391.3.数字特征、矩母函数与特征函数求导得p(t) =te号,E(X) =Φ (0) = 0;"(t) =(1 +t2)e号,E(X2) =Φ"(0) = 1;(3)(t) =(2t +t(1 + t2)e号 =(3t + t3)e号,E(X3) =(3)(0) = 0;g(4)(t)=(3+3t2 + t(3t +t3))e号=(3+6t2 + t4)e号E(X4) =Φ(4)(0) = 3.对正态分布N(u,2)随机变量Y，Z=~N(0,1),=μ+αZ，的矩母函数为0y() = Eetl+2) = el e() = etre° = exp(μt+ o2),.例1.23.若随机变量X有如下密度函数：1f(a)= T<8元(1+2)称X服从柯西分布。柯西分布的矩母函数不存在。证明：对任意t≠0，有1E(etX)Ldaπ(1 + 22)1elt/r>元(1 + r2)1 +[trdr=+001元(1 +2)所以矩母函数不存在。对于随机向量X=（Xi..，X,），定义其矩母函数为0(t) = E(et x) = E[exp(t,X,)],1
1.3. 数字特征、矩母函数与特征函数 39 求导得 𝜙 ′ (𝑡) =𝑡𝑒 𝑡 2 2 , 𝐸(𝑋) =𝜙′ (0) = 0; 𝜙 ″ (𝑡) =(1 + 𝑡2 )𝑒 𝑡 2 2 , 𝐸(𝑋2 ) =𝜙″ (0) = 1; 𝜙 (3)(𝑡) =(2𝑡 + 𝑡(1 + 𝑡2 ))𝑒 𝑡 2 2 = (3𝑡 + 𝑡3 )𝑒 𝑡 2 2 , 𝐸(𝑋3 ) =𝜙(3)(0) = 0; 𝜙 (4)(𝑡) =(3 + 3𝑡2 + 𝑡(3𝑡 + 𝑡3 ))𝑒 𝑡 2 2 = (3 + 6𝑡2 + 𝑡4 )𝑒 𝑡 2 2 , 𝐸(𝑋4 ) =𝜙(4)(0) = 3. 对正态分布 N(𝜇, 𝜎2 ) 随机变量 𝑌 ，𝑍 = 𝑋−𝜇 𝜎 ∼ N(0, 1)，𝑌 = 𝜇 + 𝜎𝑍，𝑌 的 矩母函数为 𝜙𝑌 (𝑡) = 𝐸𝑒𝑡(𝜇+𝜎𝑍) = 𝑒𝑡𝜇𝐸𝑒(𝑡𝜎)𝑍 = 𝑒𝑡𝜇𝑒 1 2 𝑡 2𝜎 2 = exp(𝜇𝑡 + 1 2 𝜎 2 𝑡 2 ). 例 1.23. 若随机变量 𝑋 有如下密度函数： 𝑓(𝑥) = 1 𝜋(1 + 𝑥2) , −∞ < 𝑥 < ∞, 称 𝑋 服从柯西分布。柯西分布的矩母函数不存在。 证明：对任意 𝑡 ≠ 0，有 𝐸(𝑒𝑡𝑋) = ∫∞ −∞ 𝑒 𝑡𝑥 1 𝜋(1 + 𝑥2) 𝑑𝑥 ≥ ∫∞ 0 𝑒 |𝑡|𝑥 1 𝜋(1 + 𝑥2) 𝑑𝑥 ≥ ∫∞ 0 1 + |𝑡|𝑥 𝜋(1 + 𝑥2) 𝑑𝑥 = +∞, 所以矩母函数不存在。 对于随机向量 𝑋 = (𝑋1 , . , 𝑋𝑛)，定义其矩母函数为 𝜙(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡 𝑇 𝑋) = 𝐸[exp( 𝑛 ∑ 𝑗=1 𝑡𝑗𝑋𝑗 )]
40CHAPTER1.预备知识若(t)在包含0的一个体积大于0的区域内有定义，则（t)决定X的分布。随机变量的矩母函数不一定存在，在这种情况下，更方便的是特征函数，1.3.5特征函数定义1.13.若随机变量X的分布函数为Fx(r),则称eitrdFx(r)Φx(t) =E[eitX] =为X的特征函数。特征函数总存在且定义于（一00，80)。如果Fx有密度f(r)，则x(t)就是f(a）的Fourier变换：x(t) = / eitrf(r)dr.O0特征函数是一个实变量的复值函数，因为et=1，所以它对一切实数t都有定义.