systems dem Element j berichtet, dann gilt fur das entsprechende Matrixelement e,=I Ist dies nicht der Fall, dann gilt e=0 4. Wenn das Systemelement Ei dem Systemelement Ej berichtet (- 1), dann kann das Systemelement Ei nicht gleichzeitig dem Systemelement Ei berichten. Das Matrixelement eji muss den Wert o habe Den 5. Umgekehrt kann fure. =0 sowohl e. =0 sowie e.= 1 eintreten Wenn das element i dem Element j nicht berichtet, dann kann E dem Element E, berichten, muss es aber nicht 6. Kein Systemelement ist sich selbst untergeordnet, d.h. alle Elemente der Subordinations matrix e mit i=j haben den Wert 0. Die Hauptdiagonale der Subordinationsmatrix hat nur Elemente mit dem wert o Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs

Formale Darstellung Seite 23 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs 1 8 2 5 4 9 6 7 10 3 12 11 Bild 4.5: Subordinationsmatrix und Zielbaum Sind die Pfeile im Zielbaum nach oben gerichtet, bedeutet dies: Element 4 berichtet Element 5 (siehe Beispiel). Dieser Zielbaum beantwortet die Frage: - Wer berichtet wem ? Diese Darstellung ist im "angelsächsischen" Bereich üblich. Im "mitteleuropäischen" Bereich ist die Pfeilrichtung von oben nach unten üblich: Element 1 befiehlt Element 2. Die Daten über die in einem System auftretenden Relationen können in einer entsprechend definierten Matrix - der Subordinationsmatrix - vollständig dargestellt werden. Für den "angelsächsischen" Fall gelten folgende Regeln: 1. Wenn i die Zeile und j die Spalte bezeichnet, dann ist die Subordinationsmatrix E gegeben durch die Menge der Matrixelemente eij E = {eij } 2. Die Subordinationsmatrix ist immer quadratisch: die Anzahl der Zeilen i ist genauso groß wie die Anzahl der Spalten j, weil beide gleich der Anzahl der Elemente n des betrachteten Systems sind . 3. Wenn das Element i des Systems dem Element j berichtet, dann gilt für das entsprechende Matrixelement eij = 1. Ist dies nicht der Fall, dann gilt eij = 0. 4. Wenn das Systemelement Ei dem Systemelement Ej berichtet (→ eij = 1), dann kann das Systemelement Ej nicht gleichzeitig dem Systemelement Ei berichten. Das Matrixelement eji muss den Wert 0 haben. 5. Umgekehrt kann für eij = 0 sowohl eji = 0 sowie eji = 1 eintreten. Wenn das Element i dem Element j nicht berichtet, dann kann Ej dem Element Ei berichten, muss es aber nicht. 6. Kein Systemelement ist sich selbst untergeordnet, d.h. alle Elemente der Subordinations￾matrix eij mit i = j haben den Wert 0. Die Hauptdiagonale der Subordinationsmatrix hat nur Elemente mit dem Wert 0

Formale Darstellung Seite 7. wird die transitivitat vorausgesetzt, dann gilt: wenn e l und ea=l dann ist auch e,= l Transitivity) Unter Berucksichtigung der angegebenen Regeln fur die Subordinationsmatrix lasst sich eine solche aufstellen, z B. aus den ergebnissen einer befragung Vorgehensweise zur Ermittlung des Zielbaumes aus der Subordinationsmatrix 1. Uberprufung der Hauptdiagonalen auf Reflexivitat und auf Transitivitat. Samtliche Diago- nalelemente mussen gleich o sein 2. Elemente der obersten und untersten Ebene Level) finden a) Die Nummern der Spalten, deren Spaltenelemente ausschlieBlich den Wert 0 haben sind die Nummern derjenigen Elemente, die die unterste Hierarchieebene besetzen(Bot- tom Levels): B: =b. Diesen Elementen berichtet niemand b) Die Nummern der Zeilen, deren Zeilenelemente ausschlieBlich den Wert 0 haben, sind die Nummern der elemente, diedie oberste Hierarchieebene besetzen(Top Levels: T:= it. Diese Elemente berichten niemandem. 3. Isolierte Systemelemente(Singles)bestimmen: Das Systemelement I heiBt isoliert, wenn sowohl in der s-ten Zeile (i= s)als auch in der s ten Spalte gj=s)nur Matrixelemente mit dem Wert 0 stehen I:=it= b, wobei i=j gilt Diesen Elementen wird nicht berichtet und diese berichten auch nicht. Sie sind keine elemente des ziel baumes sondern werden spater neben dem Zielbaum als isoliertes element gekennzeichnet da diese elemente nicht zum zielbaum beitragen, werden die Spalten und Zeilen mit der Nummer der isolierten Elemente aus der Subordinationsmatrix gestrichen 4. Bestimmen der teilhierarchien Die Teilhierarchien sind diejenigen Zielbaumteile, die in keiner Beziehung zu einem ande en zielbaumteil stehen d.h. kein element einer teilhierarchie berichtet einem element ei- ner anderen Teilhierarchie Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs

Formale Darstellung Seite 24 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs 7. Wird die Transitivität vorausgesetzt, dann gilt: wenn eij = 1 und ejk = 1 dann ist auch eik = 1 (Transitivität). Unter Berücksichtigung der angegebenen Regeln für die Subordinationsmatrix lässt sich eine solche aufstellen, z.B. aus den Ergebnissen einer Befragung. Vorgehensweise zur Ermittlung des Zielbaumes aus der Subordinationsmatrix 1. Überprüfung der Hauptdiagonalen auf Reflexivität und auf Transitivität. Sämtliche Diago￾nalelemente müssen gleich 0 sein. 2. Elemente der obersten und untersten Ebene (Level) finden. a) Die Nummern der Spalten, deren Spaltenelemente ausschließlich den Wert 0 haben, sind die Nummern derjenigen Elemente, die die unterste Hierarchieebene besetzen (Bot￾tom Levels): B:={bj }. Diesen Elementen berichtet niemand. b) Die Nummern der Zeilen, deren Zeilenelemente ausschließlich den Wert 0 haben, sind die Nummern der Elemente, die die oberste Hierarchieebene besetzen (Top Levels): T:= {ti }. Diese Elemente berichten niemandem. 3. Isolierte Systemelemente (Singles) bestimmen: Das Systemelement I heißt isoliert, wenn sowohl in der s-ten Zeile (i = s) als auch in der s￾ten Spalte (j = s) nur Matrixelemente mit dem Wert 0 stehen: I: = {ti = bj }, wobei i = j gilt. Diesen Elementen wird nicht berichtet und diese berichten auch nicht. Sie sind keine Elemente des Zielbaumes, sondern werden später neben dem Zielbaum als isoliertes Element gekennzeichnet. Da diese Elemente nicht zum Zielbaum beitragen, werden die Spalten und Zeilen mit der Nummer der isolierten Elemente aus der Subordinationsmatrix gestrichen. 4. Bestimmen der Teilhierarchien Die Teilhierarchien sind diejenigen Zielbaumteile, die in keiner Beziehung zu einem ande￾ren Zielbaumteil stehen, d.h. kein Element einer Teilhierarchie berichtet einem Element ei￾ner anderen Teilhierarchie

Formale Darstellung Seite 25 to 2 3 6 10 bottom 4 9 12 Bild 4.6: Beispiel fur Teilhierarchien Man sucht die nummern der spalten deren Matrixelemente alle den Wert o haben (sys temelement auf Bottom-Level). AnschlieBend geht man in die Zeilen mit den gleiche Nummern und sucht dort Beziehungen zu Systemelementen aus dem Top-Level, die unter 2. bestimmt wurden. Das Systemelement auf dem Bottom-Level berichtet dem gefundenen Systemelement auf dem Top-Level transitiv (d h indirekt uber andere Elemente), wenn das entsprechende matrixelement den Wert I hat. Die Teilhierarchien werden zweckmaBi gerweise in einer tabelle zusammengestellt Beispiel Teilhierarchie b4→t1,t II 012 5. AnschlieBend konnen die Teilhierarchien durch Zeilen- und Spaltenelimination ermittelt werden Das entsprechende Vorgehen ist im Anhang beschrieben. Eine konkrete Umsetzung des Subordinationsverfahrens wird in dem 'Praktikum Angewandte Systemtechnik'vorgefuhrt Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs

Formale Darstellung Seite 25 Systems Engineering Prof. Dr.-Ing. E. Igenbergs top bottom 1 8 7 11 2 5 4 3 6 10 9 12 Bild 4.6: Beispiel für Teilhierarchien Vorgehen: Man sucht die Nummern der Spalten, deren Matrixelemente alle den Wert 0 haben (Sys￾temelement auf Bottom-Level). Anschließend geht man in die Zeilen mit den gleichen Nummern und sucht dort Beziehungen zu Systemelementen aus dem Top-Level, die unter 2. bestimmt wurden. Das Systemelement auf dem Bottom-Level berichtet dem gefundenen Systemelement auf dem Top-Level transitiv (d.h. indirekt über andere Elemente), wenn das entsprechende Matrixelement den Wert 1 hat. Die Teilhierarchien werden zweckmäßi￾gerweise in einer Tabelle zusammengestellt. Beispiel: Teilhierarchie: bj ! ti I b4 ! t1 , t8 II b9 ! t7 III b12 ! t11 5. Anschließend können die Teilhierarchien durch Zeilen- und Spaltenelimination ermittelt werden. Das entsprechende Vorgehen ist im Anhang beschrieben. Eine konkrete Umsetzung des Subordinationsverfahrens wird in dem ‘Praktikum Angewandte Systemtechnik’ vorgeführt