可以看成是实部与虚部分别积分的结果：cos(tr)dFx(a)+ix(t) =sin(tr)dFx(r)特征函数有如下性质：(1)有界性：b(t)/≤1 =(0);(2)共轭对称性：(-t)=(t);(3)一致连续性：Jeihr - 1] dF(r);b(t +h) -b(t)/<≤(4)线性变换的作用：设Y=aX+b,则Y的特征函数是y(t)=eibtx(at);(5)两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积；(6)非负定性；对于任意的正整数n，任意实数ti,…,tn及复数入1…,入n，有2(t -t)≥0.=1j=1
40 CHAPTER 1. 预备知识 若 𝜙(𝑡) 在包含 0 的一个体积大于 0 的区域内有定义，则 𝜙(𝑡) 决定 𝑋 的分布。 随机变量的矩母函数不一定存在，在这种情况下，更方便的是特征函数. 1.3.5 特征函数 定义 1.13. 若随机变量 𝑋 的分布函数为 𝐹𝑋(𝑥), 则称 𝜓𝑋(𝑡) = 𝐸[𝑒𝑖𝑡𝑋] = ∫∞ −∞ 𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑑𝐹𝑋(𝑥) 为 𝑋 的特征函数. 特征函数总存在且定义于 (−∞, ∞)。 如果 𝐹𝑋 有密度 𝑓(𝑥)，则 𝜓𝑋(𝑡) 就是 𝑓(𝑥) 的 Fourier 变换： 𝜓𝑋(𝑡) = ∫∞ −∞ 𝑒 𝑖𝑡𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥. 特征函数是一个实变量的复值函数，因为 |𝑒𝑖𝑡𝑥| = 1，所以它对一切实数 𝑡 都有 定义. 可以看成是实部与虚部分别积分的结果： 𝜓𝑋(𝑡) = ∫∞ −∞ cos(𝑡𝑥) 𝑑𝐹𝑋(𝑥) + 𝑖 ∫∞ −∞ sin(𝑡𝑥) 𝑑𝐹𝑋(𝑥). 特征函数有如下性质： (1) 有界性：|𝜓(𝑡)| ≤ 1 = 𝜓(0); (2) 共轭对称性：𝜓(−𝑡) = 𝜓(𝑡); (3) 一致连续性： |𝜓(𝑡 + ℎ) − 𝜓(𝑡)| ≤ ∫∞ −∞ |𝑒𝑖ℎ𝑥 − 1| 𝑑𝐹(𝑥); (4) 线性变换的作用：设 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏, 则 𝑌 的特征函数是 𝜓𝑌 (𝑡) = 𝑒𝑖𝑏𝑡𝜓𝑋(𝑎𝑡); (5) 两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积; (6) 非负定性：对于任意的正整数 𝑛，任意实数 𝑡1 , . , 𝑡𝑛 及复数 𝜆1 , . , 𝜆𝑛，有 𝑛 ∑ 𝑘=1 𝑛 ∑ 𝑗=1 𝜓(𝑡𝑘 − 𝑡𝑗 )𝜆𝑘𝜆𝑗 ≥ 0
411.3.数字特征、矩母函数与特征函数(7)设随机变量X有n阶矩存在，则它的特征函数n阶导数存在，且当k<n时，有()(0) =E[X],其中i表示虚数单位。特别地，特征函数可作如下带皮阿诺型余项的Taylor展开：(it)2(it)n-E[X?] + ... +E[X"] +o(t")b(t)=1+itE[X|+2!n!例1.24.求单点分布P(X=c)=1的特征函数。解答：w(t)=Eeitc =- eict例1.25.求两点分布的特征函数。解答：设 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p,则b(t)=Eeitx =eit-lp+eit-0(1-p)=1-p+peit.例1.26.求指数分布Exp(）的特征函数。解答：eitre-rdeb(t):cos(tr)Ae-ar dr +isin(tr)e- dr
1.3. 数字特征、矩母函数与特征函数 41 (7) 设随机变量 𝑋 有 𝑛 阶矩存在，则它的特征函数 𝑛 阶导数存在，且当 𝑘 ≤ 𝑛 时，有 𝜓 (𝑘)(0) = 𝑖𝑘𝐸[𝑋𝑘 ], 其中 𝑖 表示虚数单位。 特别地，特征函数可作如下带皮阿诺型余项的 Taylor 展开： 𝜓(𝑡) = 1 + 𝑖𝑡𝐸[𝑋] + (𝑖𝑡)2 2! 𝐸[𝑋2 ] + ⋯ + (𝑖𝑡)𝑛 𝑛! 𝐸[𝑋𝑛] + 𝑜(𝑡𝑛). 例 1.24. 求单点分布 𝑃 (𝑋 = 𝑐) = 1 的特征函数。 解答： 𝜓(𝑡) = 𝐸𝑒𝑖𝑡𝑐 = 𝑒𝑖𝑐𝑡 . 例 1.25. 求两点分布的特征函数。 解答：设 𝑃 (𝑋 = 1) = 𝑝, 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 𝑝，则 𝜓(𝑡) = 𝐸𝑒𝑖𝑡𝑋 = 𝑒𝑖𝑡⋅1𝑝 + 𝑒𝑖𝑡⋅0(1 − 𝑝) = 1 − 𝑝 + 𝑝𝑒𝑖𝑡 . 例 1.26. 求指数分布 Exp(𝜆) 的特征函数。 解答： 𝜓(𝑡) = ∫∞ 0 𝑒 𝑖𝑡𝑥𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥 = ∫∞ 0 cos(𝑡𝑥)𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥 + 𝑖 ∫∞ 0 sin(𝑡𝑥)𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥
42CHAPTER1.预备知识用分部积分，cos(tr)>e-入r drAe-An d sin(tr)-=t-1 e-Ar sin(ta)]+t-sin(t)2e- dK=t~1sin(tr)2e-X da=-t~2/12e-ar d cos(tr)Jo-t-2=- t-2>2e-Ar cos(tar)cos(tr)13e-Aadr=t-2>2 t-2>2cos(tr)e-a dr,Jc解得12cos(tr)e-r da =12+t2tsin(tr)Ae-Ardr12+ t2从而入tb(t) =入[x+++ix+]]=(α- t)-1 = (1- "))1例1.27.求标准正态分布N(0,1)的特征函数解：由定义eitre-"/2dr,d(t) =V2元oC
42 CHAPTER 1. 预备知识 用分部积分， ∫ ∞ 0 cos(𝑡𝑥)𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥 =𝑡−1 ∫ ∞ 0 𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑑 sin(𝑡𝑥) =𝑡−1𝜆𝑒−𝜆𝑥 sin(𝑡𝑥)∣∞ 0 + 𝑡−1 ∫ ∞ 0 sin(𝑡𝑥)𝜆2 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 =𝑡−1 ∫ ∞ 0 sin(𝑡𝑥)𝜆2 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑡−2 ∫ ∞ 0 𝜆 2 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑 cos(𝑡𝑥) = − 𝑡−2𝜆 2 𝑒 −𝜆𝑥 cos(𝑡𝑥)∣∞ 0 − 𝑡−2 ∫ ∞ 0 cos(𝑡𝑥)𝜆3 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 =𝑡−2𝜆 2 − 𝑡−2𝜆 2 ∫ ∞ 0 cos(𝑡𝑥)𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥, 解得 ∫ ∞ 0 cos(𝑡𝑥)𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 𝜆 2 𝜆2 + 𝑡2 , ∫ ∞ 0 sin(𝑡𝑥)𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 𝜆𝑡 𝜆2 + 𝑡2 . 从而 𝜓(𝑡) =𝜆 [ 𝜆 𝜆2 + 𝑡2 + 𝑖 𝑡 𝜆2 + 𝑡2 ] =𝜆(𝜆 − 𝑖𝑡)−1 = (1 − 𝑖𝑡 𝜆 ) −1 . 例 1.27. 求标准正态分布 N(0, 1) 的特征函数. 解：由定义 𝜓(𝑡) = 1 √ 2𝜋 ∫ ∞ −∞ 𝑒 𝑖𝑡𝑥𝑒 −𝑥2/2𝑑𝑥
431.3.数字特征、矩母函数与特征函数从而001ireitfe-m2/2 dew'(t)V2元-00ieitr d(-e-r /2)V2元2itz-2/2100V2元-tb(t).于是dlog (t) = -t,dtb(t) = ce--t2,用4(0)=1代入得b(t)=e-t2例1.28.求正态分布N(μ,α2）的特征函数证明：记标准正态分布的特征函数为z(t)，设X～N(μ,α2)，则X的特征函数为e-1(2eitrb(t) =drV2元0作变量替换=μ+ay，则eit(μ+oy)_1e-igdyb(t)=V2元gei(ta)y_1=eitμe-yodyV2元=etpbz(to)=eitpe-1o22202t2.=exp[itμ-用例1.27和特征函数性质（4）也可以得到上述结果。例1.29.设随机变量X服从参数为入的泊松分布，求X的特征函数，并由特征函数求X的期望和方差
1.3. 数字特征、矩母函数与特征函数 43 从而 𝜓 ′ (𝑡) = 1 √ 2𝜋 ∫ ∞ −∞ 𝑖𝑥𝑒𝑖𝑡𝑥𝑒 −𝑥2/2 𝑑𝑥 = 𝑖 √ 2𝜋 ∫ ∞ −∞ 𝑒 𝑖𝑡𝑥𝑑(−𝑒−𝑥2/2) = − 𝑖 √ 2𝜋 (𝑒𝑖𝑡𝑥−𝑥2/2|∞ −∞ + 𝑡 ∫∞ −∞ 𝑒 𝑖𝑡𝑥𝑒 −𝑥2/2 𝑑𝑥) = − 𝑡𝜓(𝑡). 于是 𝑑 𝑑𝑡 log 𝜓(𝑡) = −𝑡, 𝜓(𝑡) = 𝑐𝑒− 1 2 𝑡 2 , 用 𝜓(0) = 1 代入得 𝜓(𝑡) = 𝑒− 1 2 𝑡 2 . 例 1.28. 求正态分布 N(𝜇, 𝜎2 ) 的特征函数. 证明：记标准正态分布的特征函数为 𝜓𝑍(𝑡)，设 𝑋 ∼ N(𝜇, 𝜎2 )，则 𝑋 的特征函 数为 𝜓(𝑡) = ∫∞ −∞ 𝑒 𝑖𝑡𝑥 1 √ 2𝜋𝜎 𝑒 − 1 2 (𝑥−𝜇)2 𝜎2 𝑑𝑥. 作变量替换 𝑥 = 𝜇 + 𝜎𝑦，则 𝜓(𝑡) = ∫∞ −∞ 𝑒 𝑖𝑡(𝜇+𝜎𝑦) 1 √ 2𝜋𝜎 𝑒 − 1 2 𝑦 2 𝜎 𝑑𝑦 =𝑒𝑖𝑡𝜇 ∫ ∞ −∞ 𝑒 𝑖(𝑡𝜎)𝑦 1 √ 2𝜋 𝑒 − 1 2 𝑦 2 𝜎 𝑑𝑦 =𝑒𝑖𝑡𝜇𝜓𝑍(𝑡𝜎) = 𝑒𝑖𝑡𝜇𝑒 − 1 2 𝜎 2𝑡 2 = exp{𝑖𝑡𝜇 − 1 2 𝜎 2 𝑡 2}. 用例1.27和特征函数性质 (4) 也可以得到上述结果。 例 1.29. 设随机变量 𝑋 服从参数为 𝜆 的泊松分布，求 𝑋 的特征函数，并由特 征函数求 𝑋 的期望和方差